探究性數(shù)學(xué)家庭作業(yè)的類型與設(shè)計(jì)策略

劉善娜

數(shù)學(xué)家庭作業(yè)不僅可用于課后鞏固課堂知識(shí)，更是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)化的反芻和學(xué)習(xí)的應(yīng)用思考，它是教師診斷和促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)估手段。但審視當(dāng)下的現(xiàn)狀，數(shù)學(xué)家庭作業(yè)存在太多機(jī)械劃一的“熟題”作業(yè)，它只是以“完成”和“正確”為導(dǎo)向，缺乏對(duì)學(xué)生完成作業(yè)的思維過程和作業(yè)習(xí)慣的關(guān)注。探究性數(shù)學(xué)家庭作業(yè)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)能力為切入口，旨在讓學(xué)生在一定的探究問題引領(lǐng)下，進(jìn)行自主探究與表達(dá)，強(qiáng)調(diào)在作業(yè)過程中關(guān)注概念的理解、模型的建構(gòu)、方法的提挈、思維過程的體驗(yàn)和能力的養(yǎng)成。結(jié)合小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和兒童表達(dá)的特點(diǎn)，我們可以將探究性家庭作業(yè)分為概念習(xí)得類作業(yè)、問題解決類作業(yè)、遷移證明類作業(yè)三種類型。

一、概念習(xí)得類作業(yè)設(shè)計(jì)策略

數(shù)學(xué)概念是通過大量素材的辨析比較、提煉歸納、概括命名的過程而形成的。借由簡約化的提煉和符號(hào)化的表達(dá)，把數(shù)學(xué)概念抽象成一種顯性的符號(hào)化知識(shí)。而辨析比較、提煉歸納、概括命名的過程，就成為了一種隱性的過程性知識(shí)。因此，用怎樣的方式學(xué)習(xí)這些概念知識(shí)，將直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的程度。

（一）“描述分析式”作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

“描述分析式”的概念建構(gòu)作業(yè)，側(cè)重于概念學(xué)習(xí)后對(duì)概念本身的直接表述，要求學(xué)生描述自己心目中“概念”的名稱、定義、性質(zhì)特點(diǎn)等，也就是先“描述自己對(duì)這一知識(shí)的大概理解”，再通過大量的例子來支撐自己的想法即“呈現(xiàn)大量的舉例進(jìn)行說明”，最后讓學(xué)生通過自己對(duì)概念的 理解來設(shè)計(jì)一兩道題目，以此進(jìn)一步推進(jìn)對(duì)概念的理解。

比如“平均數(shù)”這一概念，在舊教材中的練習(xí)基本是平均數(shù)的計(jì)算題，現(xiàn)在更多的是平均數(shù)概念的理解類題目，類似于“小明身高1.5米，他能安全蹚過平均水深為1.3米的小河嗎？”既然學(xué)習(xí)了“平均數(shù)”，學(xué)生心中的“平均數(shù)”三個(gè)字到底代表著什么？筆者設(shè)計(jì)了“平均數(shù)的自我介紹”探究性數(shù)學(xué)作業(yè)，學(xué)生可以通過畫一畫、寫一寫，為“平均數(shù)”作一番詳細(xì)的自我介紹。

有個(gè)學(xué)生寫道：大家好，我是大名鼎鼎的平均數(shù)，我跟“÷”有點(diǎn)“血緣”關(guān)系。想找到我的方法有兩種，一種是“移多補(bǔ)少”大法，一種是總數(shù)÷份數(shù)。我是“公平的代言人”，代表幾個(gè)數(shù)之間最平等的數(shù)。比如有4個(gè)草莓、3個(gè)蘋果、5個(gè)梨，我就會(huì)分給3個(gè)客人每人4個(gè)水果。我的自我介紹完畢，謝謝。

三年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)能通過定義描述、舉例、出題的方式把“平均數(shù)”的概念予以自我表達(dá)。描述分析式作業(yè)，不僅能讓學(xué)生鞏固概念，更重要的是給予了學(xué)生分析概念的一般方法。學(xué)生多次完成這樣的探究性數(shù)學(xué)作業(yè)后，一旦接觸數(shù)學(xué)概念，就知道可以從哪些角度幫助自己分析概念，從哪些方面可以幫助自己理解深化。

（二）“判斷分析式”作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

判斷分析式作業(yè)，側(cè)重于概念基本鞏固后對(duì)概念與相關(guān)概念的辨析判定。學(xué)生需要先判斷得出自己的結(jié)論，到底是“完全正確還是完全錯(cuò)誤？或者是某種前提下才正確”，這是判斷的第一步。然后讓學(xué)生仔細(xì)分析，可以通過添加條件、修改數(shù)據(jù)等方式使這個(gè)命題正確，這個(gè)環(huán)節(jié)促使學(xué)生去思考與這個(gè)命題比較相似、關(guān)聯(lián)比較緊密的一些概念，形成塊狀的概念認(rèn)識(shí)。最后讓學(xué)生舉出正確的例子，使得對(duì)概念的判斷分析呈現(xiàn)先“破”后“立”的邏輯順序，有助于學(xué)生正確內(nèi)化概念。

如學(xué)生在三年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)“面積”概念后，常會(huì)遇到“面積”與“周長”概念辨析的判斷題。有些判斷題涉及的內(nèi)容很抽象，如“圖形的周長越長，面積就越大”?！爸荛L”是舊知，要成功建立“面積”概念，離不開新舊概念的辨析。但如果只關(guān)注這類判斷題的判斷結(jié)果，就會(huì)導(dǎo)致一部分學(xué)生模糊地死記答案。若將作業(yè)設(shè)計(jì)為“圖形的周長越長，面積就越大嗎？為什么？請(qǐng)把你的想法畫一畫、寫一寫”。學(xué)生就會(huì)在判定此題“錯(cuò)誤”之后，通過畫草圖從各自不同的角度對(duì)這句話進(jìn)行分析，得出“凹來凹去的圖形雖然面積不大，但邊緣可能彎彎曲曲很長，周長大得驚人”等一系列兒童色彩濃郁的精彩結(jié)論。

二、問題解決類作業(yè)設(shè)計(jì)策略

問題解決強(qiáng)調(diào)“四能”培養(yǎng)，問題解決的核心素養(yǎng)是模型思想，問題解決類作業(yè)側(cè)重于讓學(xué)生掌握不同類型問題的結(jié)構(gòu)，也就是模型建構(gòu)。既然“問題”都是有組織有結(jié)構(gòu)的，那么關(guān)注同一結(jié)構(gòu)的提煉，關(guān)注推進(jìn)式結(jié)構(gòu)的組織，就成了問題解決類數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)需要秉承的基本理念。

（一）“橫向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

“橫向同構(gòu)”問題，是指有著相同結(jié)構(gòu)的并列形態(tài)的數(shù)學(xué)問題。問題的例子要突出其共同特征，而使其在無關(guān)特征方面盡可能地變化，從而讓學(xué)生在解答過程中逐步感受到問題的結(jié)構(gòu)組織，達(dá)成橫向并列問題的共性提取。

“橫向同構(gòu)”問題，需要讓學(xué)生先獨(dú)立解答兩至三題針對(duì)性練習(xí)，這幾道練習(xí)題的結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)要完全一致。通常學(xué)生做到第二題的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生“類似”的感覺，做到第三題時(shí)會(huì)出現(xiàn)“題目都一樣的”的興奮心理。因此，可以讓學(xué)生在解答之后將其感悟到的所有的“一樣”之處進(jìn)行詳細(xì)說明，這是一個(gè)羅列的過程，也是一個(gè)梳理的過程。然后再讓學(xué)生通過畫線段圖等方法將這一類題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行抽象的提煉。

如“植樹問題”相關(guān)例題新授完畢后，可以設(shè)計(jì)這樣的探究作業(yè)題：“路燈問題、樓層問題、鋸木問題，為什么都可以稱為植樹問題？請(qǐng)舉例說明?！睂W(xué)生在解答了數(shù)據(jù)相同的路燈問題、樓層問題、鋸木問題后，自悟到各題之間的關(guān)聯(lián)，通過畫圖描述的方式對(duì)植樹問題的三種結(jié)構(gòu)有了更深層次的把握，清晰地抽象出了植樹問題的基本模型。

（二）“縱向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

“縱向同構(gòu)”問題，是指由同一個(gè)數(shù)學(xué)問題衍生的一題多變、一題多解、一題多練的問題，通過把一道有價(jià)值的習(xí)題變化成一組相關(guān)的對(duì)比題組而展現(xiàn)逐步加深的過程，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)該類問題的變化規(guī)律。學(xué)生一旦具備了這樣的知識(shí)，再遇到該類問題時(shí)，不管其中的變量如何變化，都能找到解題的方法。

“縱向同構(gòu)”問題，學(xué)生也需要先獨(dú)立解答兩至三題有針對(duì)性的練習(xí)。這幾道練習(xí)題講的是同一件事，要讓學(xué)生覺得明明很“類似”但又不一樣，產(chǎn)生“到底不一樣在哪里”的探究欲，從而讓學(xué)生在一一解答之后將其感悟到的所有“不一樣”之處進(jìn)行說明，最好能表述清楚其中的變化和聯(lián)系，窺探到相同中的不同、不同中的相同。

比如，在學(xué)習(xí)“分段計(jì)費(fèi)”后，設(shè)計(jì)如下作業(yè)：“王叔叔坐出租車，3千米以內(nèi)6元，3千米至10千米每千米1.5元，10千米以上每千米1元。王叔叔如果坐了2千米，要支付多少元？5千米呢？20千米呢？請(qǐng)畫線段圖分析這類題目的特點(diǎn)。”學(xué)生在課堂上研究的是“分兩段”的“水費(fèi)”“電費(fèi)”“電話費(fèi)”等問題，在作業(yè)時(shí)，就可以從“橫向”轉(zhuǎn)為“縱向”，從“不需要分段”到“分兩段”再拓展到“分三段”，并借助線段圖深入理解分段計(jì)費(fèi)問題的特點(diǎn)，一旦掌握這個(gè)變化的特點(diǎn)，哪怕分成四段、五段，學(xué)生依然思路清晰、方法明確，只是覺得繁復(fù)程度遞增而已。

這類問題還可以設(shè)計(jì)成開放題，在封閉的數(shù)學(xué)題中減少一些已知條件，如把上題中坐車的“5千米”“20千米”這兩個(gè)數(shù)據(jù)去掉，由學(xué)生自己提供數(shù)據(jù)，要求“你能再提出不同難度的三個(gè)問題嗎”，這就促使學(xué)生必須先仔細(xì)分析這一數(shù)學(xué)問題，再思考怎樣設(shè)計(jì)才能符合“越來越難”的要求。這類“缺胳膊少腿”的問題需要學(xué)生用分析和設(shè)計(jì)的心態(tài)去努力求索所有的結(jié)果或創(chuàng)造出新的問題，從而更好地把握問題變量之間的關(guān)系，掌握變化的規(guī)律，提升提出問題、解決問題的能力。

三、遷移證明類作業(yè)設(shè)計(jì)策略

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。遷移證明類作業(yè)設(shè)計(jì)側(cè)重于練習(xí)之后推理方式的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生在推理的過程中逐步掌握證明、分析、推理的步驟和策略。

（一）“證明推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

當(dāng)學(xué)生有能力去推斷和證明一個(gè)命題時(shí)，他的頭腦中就已經(jīng)具有了一定的圖式。作業(yè)要先把頭腦中原有的圖式激活，為學(xué)生提供解釋該問題的背景知識(shí)，從而將一些難以理解的信息組織成有意義的整體，有效突破知識(shí)難點(diǎn)。

“證明推理”與概念的“判斷分析”最大的差異是作業(yè)內(nèi)容的差異。概念的“判斷分析”傾向重點(diǎn)知識(shí)，主要是重點(diǎn)概念的辨析，而“證明推理”主要是為學(xué)習(xí)中的一些偏難題鋪設(shè)探究場，以求真正突破知識(shí)難點(diǎn)，增添探究樂趣。

學(xué)生要證明自己的觀點(diǎn)，首先就要亮出自己的觀點(diǎn)，然后要從“證明”的角度去畫一畫、比一比，或者從正、反兩面去陳述，學(xué)會(huì)用豐富的材料支撐自己的觀點(diǎn)，最后得出結(jié)論，再次表明自己的觀點(diǎn)。

如學(xué)習(xí)小數(shù)的近似數(shù)后，對(duì)2=2.0，2和2.0意義不同，很容易理解，但對(duì)取值范圍不同、精確度不同，卻總是難以理解到位。筆者設(shè)計(jì)了這樣的“證明”作業(yè)：老師身高約2米，小明的身高約2.0米，2=2.0，所以老師和小明一樣高。你認(rèn)同嗎？請(qǐng)證明你的看法，并作圖（提供數(shù)軸圖）分析。老師和小明到底誰高呢？答案本是未知，全賴于學(xué)生對(duì)2和2.0取值范圍的認(rèn)知，對(duì)精確值的理解。有趣的比較，激活了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和四舍五入取值經(jīng)驗(yàn)，在結(jié)合圖示證明自己看法的過程中，學(xué)生充滿樂趣地感受了近似數(shù)2和2.0取值范圍的差異。

（二）“遷移推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)策略

學(xué)生知識(shí)的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念去影響和促進(jìn)新的理解，通過溝通新舊知識(shí)的互相聯(lián)系而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。學(xué)生必須自己去經(jīng)歷完整的遷移類推的作業(yè)過程，才能形成更好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

學(xué)生常常會(huì)遇到一些很難解答正確的難題。探究性作業(yè)可以讓學(xué)生先“知難”，直接呈現(xiàn)難題給學(xué)生，讓其展開思考。這個(gè)時(shí)候各層次的學(xué)生會(huì)有不同的表現(xiàn)，有些學(xué)生能直接解答，那就生成了挑戰(zhàn)成功的樂趣，有的學(xué)生沒有能力解決，就引導(dǎo)他們先進(jìn)行簡單題的嘗試分析。這些簡單題是與難題結(jié)構(gòu)一致或解題策略一致的相對(duì)淺層的習(xí)題，學(xué)生通過解決難度遞升的這組簡單題，會(huì)打開類比思維，利用知識(shí)、方法層面的同一性，遷移解決問題。完成作業(yè)的整個(gè)過程，不僅讓學(xué)生明白“難”的知識(shí)可以一步步轉(zhuǎn)化成“易”的知識(shí)，也讓學(xué)生掌握遷移解決問題的方法，了解類比思想的重要性。

如“已知正方形面積為2平方厘米，求圓形面積”這道題（見右圖），學(xué)生基本都感到解答困難。探究作業(yè)設(shè)計(jì)為：如果你覺得解答此題困難，請(qǐng)先做下面兩題。1.一個(gè)長方形長與寬的和是4厘米，它的周長是多少厘米？2.已知梯形上底與下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面積是多少平方厘米？現(xiàn)在，你能解答前面的問題了嗎？你發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系了嗎？后兩題是舊知鋪墊，用于消除學(xué)生的思維定勢，讓學(xué)生感受到不一定要知道具體的“長”和“寬”才能求周長，不一定要知道“上底”和“下底”的具體數(shù)據(jù)才能求梯形面積，而是可以直接借用“長與寬的和”與“上底與下底的和”來解決問題。借此支架，學(xué)生就可遷移類推：不一定要知道正方形的邊長即圓的半徑，利用正方形的面積即圓半徑的平方，也能求得圓的面積。

“遷移推理式”探究性作業(yè)，關(guān)注分層體驗(yàn)，能力強(qiáng)的學(xué)生重在發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，歸納“遷移點(diǎn)”，能力弱的學(xué)生則對(duì)“遷移”圖式有了較為完整的體驗(yàn)和建構(gòu)。

當(dāng)然，除了上述三種探究性作業(yè)類型外，在日常的家庭作業(yè)布置過程中，更多體現(xiàn)的是綜合運(yùn)用類的作業(yè)，通過描述、判斷、推理、遷移等要求的綜合運(yùn)用，不僅讓學(xué)生在探究過程中習(xí)得了概念的鞏固、技能的熟練、方法的掌握，更重要的是，它讓學(xué)生逐步建構(gòu)了描述的規(guī)則、推理的方式、梳理的方法等策略，直接推進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組建和完善，發(fā)展邏輯思維能力。

（浙江省奉化市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）