焦肖燕 嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

蘇教版三年級(jí)上冊(cè)《兩、三位數(shù)乘一位數(shù)》單元中有一節(jié)估算課，教材例題是這樣的——

這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算后，讓學(xué)生利用已學(xué)的乘法口算進(jìn)行估算，解決實(shí)際問題。隨著教學(xué)進(jìn)程的不斷推進(jìn)，教師發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還是喜歡并堅(jiān)持算出精確值：48×4=192（元），然后再與200元比較得到結(jié)果。有些學(xué)生雖然開始嘗試用估算的方法，但總是不得要領(lǐng)，顯得毫無章法，在要求他們有條理表述估的過程時(shí)，思維顯得磕磕碰碰、處處卡殼。不過，經(jīng)過教師的耐心講解，學(xué)生在解答例題隨后呈現(xiàn)的“300元夠買5箱哈密瓜嗎？”這一問題時(shí)，都能通過估算得到正確答案“不夠”。

但在總結(jié)估算的好處時(shí)，卻有一位學(xué)生發(fā)出了反對(duì)的聲音：“不見得”。不由讓人心生好奇。

接下來，教學(xué)進(jìn)入練習(xí)階段，教師出示教材“想想做做”第6題——

一些學(xué)生能夠把72看成70后進(jìn)行估算，但最終的回答卻是“不能”，讓教師感到大惑不解。

【“問”：病歷記錄】

課后，教師把那個(gè)說“不見得”的學(xué)生和那些說“不能”的學(xué)生找來一問究竟——

首先問說“不見得”的學(xué)生：在解決“300元夠買5箱哈密瓜嗎？”這一問題時(shí)，把62看成60，60×5=300口算不是很容易嗎？

生：老師，62×5我也能一下子算出結(jié)果，等于310。310>300。這樣更容易。（頓了一下）有時(shí)用了估算反而容易做錯(cuò)。

原來如此！教師愕然……

再問那些說“不能”的學(xué)生：72×6>400，所以6次不是能運(yùn)完嗎？

生：嗯，現(xiàn)在我們想通了，6次能運(yùn)完。沒想到估算蠻難的。

師：那當(dāng)時(shí)你們是怎么想的呢？

生：例題中62×5>300，帶300元不夠，現(xiàn)在72×6>400，我就想到6次不能運(yùn)完。

原來如此！教師恍然。

【“切”：病理診治】

通過課堂觀察和課后詢問，我們發(fā)現(xiàn)估算無論在知識(shí)層面還是心理層面，對(duì)三年級(jí)學(xué)生來說并不容易，分析如下：

一是數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單讓學(xué)生不想估算。雖然學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘一位數(shù)還沒有學(xué)過，但由于數(shù)據(jù)比較小，并且像62×5進(jìn)位也不復(fù)雜，一些聰明的學(xué)生憑借直覺自悟到了口算方法，也可能有一些學(xué)生已經(jīng)通過其他途徑學(xué)會(huì)了口算或筆算，于是對(duì)部分學(xué)生來說也就沒了估算的需求。

二是思維的復(fù)雜讓學(xué)生不想估算。雖然估算時(shí)把原來的算式轉(zhuǎn)化成了整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)，計(jì)算簡(jiǎn)便了，但是隨后學(xué)生卻要經(jīng)歷幾次有序的推理過程，才能比出比較量與標(biāo)準(zhǔn)量之間的大小。例如，在估算62×5時(shí)，學(xué)生的思維需要經(jīng)歷這樣幾次連續(xù)的“轉(zhuǎn)彎”過程：因?yàn)?0×5=300，又因?yàn)?2>60估小了，所以62×5>60×5，最終推出62×5>300。其中，學(xué)生的思維對(duì)象首先要把62想成60，最后又要把60還原成62，在這樣的不斷變換中，很容易造成學(xué)生思維的混亂，顧此失彼而出錯(cuò)。有些學(xué)生盡管比出了大小，最后還不能根據(jù)實(shí)際情境作出正確判斷。因?yàn)檫@要求學(xué)生具備一定的生活經(jīng)驗(yàn)和分析能力才能根據(jù)估算的結(jié)果作出判斷，這對(duì)三年級(jí)學(xué)生來說要求也很高。那位學(xué)生說“有時(shí)用了估算反而容易做錯(cuò)”，不無道理。

研究表明，一個(gè)優(yōu)秀的估算者，思維要經(jīng)歷三個(gè)關(guān)鍵過程：一是“簡(jiǎn)約”，即在保持原問題結(jié)構(gòu)不變的情況下，更改數(shù)據(jù)以產(chǎn)生一個(gè)容易心算的形式的過程;二是“轉(zhuǎn)換”，即將問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變?yōu)橐子谛乃愕男问健＠?，?946+7212+7841變?yōu)?000×3等;三是“補(bǔ)償”，即調(diào)整在對(duì)問題進(jìn)行重新表述和轉(zhuǎn)換時(shí)所進(jìn)行的數(shù)字變化。例如，根據(jù)“估大”“估小”的情況對(duì)估計(jì)答案進(jìn)行“調(diào)整”或“補(bǔ)償”。由此可見，估算的要求高于筆算。

可以說，“學(xué)生不想估”這種情況很大程度上是由“學(xué)生不會(huì)估”造成的，也就是說，有時(shí)候?qū)W生感情的“為難”源自于事情的“難為”。

三是解題的習(xí)慣讓學(xué)生不想估算。平常學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于精確計(jì)算，答案是唯一的，學(xué)生的認(rèn)識(shí)是非標(biāo)準(zhǔn)答案的得數(shù)都是錯(cuò)誤的。而估算答案的不唯一，沖擊了學(xué)生原本的計(jì)算習(xí)慣，也讓學(xué)生心里感到不踏實(shí)。要估算134×4，一般把134看作100得到估算值400，例如“碼頭有400箱大豆，卡車每次能運(yùn)134箱，4次能運(yùn)完嗎？”有時(shí)根據(jù)實(shí)際需要卻要將134看作130得到估算值520，例如“碼頭有500箱大豆，卡車每次能運(yùn)134箱，4次能運(yùn)完嗎？”至于什么時(shí)候需要接近精確值，什么時(shí)候可以與精確值拉開一定的距離，需要學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境加以靈活判斷，這樣的“不定性”常常讓學(xué)生“不定心”。于是，一些學(xué)生想到了“與其猶豫不決，還不如下定決心求出精確值”這一萬全之策，以“不變”應(yīng)“萬變”。

然而，教師不能因?yàn)閷W(xué)生的不想估、不會(huì)估而使估算教學(xué)止步或走過場(chǎng)。估算是解決問題的有效策略之一，在實(shí)際生活中應(yīng)用也非常廣泛。一個(gè)人估算能力的強(qiáng)弱直接影響到人的生活節(jié)奏的快慢和工作效率的高低。由此可見，估算在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可替代的教育價(jià)值：有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物的直觀判斷力。同時(shí)，估算不僅能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，而且對(duì)培養(yǎng)邏輯推理能力也有很大的幫助。

估算應(yīng)該從“小”（從小學(xué)生、從小細(xì)節(jié)）培養(yǎng)，針對(duì)上述課例中的問題，教師的積極態(tài)度應(yīng)該是，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及思維難處，思考如何改進(jìn)估算教學(xué)，而讓學(xué)生不再只是“顧算”。對(duì)此，我們提出如下“分”與“合”的教學(xué)建議。

一、把知識(shí)難點(diǎn)“分一分”，讓學(xué)生想估、會(huì)估

第一學(xué)段學(xué)生的估算意識(shí)和估算技術(shù)還處在形成過程中，教學(xué)不能一步登天，要善于使用“慢鏡頭”。“慢鏡頭”中有一種技術(shù)是“分鏡頭”，我們可以設(shè)計(jì)一些鋪墊題，幫助學(xué)生先掌握“簡(jiǎn)約”和“轉(zhuǎn)換”兩個(gè)前期估算技術(shù)，從而分散難點(diǎn)。

為了激發(fā)學(xué)生估算的意識(shí)，教師還要學(xué)會(huì)借力人普遍具有的偷懶心理，因?yàn)槿说耐祽行袨槭莿?chuàng)造的動(dòng)力，通過發(fā)明新方法、新技術(shù)來減輕負(fù)擔(dān)，提高成效。在面對(duì)較大數(shù)目計(jì)算并不需要得到精確結(jié)果時(shí)，學(xué)生的第一反應(yīng)是估算要比筆算省時(shí)省力，此時(shí)偷懶心理就可能促使學(xué)生主動(dòng)嘗試估算。根據(jù)以上理論，教師不妨在例題教學(xué)之前設(shè)計(jì)如下比較大小的題目：

312×5○1500 ? ? ?689×4○2800

設(shè)計(jì)這樣的題目，一個(gè)方面的好處是因?yàn)閿?shù)據(jù)大，學(xué)生乍一看就感覺心煩，再一看發(fā)覺還不會(huì)口算，心理障礙與知識(shí)障礙迫使學(xué)生只能放棄精確計(jì)算的習(xí)慣動(dòng)作而去另辟蹊徑。此時(shí)，教師就可順應(yīng)學(xué)生的需求，稍加點(diǎn)撥——“整百數(shù)乘一位數(shù)，你會(huì)口算嗎？”引導(dǎo)學(xué)生想到迂回戰(zhàn)術(shù)，間接地解決問題，以此掀開估算的蓋頭。開始時(shí)，學(xué)生或許有一種被逼的感覺（在此教師可以趁機(jī)讓學(xué)生體會(huì)估算的必要性），但一旦領(lǐng)略到了估算的好處之后（在此教師可以趁機(jī)讓學(xué)生體會(huì)估算的優(yōu)越性），學(xué)生自然會(huì)對(duì)估算產(chǎn)生好感，從而重視估算在解決問題中的作用，進(jìn)而迫切地想掌握估算技術(shù)——“何時(shí)用估算”“怎樣來估算”“估算后怎么辦”。當(dāng)知識(shí)有了需求之后，知識(shí)之芯就能夠與學(xué)生之心實(shí)現(xiàn)自然而有效的對(duì)接，很好地從“自上而下”的“教—學(xué)”形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椤白韵露稀钡摹皩W(xué)—教”形態(tài)，估算教學(xué)也就能夠水到渠成。

設(shè)計(jì)這樣的題目，另一個(gè)方面的好處是有利于幫助學(xué)生一門心思地掌握估算的專項(xiàng)技術(shù)。雖然課程標(biāo)準(zhǔn)指出要“結(jié)合具體情境進(jìn)行估算”，但對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來說，估算涉及的思維過程相對(duì)復(fù)雜，所以在涉足實(shí)際問題的具體情境之前，先進(jìn)行純算式的比較，可以減少實(shí)際情境的干擾，降低學(xué)生的思維難度，使估算教學(xué)能夠循序漸進(jìn)。在這里，教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生掌握兩種估算技能：一種是“小估”。例如把312看作300，300×5=1500，所以312×5>1500;另一種是“大估”。例如把689看作700，700×4=2800，所以689×4<2800。

在反饋時(shí)，教師應(yīng)要求學(xué)生能夠有序表達(dá)，在表達(dá)中讓學(xué)生逐步體會(huì)估算技術(shù)：“一算”，算什么？口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù);“二比”，誰和誰比？要把實(shí)際的算式與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比，而不是把算出的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)比。

另外，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用估算方法。例如757-349，如果把757看成整百數(shù)應(yīng)該是800，349應(yīng)該看作300，這樣的結(jié)果是500，再看757中的57接近50，349中的49也接近50，則把這兩個(gè)數(shù)分別看成750-350，結(jié)果是400，要比500更接近正確得數(shù)。

二、與生活經(jīng)驗(yàn)“合一合”，讓學(xué)生想估、會(huì)估

估算畢竟是一種開放性、創(chuàng)造性的活動(dòng)，估算的方法不僅靈活多樣，而且判斷結(jié)果要根據(jù)實(shí)際情境來決定，往往有很多不確定的因素，因此當(dāng)學(xué)生熟練掌握了估算技術(shù)的“一算”“二比”之后，接下來如何幫助學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況，運(yùn)用估算的結(jié)果來作出正確判斷呢？教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)更多的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生更多地接觸現(xiàn)實(shí)生活中不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題，并能接觸到各種不同的表述方式，培養(yǎng)學(xué)生具體問題具體分析的能力。

例如教師可以設(shè)計(jì)題組練習(xí)：（1）甲要打一篇400字的文章，平均每分鐘可打53個(gè)字，8分鐘能打完嗎？如果把53看成50，因?yàn)?0×8=400， 53×8>400，所以結(jié)論是“能”;（2）乙要打一篇400字的文章，平均每分鐘可打48個(gè)字，8分鐘能打完嗎？如果把48看成50，50×8=400，48×8<400，所以結(jié)論是“不能”。這樣強(qiáng)有力的對(duì)比，足以讓學(xué)生意識(shí)到用估算解決實(shí)際問題不僅要會(huì)“算”，而且要會(huì)“比”，更要會(huì)“判斷”。

又如在學(xué)習(xí)了兩、三位數(shù)乘一位數(shù)后，出現(xiàn)這樣一道練習(xí)題：“上午有3批學(xué)生來參觀，每批69人，下午來參觀的學(xué)生有213人，是上午參觀的學(xué)生多，還是下午參觀的學(xué)生多？”有估算意識(shí)的教師就不會(huì)簡(jiǎn)單地把它作為兩位數(shù)乘一位數(shù)的復(fù)習(xí)題一帶而過，而會(huì)充分利用這一素材，讓學(xué)生運(yùn)用不同的方法自主進(jìn)行比較，對(duì)于想到用估算的方法來解決問題的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)。

在隨后的知識(shí)教學(xué)中，我們應(yīng)該時(shí)時(shí)處處想到估算教學(xué)，只有在一段時(shí)間內(nèi)不斷進(jìn)行估算訓(xùn)練（其中有一種常用方法就是把估算與筆算結(jié)合在一起，筆算前先估一估，以此作為驗(yàn)算的一種輔助方法），才能讓學(xué)生對(duì)估算留下深刻的印象并熟練掌握估算技能，逐步形成估算習(xí)慣。

如在后續(xù)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)這樣的題目：“博物館門票每張8元，34個(gè)同學(xué)參觀。帶350元夠了嗎？”學(xué)生可能有這樣幾種估算方法：（1）34×10=340;（2）30×8=240;（3）30×10=300。教師對(duì)此可以問：“這些不同的估法，哪種最有說服力？”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，其中第（1）種方法是往大估的，往大估也夠，實(shí)際一定夠，可以看出這種方法優(yōu)于其他兩種。教師接著還可以問：“哪種估法更接近精確值？”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，其中第（3）種方法結(jié)果更接近精確值。教師之后不妨把題目改成：“博物館門票每張8元，34個(gè)同學(xué)參觀。買門票一共需要多少錢？”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，什么時(shí)候可以用估算，什么時(shí)候需要算出精確值。通過這個(gè)“同題異問”的對(duì)比練習(xí)，幫助學(xué)生能夠靈活處理生活問題和靈活選擇估算策略。

另外值得一提的是，如果出現(xiàn)像上述課例中那樣的“未教先會(huì)”的學(xué)生，筆算出62×5的結(jié)果之后來判斷，教師也不能斷然否定，應(yīng)該在肯定的同時(shí)引導(dǎo)這位學(xué)生根據(jù)題目的特點(diǎn)來嘗試采用估算的方法解決問題。另外，我們還可以外力驅(qū)動(dòng)，例如設(shè)法模擬生活中不方便用紙筆運(yùn)算的場(chǎng)景，使學(xué)生慣用的筆算沒有用武之地，此時(shí)學(xué)生只能選擇估算?？傊?，對(duì)于學(xué)生估算意識(shí)和估算能力的培養(yǎng)僅靠一兩節(jié)課的教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師首先應(yīng)該自己要有估算的意識(shí)，不能因?yàn)楣浪阍诳荚囍胁豢级鲆?，其次在教學(xué)中要抓住一切時(shí)機(jī)組織學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，并做到持之以恒。

（江蘇省無錫市東林小學(xué) ? 214007?江蘇省無錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 ? 214101）