平行線分線段成比例定理的再證明

吳博韜 趙倩銳

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

圖1已知：如圖1，l1∥l2∥l3，l4、l5分別交l1、l2、l3于A、B、C與D、E、F點(diǎn).

求證：ABBC=DEEF.

在講授這個(gè)定理時(shí)，老師采用的是從特殊到一般的方法進(jìn)行證明，即把ABBC的比值分為正整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)三種情況，結(jié)合平行線等分線段定理給予證明.特別是當(dāng)ABBC的比值為無(wú)理數(shù)時(shí)，采用近似值，利用逼近法進(jìn)行描述性說(shuō)明該定理成立.但是這種方法并非嚴(yán)格意義上的證明，老師說(shuō)可以采用面積法巧妙證明.

課后經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考與探究，發(fā)現(xiàn)了該定理的又一種證明方法.現(xiàn)利用兩點(diǎn)間的距離公式證明如下，以供同學(xué)們參考.

圖2證明 設(shè)l4，l5與l2不垂直，過(guò)點(diǎn)B作l6，使l6⊥l2，平移直線l5，使l5過(guò)點(diǎn)B，交l1于點(diǎn)M，交l3于點(diǎn)N.如圖2，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，l2為橫軸，l6為縱軸建立直角坐標(biāo)系.

由平移的性質(zhì)，可知：MB=DE，BN=EF.

設(shè)直線的解析式為

l1：y=m（m>0），

l3：y=n（n<0），

l4：y=ax（a>0），

l5：y=bx（b<0）（a，b，m，n為常數(shù)），

所以M（mb，m），A（ma，m）C（na，n），N（nb，n），所以MBBN=（0-mb）2+（m-0）2（nb-0）2+（0-n）2=m2b2+m2n2b2+n2=1b2+1·|m|1b2+1·|n|=-mn，

ABBC=（ma-0）2+（m-0）2（0-na）2+（0-n）2=m2a2+m2n2a2+n2=

-mn.

所以MBBN=ABBC，所以ABBC=DEEF.

（若l4，l5與l2垂直，上述方法依然適用.）