數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度內(nèi)容解讀

何春華

數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度包括兩方面內(nèi)容，一是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，有平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；二是表示一組數(shù)據(jù)離散程度（刻畫數(shù)據(jù)的波動大小）的統(tǒng)計量，有極差和方差，今天何老師就帶領(lǐng)大家一起走進數(shù)據(jù)的世界，正確認(rèn)識“三數(shù)”和“兩差”.

一、 平均數(shù)

1. 算術(shù)平均數(shù)：數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的算術(shù)平均數(shù)為=（x1+x2+…+xn），這是最簡單的平均數(shù)，平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的平均水平，它與這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都有關(guān)系.

例1 （2014·江蘇鹽城）數(shù)據(jù)-1，0，1，

2，3的平均數(shù)是（ ）.

A. -1 B. 0 C. 1 D. 5

【解析】直接利用算術(shù)平均數(shù)公式求解，得=1，故選C.

2. 加權(quán)平均數(shù)：一般地，如果一組數(shù)據(jù)中共有n個不同的值，記它們分別為x1，x2，…，xn，并且x1有w1個，x2有w2個，……，xn有wn個，則w1，w2，…，wn分別叫作x1，x2，…，xn的權(quán)，數(shù)值=叫作這n個數(shù)值的加權(quán)平均數(shù).

例2 （2015·浙江湖州）在“爭創(chuàng)美麗校園，爭做文明學(xué)生”示范評比活動中，10位評委給某校的評分情況如下表所示：

則這10位評委評分的平均數(shù)是_______分.

【解析】由于本題中這10位評委給某校的評分情況的“權(quán)重”不同，因此本題需用加權(quán)平均數(shù)公式計算.

這10位評委評分的平均數(shù)是

=89（分）.

【點評】算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的特例，加權(quán)平均數(shù)實質(zhì)上就是考慮不同權(quán)重問題的平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中各項的權(quán)相等時，就變成了算術(shù)平均數(shù).

二、 中位數(shù)

把n個數(shù)據(jù)從小到大排列，相同的數(shù)重復(fù)進行排列.當(dāng)n是奇數(shù)時，處于正中間位置的數(shù)叫作這n個數(shù)的中位數(shù)；當(dāng)n是偶數(shù)時，處于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫作這n個數(shù)的中位數(shù).中位數(shù)體現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)中間位置的數(shù)據(jù)水平，它反映了具有不確定性的研究對象在中等狀態(tài)下的水平.

例3 （2015·山東東營）在一次數(shù)學(xué)測驗中，隨機抽取了10份試卷，其成績?nèi)缦拢?5，81，89，81，72，82，77，81，79，83. 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_______.

【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89，處于中間位置的第5、6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，即×（81+81）=81.

【點評】由于一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與最大和最小的數(shù)據(jù)無關(guān)，因此，確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只需將這組數(shù)據(jù)從小到大排列（即使相等的數(shù)也要全部參加排序），然后根據(jù)數(shù)據(jù)個數(shù)的奇偶性確定中位數(shù)的值.

三、 眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多的數(shù)，叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù). 眾數(shù)表現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)的熱點，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多的重復(fù)數(shù)據(jù)時，常用眾數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

例4 （2015·江蘇揚州）小亮上周每天的睡眠時間為（單位：小時）：8，9，10，7，10，9，9.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_______.

【解析】∵數(shù)據(jù)中9出現(xiàn)的次數(shù)最多，

∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9.

【點評】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)“多數(shù)水平”的重要數(shù)據(jù)代表，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有時不止一個，若幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，則這幾個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

四、 極差與方差

1. 極差

一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差叫作極差，它反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍.

例5 （2014·四川涼山）某班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組某次測驗成績（單位：分）如下：63，72，70，

49，66，81，53，92，69，則這組數(shù)據(jù)的極差是（ ）.

A. 47 B. 43 C. 34 D. 29

【解析】這班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組某次檢測成績數(shù)據(jù)中，最大值是92，最小值是49，所以這組數(shù)據(jù)的極差是92-49=43.故選B.

【點評】極差只跟一組數(shù)據(jù)中的兩個極端數(shù)據(jù)（最大值、最小值）有關(guān)，跟其他數(shù)據(jù)無關(guān)，因此極差只能粗略地反映數(shù)據(jù)的離散程度.

2. 方差

為了精確地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，我們把一組數(shù)據(jù)中的全部n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)作為基準(zhǔn)，計算各數(shù)據(jù)與的差的平方，這些平方的平均數(shù)s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]就叫作這組數(shù)據(jù)的方差. 方差可以從整體上反映數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，所以它成了反映研究對象離散程度的數(shù)值.

例6 （2015·山東萊蕪）有一組數(shù)據(jù)如下：2，3，a，5，6，它們的平均數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的方差是_______.

【解析】數(shù)據(jù)2，3，a，5，6的平均數(shù)是4，所以2+3+a+5+6=20，解得a=4，因此這組數(shù)據(jù)的方差s2=[（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2]=2.

【點評】計算方差的步驟是先計算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入方差公式進行計算.

例7 （2015·江蘇連云港）某校要從四名學(xué)生中選拔一名參加市“風(fēng)華小主播”大賽，選拔賽中每名學(xué)生的平均成績及其方差s2如表所示，如果要選擇一名成績高且發(fā)揮穩(wěn)定的學(xué)生參賽，則應(yīng)選擇的學(xué)生是（ ）.

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【解析】從表格中可知乙、丙的平均成績要比甲、丁高，而乙的方差比丙小，說明乙的成績比較穩(wěn)定，所以應(yīng)選擇學(xué)生乙，故選B.

【點評】方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

最后，同學(xué)們在學(xué)習(xí)這部分知識時應(yīng)注意結(jié)合一些具體事例去理解它們，要逐步體會這些知識在實際生活中的應(yīng)用，而不是僅僅關(guān)注一些具體的計算.

（作者單位：江蘇省海門市實驗學(xué)校初中部）