三線八角中的主線——截線

李　疆

學(xué)習(xí)“三線八角”時(shí),有的同學(xué)常常會(huì)因三線八角的圖形稍微復(fù)雜一點(diǎn)就分辨不清哪兩個(gè)是同位角,哪兩個(gè)是內(nèi)錯(cuò)角,哪兩個(gè)角是同旁內(nèi)角。然而,同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判定恰恰是學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)與判定的關(guān)鍵。其實(shí),在學(xué)習(xí)時(shí)我們只要抓住三線中的主線——截線,就能判定某兩個(gè)角是同位角,還是內(nèi)錯(cuò)角,還是同旁內(nèi)角。

如圖1,在平面中的兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截,共得八個(gè)角,其中,∠1和∠2、∠3和∠4、∠5和∠6、∠7和∠8,分別由直線AB和EF,直線CD和EF相交構(gòu)成,兩組各有四個(gè)角?，F(xiàn)在,研究沒有公共頂點(diǎn)但有一條邊在同一直線上的兩個(gè)角,如圖1中的∠1和∠5,∠4和∠6、∠4和∠5等等。

這些頂點(diǎn)不同又各有一條邊在同一條直線上的每一對(duì)角,根據(jù)它們所處的方位給以分類。如∠1和∠5在截線EF的同旁(同左或同右),又處于被截兩直線的同方向的“同”位置,即同在右上方、左上方、右下方或左下方,因此∠1和∠5這兩個(gè)角叫做同位角?！?和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8也是同位角,故共有4對(duì)?！?和∠6分別在截線EF的兩側(cè)(交錯(cuò)),又處于被截兩直線之間(內(nèi)部),因此∠4和∠6這兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角,∠3和∠5也是內(nèi)錯(cuò)角,共有2對(duì)。∠4和∠5在截線EF的同旁,又處于被截兩直線之間(內(nèi)部),這兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角,因此∠3和∠6也是同旁內(nèi)角。由此可見,三線八角的圖形中的主線是截線,抓住了截線,問題就迎刃而解了。

因而,不論是由三線八角圖形判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角,或是由同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角找出構(gòu)成它們的“三線”,都要進(jìn)行這樣的三步驟:一看角的頂點(diǎn),二看角的邊,三看角的方位。這三步又都離不開主線——截線的確定。

例1.在圖2中,∠1的同位角是( );∠2的內(nèi)錯(cuò)角是

( );∠3的同旁內(nèi)角是( )。

分析:∠1的同位角的一條邊必須與∠1的一條邊在同一直線上,即截線上。由圖知∠1的兩邊為AD和AE,其中只有AD(也就是BD)同時(shí)是∠3和∠B的一條邊。又知∠3的位置不符合同位角的概念,所以∠1的同位角是∠B,同理分析另兩問。(答案:∠1的同位角是∠B,∠2的內(nèi)錯(cuò)角是∠C,∠3的同旁內(nèi)角是∠B與∠C)。

例2.如圖3,(1)∠BAD與∠CDA是直線( )被直線

( )所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角。(2)∠1與∠2是直線( )被( )所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角。(3)直線AB、CD被AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角是()。

分析:(1)∵∠BAD與∠CDA頂點(diǎn)是不同的,都有一邊同在直線AD(截線)上,且在截線AD的同旁,又處于被截兩直線AB、CD之間,∴∠BAD與∠CDA是兩條直線AB、CD被直線AD所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角。(2)、(3)請(qǐng)同學(xué)們按所講方法進(jìn)行判斷。

理解了抓住“截線”去解決問題的方法以后,還應(yīng)做一定量的練習(xí)去熟悉圖形。這樣,無論圖形的位置怎樣變動(dòng),圖形有多復(fù)雜,我們都能以不變——截線為主線,去解決萬變的圖形。

練習(xí):

1.指出下列圖形①~④中所標(biāo)角之間的關(guān)系。

2.填空。如圖:(1)∠1和()是直線()和( )被直線()所截構(gòu)成的同位角。(2)∠2和()是直線( )和( )被( )所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角。(3)∠5和( )是直線( )和( )被()所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角。

答案:1.略 2.(1)∠1和(∠7)是直線(b)和(c)被直線(a)所截構(gòu)成的同位角。(2)∠2和(∠6)是直線(b)和(c)被(d)所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角。(3)∠5和(∠8)是直線(a)和(d)被(c)所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角。

作者單位:四川省天全縣初級(jí)中學(xué)