探尋本質(zhì) 多題歸一

孫飛

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題.在解決問(wèn)題時(shí)，我們可對(duì)問(wèn)題的局部（條件或結(jié)論）進(jìn)行改變（往往是位置或數(shù)量），從而得到新的數(shù)學(xué)問(wèn)題.通過(guò)這樣的改變，我們能夠?qū)崿F(xiàn)多題歸一的目的，從而提升解決問(wèn)題的能力.下以一例予以說(shuō)明.

【分析】要證∠P=∠B+∠D，根據(jù)條件需從平行線(xiàn)的性質(zhì)著手分析，尋找相應(yīng)的同位角或內(nèi)錯(cuò)角.結(jié)合圖形我們無(wú)法直接找到同位角或內(nèi)錯(cuò)角，因此我們可從點(diǎn)P作AB的平行線(xiàn)，將∠P分為兩個(gè)分別與∠B、∠D相等的角，此題即可得證.

【分析】根據(jù)上述例子的解題方法，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，不難推理出∠P=∠D-∠B，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同位角相等；三角形外角的性質(zhì)即可證之.

探究3 如果繼續(xù)改變點(diǎn)P的位置（如圖6），其它條件不變，那么∠P、∠B、∠D之間又有什么數(shù)量關(guān)系？

【分析】本題中沒(méi)有已知的同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）可以利用，我們可根據(jù)上面積累的解題經(jīng)驗(yàn)，作出合適的輔助線(xiàn)，構(gòu)造出同位角（或內(nèi)錯(cuò)角），從而解決問(wèn)題.

探究4 如果將點(diǎn)P移到直線(xiàn)CD的下方，（如圖8、圖9），其它條件不變，那么∠P、∠B、∠D之間又有什么數(shù)量關(guān)系？

【分析】根據(jù)圖8、圖9，由上述的探究思路，不難得出以下結(jié)論.

如圖8，有∠P=∠B-∠D.

證明過(guò)程參見(jiàn)圖5.

如圖9，有∠P=∠D-∠B.

證明過(guò)程參見(jiàn)圖6.

改變問(wèn)題的局部只是給問(wèn)題“換了件外衣”，其本質(zhì)是并未改變.在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要善于在“變”中找出“不變”，洞察本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)聯(lián).