新課程高中數(shù)學(xué)必修教學(xué)中系統(tǒng)研究疑難問(wèn)題的思考

牛淑琴

一、課題研究的意義

高中數(shù)學(xué)新課程改革從試點(diǎn)到全國(guó)已全面展開(kāi)，隨著高中新課程改革的推進(jìn)，甘肅省也成為其中一員.在新一輪課程改革如火如荼地進(jìn)行中，很多從事數(shù)學(xué)教育的工作者積極投身到了這場(chǎng)改革的浪潮中.由于新教材對(duì)原有的數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行了調(diào)整，對(duì)原有的繁難問(wèn)題進(jìn)行了刪減，對(duì)學(xué)生難以理解的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行了分散處理，為了讓高中新課程改革與高考有效銜接與匹配，教學(xué)中優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)教學(xué)效果，就成為新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施的關(guān)鍵.

高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，不論是基礎(chǔ)知識(shí)的形成，還是基本技能的掌握，或者是基本能力的培養(yǎng)，都會(huì)遇到很多疑難問(wèn)題.這些疑難易錯(cuò)問(wèn)題，如果不及時(shí)解決，就會(huì)極大地阻礙思維的發(fā)展，從而挫傷學(xué)生的自信心.學(xué)好高中數(shù)學(xué)，在高考中取得好成績(jī)的關(guān)鍵之一是解決好學(xué)習(xí)中的疑難易錯(cuò)問(wèn)題，所以強(qiáng)化學(xué)生解決疑難、歸納整理的能力尤為重要.

通過(guò)近幾年的教學(xué)和反思，為了幫助學(xué)生有效克服學(xué)習(xí)障礙，減少學(xué)習(xí)過(guò)程中的“無(wú)用功”，確保高考時(shí)“胸中自有雄兵百萬(wàn)”，也為了使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師準(zhǔn)確把握教學(xué)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，詳略得當(dāng)，確保較高的課堂教學(xué)效率，針對(duì)高中階段遇到的疑難和易錯(cuò)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)歸納和分析，是減負(fù)增效的一種有效途徑.

目前國(guó)內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究關(guān)于這方面的思考相對(duì)來(lái)說(shuō)較多，但以初中階段研究居多，高中階段較少.新課標(biāo)背景下要求增強(qiáng)課改意識(shí)，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀(guān)念，但高考升學(xué)仍然看分?jǐn)?shù)，所以人們會(huì)更多地關(guān)注這些能夠直接提高成績(jī)的解題技巧、化歸演繹等，學(xué)生和教師也很重視整理和歸納疑難易錯(cuò)題，但許多都很零散，不成體系，而且與新課標(biāo)內(nèi)容不相匹配.又因?yàn)楦魇∷觅Y料各不相同，許多省份高考自主命題，符合新課標(biāo)教材且甘肅考生適用的很少，至于這一課題研究最終對(duì)甘肅考生成資料性、適用性、推廣性的研究的文章也較少，為了使新課程改革與高考融合得更深入，我們很有必要對(duì)新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修1到必修5內(nèi)容遇到的疑難和易錯(cuò)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)全面的總結(jié)歸納和分析.

二、課題研究的主要內(nèi)容及重、難點(diǎn)

學(xué)生學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的錯(cuò)誤主要有：1.知識(shí)性錯(cuò)誤：數(shù)學(xué)概念理解錯(cuò)誤，公式應(yīng)用錯(cuò)誤，定理、性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤等；2.數(shù)學(xué)方法應(yīng)用性錯(cuò)誤：思維定性、以偏概全、審題中忽視隱含條件的數(shù)學(xué)思維等.前車(chē)之覆后車(chē)之鑒，教師授課時(shí)要強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的錯(cuò)誤警戒意識(shí)，使得課堂內(nèi)容重點(diǎn)突出、針對(duì)性更強(qiáng)，使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，能有效構(gòu)建數(shù)學(xué)解題過(guò)程中常見(jiàn)性錯(cuò)誤的“錯(cuò)題庫(kù)”，達(dá)到讓學(xué)生跳出題海，輕松而高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.同時(shí)針對(duì)高考中常見(jiàn)的易錯(cuò)、易混、易忘典型題目系統(tǒng)地整理出來(lái)，疑難問(wèn)題集中攻克，易錯(cuò)問(wèn)題及時(shí)糾正，學(xué)生面對(duì)高考也心中有數(shù)，手中有法，自然在高考時(shí)能考出優(yōu)異成績(jī).

三、課題研究的思路及方法

1.在課堂教學(xué)中將遇到學(xué)生不易于理解的知識(shí)點(diǎn)和課后學(xué)生反饋的問(wèn)題，在考試中容易出錯(cuò)的典型問(wèn)題整理出來(lái)，經(jīng)過(guò)教研討論，形成更好、更科學(xué)的授課思路，讓學(xué)生理解、接受、消化、吸收.如：

例1：（2010.天津）命題“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是（ ）

A.若f（x）是偶函數(shù)，則f（-x）是偶函數(shù)

B.若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)

C.若f（-x）是奇函數(shù)，則f（x）是奇函數(shù)

D.若f（-x）不是奇函數(shù)，則f（x）不是奇函數(shù)

【解題探究】本題重點(diǎn)關(guān)注：（1）要求的是“否命題”而非“命題的否定”；（2）注意“奇函數(shù)”的否定對(duì)象是什么？

【規(guī)范解答】選B.因?yàn)榉衩}是既否定題設(shè)，又否定結(jié)論，而奇函數(shù)的否定不是偶函數(shù)，而是“不是奇函數(shù)”，所以否命題應(yīng)為“若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)”.

【誤區(qū)警示】知識(shí)性錯(cuò)誤.

本題為由原命題確定否命題，在本題中易將否命題誤認(rèn)為命題的否定，或?qū)⑵婧瘮?shù)的否定誤認(rèn)為是偶函數(shù)，從而導(dǎo)致錯(cuò)選，這類(lèi)問(wèn)題，常見(jiàn)的誤區(qū)有：

（1）不能正確區(qū)分命題的否定與否命題；

（2）將條件或結(jié)論的否定搞錯(cuò).

例2：若拋物線(xiàn)y=ax-1上恒有關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是？搖 ？搖.

【解題探究】（1）直線(xiàn)AB的方程必為y=x+b，根據(jù)點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)，用參數(shù)a表示出b，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn)建立關(guān)于參數(shù)a的不等式；（2）求出拋物線(xiàn)斜率為1的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程，利用這個(gè)軌跡方程與直線(xiàn)x+y=0的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)a的不等式.

【規(guī)范解答】解法一：設(shè)拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)為A（x，y），B（x，y），AB的方程為y=x+b，代入拋物線(xiàn)方程y=ax-1，得ax-x-（b+1）=0.設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），則x=，y=x+b=+b.由于M（x，y）在直線(xiàn)x+y=0上，故x+y=0，由此得b=-，此時(shí)ax-x-（b+1）=0變?yōu)閍x-x-（-+1）=0.由△=1+4a（-+1）>0，解得a>.故填a>.

解法二：根據(jù)點(diǎn)差法，不難求出拋物線(xiàn)y=ax-1的斜率為1的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是x=.當(dāng)a>0時(shí)，y>-1；當(dāng)a<0時(shí)，y<-1.將x=與x+y=0聯(lián)立，得滿(mǎn)足條件的AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，-）.當(dāng)a>0時(shí)，->-1，解得a>；當(dāng)a<0時(shí)，-<-1，此時(shí)無(wú)解.綜上知，a>.故填a>.

【誤區(qū)警示】圓錐曲線(xiàn)上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，試確定圓錐曲線(xiàn)中或者直線(xiàn)中的某個(gè)參數(shù)的取值范圍，這是圓錐曲線(xiàn)中的一個(gè)難點(diǎn).化解這個(gè)難點(diǎn)的方法有兩種：一是利用兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)條件，即這兩點(diǎn)的連線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直和這兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，寫(xiě)出用參數(shù)表達(dá)的直線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由判別式大于0列出關(guān)于參數(shù)的不等式解決；二是利用圓錐曲線(xiàn)上與對(duì)稱(chēng)軸垂直的平行弦中點(diǎn)的軌跡與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)內(nèi)部，列出關(guān)于參數(shù)的不等式解決.

2.各章以疑難易錯(cuò)問(wèn)題為主線(xiàn)，注重分析解決問(wèn)題的思路和學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，通過(guò)解決常見(jiàn)疑難易錯(cuò)問(wèn)題這一平臺(tái)，揭示解決問(wèn)題的通性通法.學(xué)生對(duì)于糾錯(cuò)本可以進(jìn)行如下使用：（1）分門(mén)別類(lèi)，系統(tǒng)整理；（2）深入分析，找出“病根”；（3）常翻常看，溫故知新；（4）分析歸納，總結(jié)方法，舉一反三.

3.啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)類(lèi)比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，不斷提高數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)起更濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.