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    “圓”中的最值問(wèn)題

    2015-09-10 07:22:44許秋
    初中生世界·九年級(jí) 2015年10期
    關(guān)鍵詞:圓周角動(dòng)點(diǎn)勾股定理

    許秋

    近年來(lái),以圓為載體的最值問(wèn)題頻頻出現(xiàn),這類問(wèn)題往往知識(shí)面廣、綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng),而且情境新穎,能很好地考查同學(xué)們的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),因此也成為學(xué)習(xí)圓的難點(diǎn)之一. 本文按知識(shí)點(diǎn)分四大類,以部分中考題為例,歸納總結(jié)此類試題的解題方法.

    一、 利用“直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中,垂線段最短”求最值

    例1 (2012·浙江寧波)如圖1,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑畫⊙O分別交AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小值為________.

    【解析】如圖2,連接OE,OF,過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF于點(diǎn)H.由圓周角定理可知:∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,由三角函數(shù)可求得EH=OE·sin∠EOH=OE. 再由垂徑定理可知:EF=2EH=OE=AD,所以當(dāng)AD最小時(shí)EF最小.由垂線段最短可知:當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí),直徑AD最短.因?yàn)锳B=2,∠ABC=45°,所以AD=BD=2,代入EF與AD的關(guān)系式即可求出EF的最小值為.

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道融圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形、動(dòng)點(diǎn)于一體的綜合應(yīng)用題.根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化,將兩動(dòng)點(diǎn)之間的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的最小值,找出EF與直徑AD的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

    二、 利用“切線的性質(zhì)”求最值

    例2 (2011·浙江臺(tái)州)如圖3,⊙O的半徑為2,點(diǎn)O到直線l的距離為3,點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ切⊙O于點(diǎn)Q,則PQ的最小值為________.

    【解析】因?yàn)镻Q為切線,所以△OPQ是直角三角形,所以PQ=.又因?yàn)镺Q為定值,所以當(dāng)OP最小時(shí),PQ最小.根據(jù)垂線段最短知:OP=3時(shí),PQ最小,根據(jù)勾股定理可求出PQ的最小值為.

    【點(diǎn)評(píng)】切線的性質(zhì)和垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵.

    例3 (2010·江蘇蘇州)如圖4,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,2),⊙C的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為1. 若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段DA與y軸交于點(diǎn)E,則△ABE面積的最小值是( ).

    A. 2 B. 1

    C. 2- D. 2-

    【解析】如圖5,根據(jù)三角形的面積公式知,△ABE底邊BE上的高AO不變,BE越小,則面積越小,可以判斷當(dāng)AD與⊙C上面半圓相切時(shí),BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出AD的值為2,然后根據(jù)△AOE與△ADC相似求出OE的長(zhǎng)為,所以BE最小值為2-,代入三角形的面積公式可得2-,故選C.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

    三、 利用“軸對(duì)稱”求最值

    例4 (2014·貴州安順)如圖6,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,∠AMN=30°,點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn). 點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為( ).

    A. B. 1

    C. 2 D. 2

    【解析】如圖7,作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接OA、OB、OB′、AB′,則AB′與MN的交點(diǎn)即為PA+PB最小時(shí)的點(diǎn),PA+PB的最小值為AB′,由圓周角定理可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°.因?yàn)辄c(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn),所以∠BON=∠AON=30°.由對(duì)稱性得∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°,所以AB′=OA=,即PA+PB的最小值為.故選A.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題、垂徑定理、圓周角定理,熟記定理并做出圖形,判斷出PA+PB的最小值等于哪條線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

    四、 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值

    例5 (2014·福建三明)如圖8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D,P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接AP,則AP的最小值是________.

    【解析】如圖9,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,交半圓于點(diǎn)P2,在半圓上取點(diǎn)P1,連接AP1,EP1,可得,AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值.再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)為,然后減掉半徑可得AP的最小值為-1.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、最短路徑問(wèn)題,兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

    例6 如圖10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合),沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接AF,則線段AF長(zhǎng)的最小值是________.

    【解析】本題看似折疊的題目,好像與圓沒(méi)有關(guān)系,實(shí)則是例5的拓展,因?yàn)樵谡郫B的過(guò)程中,點(diǎn)D始終是定點(diǎn),DF始終是定長(zhǎng),所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線為圓.如圖11,連接AD交圓D于點(diǎn)F1,則AF1 的長(zhǎng)度即為AF的最小值,利用勾股定理可求得AD=5,所以AF1=5-3=2,即線段AF長(zhǎng)的最小值為2.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化的思想、勾股定理、最短路徑問(wèn)題,折疊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓中最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

    以圓為載體的最值問(wèn)題多以“小而精”的形式在中考選擇、填空的壓軸題頻繁出現(xiàn).所以,同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中,要多注意練習(xí)、總結(jié)這類題型的解題方法,輕松面對(duì)圓中的最值問(wèn)題.

    (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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