“數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)”一節(jié)教學(xué)內(nèi)容的延伸和拓展

陳允安

摘 要： 隨著新一輪課程改革的深入，高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際中的應(yīng)用，在不同知識(shí)模塊間的滲透應(yīng)用隨處可見.所以數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，函數(shù)性質(zhì)在數(shù)列中的考查有著一一體現(xiàn).由于本節(jié)知識(shí)點(diǎn)較多，教材僅是將主要內(nèi)容進(jìn)行概括說(shuō)明，而數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)是學(xué)生第一次接觸，在講解過程中教師有必要延伸和拓展才能取得較好的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞： 數(shù)列 函數(shù)性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)效果

“數(shù)列”一節(jié)是蘇教版高中教材必修五第二章第一節(jié)的內(nèi)容，教材內(nèi)容安排的順序是：數(shù)列的定義；數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的表示；數(shù)列的函數(shù)性質(zhì).數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式是本節(jié)的重點(diǎn)，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)是本節(jié)的難點(diǎn)，教材首先從日常生活中常見的一些數(shù)的問題抽象出數(shù)列的定義，然后通過對(duì)數(shù)列定義的理解比較數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系.所以數(shù)列和函數(shù)之間有著彼此相互利用的關(guān)系.隨著新一輪課程改革的深入，高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際中的應(yīng)用，在不同知識(shí)模塊間的滲透應(yīng)用隨處可見.所以數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，函數(shù)性質(zhì)在數(shù)列中的考查有著一一體現(xiàn).由于本節(jié)知識(shí)點(diǎn)較多，教材僅是將主要內(nèi)容進(jìn)行概括說(shuō)明，而數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)是學(xué)生第一次接觸，在講解過程中，教師有必要進(jìn)行延伸和拓展才能取得較好的教學(xué)效果.下面就將我在教學(xué)“數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)”一節(jié)教學(xué)內(nèi)容時(shí)延伸和拓展的內(nèi)容總結(jié)如下.

1.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

1.1相同點(diǎn)

在數(shù)列{a■}中，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n（或n∈{1，2，…，k}），都有一個(gè)數(shù)a■與之對(duì)應(yīng)，因此數(shù)列可以看成以正整數(shù)N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）為定義域的函數(shù)a■=f（n），當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值y=f（x）.反過來(lái)，對(duì)于函數(shù)，如果f（i）（i=1，2，3，…）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

1.2不同點(diǎn)

數(shù)列可以看成是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的函數(shù)按自變量從小到大依次取值，即數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域有限制，所以在用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問題時(shí)尤其要注意.

1.3例題講解

例1.數(shù)列{-2n■+29n+3}中最大項(xiàng)的值為？搖 ？搖.

解析：錯(cuò)解：由已知得a■=2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，所以數(shù)列{-2n■+29n+3}中最大項(xiàng)的值為108■.

錯(cuò)解分析：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域是正整數(shù)集，n取不到■，所以最大項(xiàng)也不能為108■.這一個(gè)約束條件很容易被忽略.

正解：a■=-2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，∵n∈N■，∴當(dāng)n=7時(shí)，a■有最大值為108.∴數(shù)列{-2n■+29n+3}中最大項(xiàng)的值為108.

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式

2.1知識(shí)鏈接

在數(shù)列{a■}中，如果數(shù)列{a■}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式a■=f（n）表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）為定義域的函數(shù)的解析式.

2.2例題講解

例2.在數(shù)列{a■}中，a■=2，a■=66，通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).

（1）求數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式；

（2）88是否為數(shù)列{a■}中的項(xiàng).

解析：（1）設(shè)a■=an+b，由題意得：2=a+b66=17a+b，解得：a=4b=-2，∴a■=4n-2.

（2）令4n-2=88，解得n=■？埸N■，所以88不是數(shù)列{a■}中的項(xiàng).

2.3延伸理由

教師的教學(xué)應(yīng)該遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，雖然我們知道數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上就是數(shù)列的解析式，但是由于學(xué)生剛剛開始學(xué)習(xí)數(shù)列，對(duì)這一點(diǎn)的認(rèn)識(shí)肯定不是十分清楚.但由于學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了函數(shù)的概念和解析式的內(nèi)容，因此如果能帶領(lǐng)或引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式的角度理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)生肯定能進(jìn)一步認(rèn)識(shí)清楚數(shù)列通項(xiàng)公式與n之間的關(guān)系，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

3.數(shù)列的圖像

3.1知識(shí)鏈接

由于數(shù)列可以看成是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的特殊函數(shù)，因此數(shù)列的圖像是相應(yīng)的曲線（或直線）上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點(diǎn).數(shù)列用圖像表示時(shí)，可以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)畫圖表示一個(gè)數(shù)列.在畫圖時(shí)，為了方便起見，在平面直角坐標(biāo)系中，兩條坐標(biāo)軸上取的單位長(zhǎng)度可以不同.

3.2例題講解

例3.數(shù)列{a■}：1，1，3，3，5，5，7，7…

（1）寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（2）若把其中的偶數(shù)項(xiàng)去掉，求余下的數(shù)按原來(lái)的順序組成的新數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）作出（2）中新數(shù)列的圖像.

解析：（1）a■=n（n為奇數(shù)）n-1（n為偶數(shù)）或a■=n-■（n∈N■）

（2）a■=2n-1.

（3）{a■}的圖像如右圖所示：

3.3延伸理由

《新課標(biāo)》指出：“要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。”課堂上，教師如果能帶領(lǐng)學(xué)生一起作某一個(gè)數(shù)列的圖像，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)到黑板上所作出來(lái)的數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn)的時(shí)候，可以更直觀地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)到數(shù)列確實(shí)是一個(gè)函數(shù)，但它是一個(gè)特殊的函數(shù)，即n的取值的特殊性.這正好和前面所講到的數(shù)列通項(xiàng)公式中n的特殊性呼應(yīng)起來(lái)，這種教學(xué)效果估計(jì)是任何語(yǔ)言都替代不了的.

4.數(shù)列的單調(diào)性

4.1知識(shí)鏈接

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，同樣具備函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì).對(duì)于數(shù)列{a■}來(lái)說(shuō)：①若a■a■（n∈N■），則稱{a■}為遞減數(shù)列；③若a■與a■的大小關(guān)系不定，交替變化，則稱數(shù)列{a■}為擺動(dòng)數(shù)列；④若a■=a■，則稱數(shù)列{a■}為常數(shù)列.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法同樣適用于數(shù)列.

4.2例題講解

例4.已知函數(shù)f（x）=2■-2■，數(shù)列{a■}滿足f（log■a■）=-2n.

（1）求數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式；

（2）證明數(shù)列{a■}是遞減數(shù)列.

解析：（1）由已知條件有2■-2■=-2n，所以a■-■=-2n，即a■■+2na■-1=0，所以a■=-n±■，因?yàn)閍■>0，所以a■=-n+■.

（2）由于a■>0，要比較a■與{a■}的大小，可以作差也可以作商.

因?yàn)椤?■=■<1，所以a■

4.3延伸理由

教學(xué)不僅是一個(gè)實(shí)踐過程，還是一個(gè)心理過程.古人云：“不憤不啟，不悱不發(fā).”我們不讓學(xué)生思考，學(xué)生就不會(huì)有“憤”和“悱”的沖動(dòng).既然教師在課堂上反復(fù)地提到數(shù)列其實(shí)就是一種特殊的函數(shù)，但是拿什么東西讓學(xué)生相信這一點(diǎn)呢？我想當(dāng)學(xué)生從上面的例子中體會(huì)到也可以用函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)處理數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，那么就會(huì)對(duì)學(xué)生理解數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)起到錦上添花的作用.

5.數(shù)列的最值

5.1知識(shí)鏈接

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，由于函數(shù)可以通過解析式求函數(shù)的最值，因此數(shù)列也可以由通項(xiàng)公式確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng).研究數(shù)列的最值問題有兩種途徑：一是數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以沿用函數(shù)求最值的方法，但是要注意使{a■}取最值的n值必須是正整數(shù)，二是有的時(shí)候數(shù)列并不一定有最大（?。╉?xiàng).

5.2例題講解

例5.已知數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式a■=（n+1）（■）■（n∈N■），試問數(shù)列{a■}有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說(shuō)明理由.

解析：∵a■-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■，

∴當(dāng)n<9時(shí)，a■-a■>0，即a■>a■；

當(dāng)n=9時(shí)，a■-a■=0，即a■=a■；

當(dāng)n>9時(shí)，a■-a■<0，即a■

故a■a■>a■>…，所以數(shù)列中最大的項(xiàng)為第9、10兩項(xiàng).

5.3延伸理由

新課程下課堂教學(xué)的一個(gè)重要變革就是要把傳統(tǒng)教學(xué)的“一維目標(biāo)”（知識(shí)與技能）轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭S目標(biāo)”（知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀）.而關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展，就必須要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中三維目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn).所以在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上，教師如果能夠引導(dǎo)學(xué)生探索掌握如何根據(jù)函數(shù)求最大值的方法去類比求數(shù)列中最大項(xiàng)的求法，這樣學(xué)生就可能經(jīng)歷如下思維過程：“提出問題”—“分析問題”—“經(jīng)歷失敗”—“汲取信息”—“解決問題”.

用教材教，還是教教材，是彰顯一名教師教育觀念和教育行為是否與時(shí)俱進(jìn)、是否具有高水平實(shí)施新課程能力的主要標(biāo)志.當(dāng)然，需要注意的是，本部分內(nèi)容延伸和拓展的素材和題目比較多，有的地方也較難，教師應(yīng)該如何把握呢？我想首先要立足于學(xué)生的實(shí)際——學(xué)生的接受能力、理解能力及學(xué)習(xí)能力.特別提醒的是不能讓延伸和拓展的內(nèi)容沖淡了本節(jié)課的主題，否則教學(xué)目標(biāo)則被沖淡，整個(gè)教學(xué)計(jì)劃就有可能落空，教學(xué)效果也不會(huì)好.