單元復(fù)習(xí)，提高學(xué)生思維的靈活性

邱春禮

[摘 要]在單元復(fù)習(xí)課中，嘗試通過(guò)多元表征，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并對(duì)知識(shí)與技能、策略與方法的選擇和應(yīng)用作出指導(dǎo)，提高學(xué)生思維的靈活性。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 復(fù)習(xí) 靈動(dòng) 單元 思維

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）26-019

一、習(xí)題——引發(fā)思考

1.現(xiàn)象

在一次練習(xí)中，分散編排著幾道習(xí)題，如下。

（1）直徑比是2∶1，周長(zhǎng)比是（ ），面積比是（ ）。

（2）大圓半徑等于小圓直徑，周長(zhǎng)比是（ ）。

（3）大圓半徑等于小圓直徑，周長(zhǎng)和是18.84厘米，大圓周長(zhǎng)是多少厘米？

前幾節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生從比的角度認(rèn)識(shí)圓的半徑、直徑、周長(zhǎng)、面積之間的關(guān)系，但由于是分散學(xué)習(xí)的，所以希望通過(guò)本次的變式練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生從比的角度去思考并解決問(wèn)題的意識(shí)。但是，從批改學(xué)生的練習(xí)結(jié)果（見(jiàn)下表）來(lái)看，情況不容樂(lè)觀。

為此，我訪談了幾位做錯(cuò)的學(xué)生。

生1：我在做第（2）題時(shí)，自己假設(shè)了一個(gè)大圓的半徑為1厘米，小圓半徑則為0.5厘米，最后算錯(cuò)了。

生2：我做第（3）題時(shí)，假設(shè)不出來(lái)，亂寫(xiě)的。

生3：我下課與同學(xué)交流，才發(fā)現(xiàn)用比來(lái)做這么簡(jiǎn)單，自己當(dāng)時(shí)沒(méi)想到。

……

從上面的訪談中可以看出，學(xué)生在解決第（2）和第（3）題的過(guò)程中，并沒(méi)有想到前面小結(jié)過(guò)的知識(shí)。也就是說(shuō)，第（1）題正確率為100%，更多的是來(lái)自于學(xué)生的背誦與記憶。

2.思考

鄭毓信教授認(rèn)為：“在解題或新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生往往不善于在心理表征的不同側(cè)面之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而也就不能很順利地去找出對(duì)于求解目前所面臨的問(wèn)題較為適合的成分?！绷殖绲陆淌趧t認(rèn)為：“數(shù)學(xué)思維的靈活性，這是學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，思考的方向、過(guò)程與思維技巧的即時(shí)轉(zhuǎn)換科學(xué)性水平的集中反映。”由此可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在同一概念的不同心理表征或概念意象的不同側(cè)面之間靈活地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移。我認(rèn)為，這一任務(wù)落實(shí)在單元復(fù)習(xí)課中是比較合適的，因?yàn)閱卧獜?fù)習(xí)課主要有三個(gè)功能，即知識(shí)整理、查漏補(bǔ)缺、思維提升，這三個(gè)功能不是單獨(dú)的個(gè)體，而是相互聯(lián)系、相輔相成的。依據(jù)“艾濱浩斯遺忘曲線”理論，一個(gè)單元的學(xué)習(xí)時(shí)間跨度剛好處在復(fù)習(xí)的最佳時(shí)機(jī)。

二、實(shí)踐——讓復(fù)習(xí)走向靈動(dòng)

1.多元表征，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)教材安排了分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、比、百分?jǐn)?shù)等內(nèi)容，與學(xué)生在五年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義、四年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)的意義等內(nèi)容緊密相連，但由于每個(gè)單元有自己的側(cè)重點(diǎn)，而且時(shí)間跨度又大，所以給學(xué)生的感覺(jué)是零散的。同時(shí)，教材的編排是螺旋上升的，知識(shí)之間是緊密聯(lián)系的，不過(guò)這些前后聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)知識(shí)由于所處的學(xué)習(xí)階段不同，其表征也就不同。教學(xué)實(shí)踐表明，知識(shí)表征的不同，往往會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生，讓他們覺(jué)得這些知識(shí)表征之間是沒(méi)有任何聯(lián)系的，從而在學(xué)習(xí)中不能靈活地提取與選擇合適的信息進(jìn)行加工。

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“信息以圖式的方式表征，將大大提高其激活和提取的速度，也會(huì)節(jié)省極為有限的工作記憶的存儲(chǔ)空間?！彼裕诮虒W(xué)“百分?jǐn)?shù)（一）”的單元復(fù)習(xí)課中，我做了以下的探究。

（1）文字表征。

師（呈現(xiàn)信息：男生人數(shù)比女生少20%）：請(qǐng)你說(shuō)一句話，這句話所表達(dá)的意思要跟大屏上呈現(xiàn)的信息一樣，看誰(shuí)想到的句子多。（先讓學(xué)生靜靜地思考，交流反饋）

生1：男生人數(shù)是女生人數(shù)的80%。

生2：男生人數(shù)是女生人數(shù)的0.8倍。

生3：男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是4∶5。

……

通過(guò)變換句式，學(xué)生很快將百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比這些概念聯(lián)結(jié)起來(lái)，加深了對(duì)概念的理解。但是，我們從中也發(fā)現(xiàn)，受呈現(xiàn)信息的影響，學(xué)生的反饋大都呈現(xiàn)同樣一個(gè)模式，這對(duì)于學(xué)生思維靈活性的發(fā)展是不利的。

師（適時(shí)引導(dǎo)）：大家說(shuō)的都是誰(shuí)與誰(shuí)在比？

生4：男生人數(shù)和女生人數(shù)在比。

師：還可以怎么比呢？

生5：女生人數(shù)和男生人數(shù)比。

師：那么，這句話的意思還可以怎么表達(dá)？

生6：女生人數(shù)是男生人數(shù)的125%。

生7：女生人數(shù)比男生人數(shù)多。

生8：女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.25倍。

生9：女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是5∶4。

……

當(dāng)學(xué)生能用不同的數(shù)來(lái)表達(dá)的時(shí)候，說(shuō)明學(xué)生對(duì)數(shù)的理解已經(jīng)不是單一的、片面的，而是形成了一個(gè)整體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。鄭毓信教授曾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求全，而要求聯(lián)?！边@就要求教師不僅要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，更要重視溝通知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（2）算式表征。

有了對(duì)數(shù)的意義的深刻理解，學(xué)生再來(lái)用等式表達(dá)，就比較得心應(yīng)手了。

師：你能用等式表示這句話的意思嗎？

生10：女生人數(shù)×20%=相差數(shù)，女生人數(shù)×（1-20%）=男生人數(shù)。

生11：女生人數(shù)×=相差數(shù)，女生人數(shù)×（1-）=男生人數(shù)。

生12：女生人數(shù)×0.2=相差數(shù)，女生人數(shù)×（1-0.2）=男生人數(shù)。

生13：總?cè)藬?shù)×=女生人數(shù)，總?cè)藬?shù)×=男生人數(shù)。

師：仔細(xì)觀察，大家寫(xiě)的等量關(guān)系有什么相同的地方？

生14：都是乘法，一個(gè)數(shù)乘分率或倍數(shù)等于另一個(gè)數(shù)。

……

這里，既將 “比一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾”納入“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，又將“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”納入“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”和“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成概念系統(tǒng)，使學(xué)生了解有關(guān)概念之間的邏輯關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)概念的融會(huì)貫通。

（3）圖形表征。

師：你還能用圖形來(lái)表示這句話的意思嗎？（學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)后交流反饋）

生15：

生16：

……

為了讓學(xué)生的思維靈活起來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生在同一數(shù)學(xué)概念心理表征的不同成分之間作出靈活的轉(zhuǎn)移。概念的外部表征，算式的符號(hào)化，豐富了學(xué)生內(nèi)在的思維結(jié)構(gòu)，為靈活解決問(wèn)題和學(xué)習(xí)新知識(shí)提供了可能。

2.精選素材，有效指導(dǎo)

有了豐富的知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生在面臨比較單一的問(wèn)題時(shí)，知識(shí)的提取與應(yīng)用不存在太多的問(wèn)題，甚至有很多單一的技能已經(jīng)達(dá)到了自動(dòng)化的程度，如基本的口算等。但遇到稍難一點(diǎn)的問(wèn)題或?qū)W習(xí)新知識(shí)時(shí)，學(xué)生在提取的過(guò)程中還是會(huì)出現(xiàn)困難，這是因?yàn)閷W(xué)生不善于搜索，缺乏搜索的路徑與方法。所以，教師要設(shè)計(jì)好相關(guān)練習(xí)，通過(guò)課堂的有效指導(dǎo)，讓學(xué)生積累靈活解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

（1）知識(shí)技能的綜合運(yùn)用指導(dǎo)。

新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第二單元“位置與方向（二）”主要學(xué)習(xí)用方向和距離兩個(gè)要素確定位置，由于這是四年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，所以教材補(bǔ)充了“用數(shù)對(duì)確定位置”的內(nèi)容。相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)如何豐富它的內(nèi)涵，讓學(xué)生積累靈活解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？仔?xì)分析后發(fā)現(xiàn)，我們可以把這一內(nèi)容放到大背景下，也就是放到“圖形與幾何”的領(lǐng)域之中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究?！皥D形與幾何”領(lǐng)域分為“圖形的認(rèn)識(shí)”“圖形的測(cè)量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”“圖形與位置”四個(gè)板塊的知識(shí)，怎樣的習(xí)題可以承載這么重要的學(xué)習(xí)任務(wù)呢？一份畢業(yè)卷上的一幅圖（見(jiàn)右圖）引起了我的注意。在單元復(fù)習(xí)中，我以此圖為例，讓學(xué)生畫(huà)一個(gè)與△ABC面積相等的三角形，并用數(shù)對(duì)表示出它三個(gè)頂點(diǎn)的位置，然后思考：“在畫(huà)的過(guò)程中，你用到了哪些知識(shí)？”我讓學(xué)生在獨(dú)立思考后進(jìn)行反饋，反饋時(shí)側(cè)重于畫(huà)法，數(shù)對(duì)表示頂點(diǎn)的教學(xué)就一帶而過(guò)了。

生1：我測(cè)量了它的底和高，底是5厘米，高是2厘米，于是我畫(huà)了一個(gè)底是5厘米、高是2厘米的三角形。

生2：我是將這個(gè)三角形向右平移5格來(lái)畫(huà)的，因?yàn)槠揭坪蟮膱D形形狀、大小不變。

生3：我是將這個(gè)三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度來(lái)畫(huà)的，因?yàn)樾D(zhuǎn)后的圖形形狀、大小也不變。

生4：我是用軸對(duì)稱來(lái)畫(huà)的。

生5：我是將點(diǎn)C向右平移一格來(lái)畫(huà)的。

師（小結(jié)）：利用這些知識(shí)，我們還解決過(guò)哪些問(wèn)題呢？

……

以這一習(xí)題為載體，通過(guò)回憶學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，把一個(gè)個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，培養(yǎng)了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（2）策略方法的綜合運(yùn)用指導(dǎo)。

在五年級(jí)“長(zhǎng)方體和正方體”的單元復(fù)習(xí)中，我以下圖為例，讓學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題。

師：以正方體與長(zhǎng)方體的組合為例（如下圖），想一想，你有幾種方法來(lái)求它的體積？請(qǐng)你用算式表示出來(lái)。（右邊方框內(nèi)是當(dāng)時(shí)的板書(shū)）

（先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再請(qǐng)幾個(gè)學(xué)生板演，學(xué)生出現(xiàn)分割、填補(bǔ)、平移這三種方法）

師：觀察黑板上的算式，你都明白同學(xué)的算法嗎？（指名學(xué)生邊說(shuō)邊用課件演示，讓所有學(xué)生明白每個(gè)算式的意思）

師：根據(jù)算法的特點(diǎn)，我們可以給它們?nèi)€(gè)名字。（板書(shū)：分割、填補(bǔ)、平移）為了豐富同學(xué)們解決問(wèn)題的策略（板書(shū)對(duì)稱擴(kuò)大和倍比關(guān)系這兩個(gè)算式），請(qǐng)同學(xué)們觀察并思考這兩個(gè)算式的算理。你能看懂嗎？

……

師：這些方法與策略不僅僅可以用來(lái)解決立體圖形的體積問(wèn)題，在平面圖形、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中也有用武之地。老師以擴(kuò)大法的運(yùn)用為例，拋磚引玉，希望能給大家一些啟發(fā)，我們一起來(lái)看一看。（課件呈示如下，學(xué)生自由閱讀與理解）

①擴(kuò)大法在平面圖形練習(xí)中的應(yīng)用。

下圖中扇形的半徑為6厘米，圓心角為45度，AC垂直于OB，垂足為C，陰影部分的面積是多少平方厘米？

分析：將圖以O(shè)B為對(duì)稱軸畫(huà)出它的軸對(duì)稱圖形，如下圖所示，這樣左圖陰影部分的面積為（π×62÷4-62÷2）÷2=5.13（平方厘米）。

②擴(kuò)大法在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用。

雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

用□表示雞的只數(shù)，用○表示兔的只數(shù)，根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)如下。

□+○=8…………………………………………（1）

2□+4○=22………………………………………（2）

將（1）乘2（擴(kuò)大到原來(lái)的2倍），得：

2□+2○=16………………………………………（3）

對(duì)比（2）與（3），得2○=22-16。

解得○=3

□=5

展示多種解題策略與方法的主要目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度看問(wèn)題，積累運(yùn)用多種策略解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將策略應(yīng)用到其他知識(shí)領(lǐng)域，明白這些策略的使用范圍。這樣教學(xué)，既拓寬了學(xué)生的視野，又提升了學(xué)生的思維能力。

總之，提高學(xué)生思維的靈活性，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用各種具體的認(rèn)知策略，更重要的是要讓學(xué)生懂得應(yīng)該在何時(shí)何地使用何種策略，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平。

（責(zé)編 藍(lán) 天）