中考新定義拋物線問(wèn)題探析

鄧文忠

在近年的中考題中，涌現(xiàn)出了許多創(chuàng)意新穎、頗具魅力的新定義拋物線問(wèn)題.主要考察學(xué)生閱讀理解能力、應(yīng)用新知能力、遷移應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，一是掌握問(wèn)題原型的特點(diǎn)及其問(wèn)題解決的思想方法；二是根據(jù)問(wèn)題情境的變化，通過(guò)認(rèn)真思考進(jìn)行思想方法的遷移.現(xiàn)就此類題提供四例，供學(xué)習(xí)參考.

1 同簇二次函數(shù)

例1 （2014年安徽）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，開(kāi)口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

（1）請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值.

解 （1）本題是開(kāi)放題，答案不唯一，符合題意即可，如：y1=2x2，y2=x2.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），則2-4m+2m2+1=1，解得m=1.所以y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1.

方法1 因?yàn)閥1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，所以可設(shè)y1+y2=k（x-1）2+1（k>0），則y2=k（x-1）2+1-y1=（k-2）（x-1）2.由題可知函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，5），則（k-2）×12=5.所以k-2=5.所以y2=5（x-1）2=5x2-10x+5.當(dāng)0≤x≤3時(shí)，根據(jù)y2的圖象可知，y2的最大值=5×（3-1）2=20.

方法2 因?yàn)閥1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，則y1+y2=（a+2）x2+（b-4）x+8（a+2>0）.所以-b-42a+2=1，化簡(jiǎn)得b=-2a.又32a+2-b-424a+2=1，將b=-2a代入解得a=5，b=-10.所以y2=5x2-10x+5.以下同法1.

方法3 y1+y2=（a+2）x2+（b-4）x+8（a+2>0）.

因?yàn)閥1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，所以y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1（a+2>0）.所以b-4=-2（a+2），

8=（a+2）+1，解得：a=5，

b=-10.所以y2=5x2-10x+5.以下同法1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開(kāi)口方向、增減性），考查了閱讀理解能力.而對(duì)新定義的正確理解是解決第（2）小題的關(guān)鍵.

2 衍生拋物線

例2 （2014年漳州）已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，我們稱以N為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸且過(guò)點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線.

圖1（1）如圖1，拋物線y=x2-2x-3的衍生拋物線的解析式是 ，衍生直線的解析式是 ；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=-2x2+1和y=-2x+1，求這條拋物線的解析式；

（3）如圖1，設(shè)（1）中的拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)為M，與y軸交點(diǎn)為N，將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n，P是直線n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 （1）y=-x2-3，y=-x-3.

（2）方法1 把y=-2x2+1代入y=-2x+1，得-2x2+1=-2x+1，所以x1=0，x2=1，所以衍生拋物線與衍生直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）和（1，-1）.設(shè)所求拋物線解析式為y=a（x-1）2-1.把點(diǎn)（0，1）代入，得a=2.所以所求拋物線解析式為y=2（x-1）2-1=2x2-4x+1.

方法2 設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b2a，4ac-b24a）.

把y=-2x2+1的頂點(diǎn)（0，1）代入y=ax2+bx+c，得c=1.把（-b2a，4ac-b24a）代入y=-2x+1，得b1=-4，b2=0（不合題意，舍去）.所以把（-2a，a-4a）代入y=-2x2+1，得a=2.所以所求拋物線解析式為y=2x2-4x+1.

（3）方法1 存在.

圖2因?yàn)閥=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以M（1，-4），N（0，-3）.如圖2，作MA⊥y軸于A，直線n與y軸、OM分別交于B、C.因?yàn)镺B=AB=2，直線n∥x軸，所以BC是△OAM的中位線.所以BC=12AM=12，OC=CM=12OM=172.

①當(dāng)∠OMP1=90°時(shí)，△OBC∽△P1MC.所以BCCM=OCP1C，得P1C=172.所以P1（9，-2）.

②當(dāng)∠P2OM=90°時(shí)，△P2BO∽△OBC.所以O(shè)BBC=P2BOB，得P2B=8.所以P2（-8，-2）.

③當(dāng)∠OP3M=90°時(shí)，P3C=12OM=172，P3B=1+172.所以P3（1+172，-2）.

④當(dāng)∠OP4M=90°時(shí)，P4C=P3C=172.所以P4（1-172，-2）.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，分別是（9，-2），（-8，-2），（1+172，-2），（1-172，-2）.

方法2 存在.設(shè)P（x，-2），如圖2，作MA⊥y軸于A，作MD⊥n于D.因?yàn)閥=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以M（1，-4），N（0，-3）.

①當(dāng)∠OMP=90°時(shí)，有OM2+PM2=OP2.所以17+4+（x-1）2=4+x2，解得x=9，所以P1（9，-2）.

②當(dāng)∠MOP=90°時(shí)，有OP2+OM2=PM2.所以4+x2+17=4+（x-1）2，解得x=-8，所以P2（-8，-2）.

③當(dāng)∠OPM=90°時(shí)，有OP2+PM2=OM2.所以4+x2+4+（x-1）2=17，解得x1=1+172，x2=1-172，所以P3（1+172，-2），P4（1-172，-2）.

以下同法1.

點(diǎn)評(píng) 要準(zhǔn)確理解衍生拋物線與原拋物線的關(guān)系：衍生拋物線頂點(diǎn)為原拋物線與y軸的交點(diǎn)；衍生拋物線過(guò)原拋物線的頂點(diǎn)；衍生拋物線與衍生直線的兩交點(diǎn)分別為衍生拋物線與原拋物線的交點(diǎn).對(duì)第（3）問(wèn)，“△POM為直角三角形”誰(shuí)是直角不清楚要分三類討論，一般考慮勾股定理，或相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)列方程求得P點(diǎn)坐標(biāo).本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象及性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及利用其表示坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的基礎(chǔ)知識(shí)，特別注意的是“求坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離”是近幾年考試的熱點(diǎn)，學(xué)生需熟練運(yùn)用.

3 波浪拋物線

例3 （2014年撫州）如圖3，拋物線y=ax2+2ax（a<0）位于x軸上方的圖象記為F1，它與x軸交于P1、O兩點(diǎn)，圖象F2與F1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，F(xiàn)2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為P2，將F1與F2同時(shí)沿x軸向右平移P1P2的長(zhǎng)度即可得F3與F4；再將F3與F4同時(shí)沿x軸向右平移P1P2的長(zhǎng)度即可得F5與F6；……，按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”.

圖3（1）當(dāng)a=-1時(shí)，

①求圖象F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn)H（2014，-3） （填“在”或“不在”）該“波浪拋物線”上；若圖象Fn的頂點(diǎn)Tn的橫坐標(biāo)為201，則圖象Fn對(duì)應(yīng)的解析式為 ，其自變量x的取值范圍為 .

（2）設(shè)圖象Fm、Fm+1的頂點(diǎn)分別為Tm、Tm+1（m為正整數(shù)），x軸上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（12，0）.試探究：當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、Tm、Tm+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？并直接寫出此時(shí)m的值.

解 （1）當(dāng)a=-1時(shí)，

①y=-x2-2x=-（x+1）2+1，所以F1的頂點(diǎn)是（-1，1）.

②由①知：“波浪拋物線”的y值的取值范圍是-1≤y≤1.所以點(diǎn)H（2014，-3）不在“波浪拋物線”上.

由平移知：F2：y=（x-1）2-1，F(xiàn)3：y=-（x-3）2+1，….

因?yàn)镕n的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是201，所以Fn的解析式是：y=（x-201）2-1.

此時(shí)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（200，0）、（202，0）.所以200≤x≤202.

圖4（2）如圖4，取OQ的中點(diǎn)O′，連接TmTm+1.因?yàn)樗倪呅蜲TmQTm+1是矩形，所以TmTm+1=OQ=12，且TmTm+1經(jīng)過(guò)O′，所以O(shè)′Tm+1=6.因?yàn)镕1：y=ax2+2ax=a（x+1）2-a，所以Tm+1的縱坐標(biāo)為-a.所以（-a）2+12=62，所以a=±35.因?yàn)閍<0，所以a=-35.所以當(dāng)a=-35時(shí)，以O(shè)、Tm、Tm+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，此時(shí)m=4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知二次函數(shù)平移的性質(zhì)、最值是解答此題的關(guān)鍵.

4 美麗拋物線

例4 （2009年茂名）已知：如圖5，直線l∶y=13x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，14），一組拋物線的頂點(diǎn)B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…，Bn（n，yn）（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)），設(shè)x1=d（0

（1）求b的值；

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1、A2的拋物線的解析式（用含d的代數(shù)式表示）；

（3）定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”.

探究：當(dāng)d（0

圖5解 （1）因?yàn)镸（0，14）在y=13x+b上，所以b=14.

（2）由（1）得：y=13x+14，因?yàn)锽1（1，y1）在l上，所以當(dāng)x=1時(shí)，y1=13×1+14=712，所以B1（1，712）.

方法1 設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=a（x-1）2+712（a≠0），又因?yàn)閤1=d，所以A1（d，0），所以0=a（d-1）2+712，所以a=-712d-12，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1、A2的拋物線的解析式為：y=-712d-12（x-1）2+712.

方法2 因?yàn)閤1=d，所以A1（d，0），A2（2-d，0），所以設(shè)y=a（x-d）（x-2+d）（a≠0），把B1（1，712）代入：712=a（1-d）（1-2+d），得a=-712d-12，所以拋物線的解析式為y=-712d-12（x-d）（x-2+d）.

（3）存在美麗拋物線.

由拋物線的對(duì)稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半.

又因?yàn)?

因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y1=13×1+14=712<1，當(dāng)x=2時(shí)，y2=13×2+14=1112<1，當(dāng)x=3時(shí)，y3=13×3+14=114>1，所以美麗拋物線的頂點(diǎn)只有B1、B2.

①若B1為頂點(diǎn)，由B1（1，712），則d=1-712=512；

②若B2為頂點(diǎn)，由B2（2，1112），則d=1-[（2-1112）-1]=1112.

綜上所述，d的值為512或1112時(shí)，存在美麗拋物線.

點(diǎn)評(píng) 本題主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析.

由以上幾例看到，中考新定義拋物線問(wèn)題要注意拋物線三種形式（一般式、頂點(diǎn)式、兩根式）的靈活選用，這是基礎(chǔ)，同時(shí)要切實(shí)掌握拋物線的性質(zhì)并注重與其它知識(shí)的綜合.隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，數(shù)學(xué)教育要堅(jiān)持德育為先、全面發(fā)展、能力為重、以人為本、與時(shí)俱進(jìn).而新定義試題能較好地體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時(shí)，此類題并不神秘，表面上是我們沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題，但只要理解了新定義并緊扣新定義，就可將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題.這類問(wèn)題具有探究?jī)r(jià)值，對(duì)應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求，具有良好的效度和區(qū)分度.這要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中要夯實(shí)四基，注重能力和數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用意識(shí)，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

練習(xí) （2011年南平）定義：對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b2=ac，則稱該拋物線為黃金拋物線.例如：y=2x2-2x+2是黃金拋物線.

（1）請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式 ；

（2）若拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是黃金拋物線，請(qǐng)?zhí)骄吭擖S金拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（要求說(shuō)明理由）；

（3）將黃金拋物線沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位，

①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；

②設(shè)①中的新拋物線與y軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，問(wèn)新拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案 （1）如y=x2，y=x2-x+1，y=x2+2x+4等；

（2）當(dāng)b=0時(shí)，此時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b≠0時(shí)，此時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；

（3）①y=2x2-2x-1；②存在.有四個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：（0，1），（1，-1），（-12，12），（32，12）.