三角函數(shù)的歷史與解題技巧

徐贏　趙宇

摘 要：主要介紹了三角函數(shù)的起源、發(fā)展和最終定義的形成。三角函數(shù)的演變經(jīng)歷了無數(shù)杰出數(shù)學家的不斷努力，每一步的發(fā)展都是智慧的創(chuàng)新。在了解三角函數(shù)發(fā)展歷史的基礎上，會更好地理解三角函數(shù)。三角函數(shù)是高考必考內容，著重介紹了函數(shù)的解題思路和技巧。

關鍵詞：數(shù)學教學；三角函數(shù)；解題技巧

在數(shù)學中，三角函數(shù)是一種常見的關于角度的函數(shù)。三角函數(shù)是將角度作為自變量，而角度對應任意兩邊的比值作為因變量的函數(shù)。三角函數(shù)可以將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯(lián)，也可以相應的用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時，三角函數(shù)發(fā)揮著重要作用，同時它也是研究周期性現(xiàn)象的基礎數(shù)學工具。高中常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。

對于三角函數(shù)的研究最早可以追溯到人類文明的較早階段。在公元前2世紀，古希臘三角術的奠基人喜帕恰斯按照古巴比倫人的做法，將一個圓周分為360等份（即將圓周的弧度視為360度，與目前通用的弧度制有所不同）。對于給定的弧度，他給出了對應的弦的長度數(shù)值，這個記法與目前使用的正弦函數(shù)是相同的，喜帕恰斯也給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。古希臘的三角學基本是球面三角學，這是由于古希臘人研究的主體是天文學，三角學僅作為輔助工具。梅涅勞斯在《球面學》書中通過采用正弦函數(shù)來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數(shù)學匯編》中計算了36度角和72度角的正弦值，同時還給出了計算和（差）公式和半角公式的方法，此外他給出了自0到180度區(qū)間內的所有整數(shù)和半整數(shù)弧度對應的正弦值。

自從古希臘文化傳播到古印度后，古印度人對三角術開展了進一步研究。到了公元5世紀末，數(shù)學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦，和現(xiàn)代的正弦定義相同，這個做法被后來的古印度數(shù)學家使用。阿耶波多的計算中也使用了余弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0到90度中間隔3.75度的三角函數(shù)值表。但是古印度的數(shù)學僅停留在計算方面，未有系統(tǒng)的定義和演繹的證明。再之后的阿拉伯人又延續(xù)采用了古印度人的正弦定義，同時直接繼承了古希臘的三角學。之后，阿拉伯天文學家引入正切和余切、正割和余割的概念，并計算了間隔10分的正弦和正切數(shù)值表。到了公元14世紀，阿拉伯人將三角計算代數(shù)化，這為三角學從天文學中獨立出來，成為應用范圍更廣的學科奠定了基礎。

15世紀，阿拉伯與歐洲之間交流逐漸增多，阿拉伯數(shù)學文化在這樣的形勢下開始傳入歐洲。在翻譯阿拉伯數(shù)學著作的同時，歐洲數(shù)學家開始制作更詳細精確的三角函數(shù)值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10秒的正弦表，其精確值可以達到9位。此外，瑞提克斯修改了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16世紀后，數(shù)學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。自18世紀，隨著解析幾何等分析學工具的引進，數(shù)學家們開始對三角函數(shù)進行分析學上的研究。

三角函數(shù)在現(xiàn)代文明中地位非常重要，是科研研究工作中不可缺少的數(shù)學工具，在日常的生產生活中同樣有相當?shù)膽?。同時，對于三角函數(shù)在圓與線段間關系和三角形內角與邊長關系的研究和各類計算練習可以有效地幫助青少年鍛煉數(shù)學思維能力和圖形分析能力，是高中必修四的主要內容，是高考對學生思維能力和分析能力考查的手段?？疾榈闹攸c主要是三角函數(shù)的誘導公式、兩角和差公式、正余弦定理、輔助角公式，出題頻率最多的類型題主要是輔助角公式的應用，即函數(shù)y=Asin（ωx+φ）。

解決函數(shù)y=Asin（ωx+φ）相關問題，需要將ωx+φ當作整體，類比函數(shù)y=sinx的性質。

學習數(shù)學不僅要知道數(shù)學公式，會用數(shù)學公式解題，還要了解數(shù)學的發(fā)展歷史，數(shù)學家的奮斗故事，這樣的學習才是有滋有味的學習，而不是枯燥、機械地做題。數(shù)學學科是其他理工學科的基礎，在日常的生活中有著廣泛的應用，雖然我們摸不到、看不到，但是它一直在為我們的生活更加便利、更加幸福起著重要的作用。希望有更多的人喜歡數(shù)學、研究數(shù)學，從而發(fā)展數(shù)學。