一個(gè)帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型的定性分析

王　云, 劉冬梅

(東華大學(xué) a. 理學(xué)院; b. 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620)

一個(gè)帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型的定性分析

王云a, 劉冬梅b

(東華大學(xué) a. 理學(xué)院; b. 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620)

利用先驗(yàn)估計(jì)技巧, 證明了一個(gè)帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型整體解的存在性和有界性. 進(jìn)一步, 在初始細(xì)胞密度有正下界和Logistic阻尼系數(shù)充分大的假設(shè)之下,當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí), 證明了該模型解在L2(Ω)意義下收斂到非零常數(shù)靜止解.

趨化性; 吸引; 排斥; 有界性; 收斂性

趨化性(chemotaxis)是指細(xì)胞由信號濃度變化而引起的偏向運(yùn)動(dòng). 趨化吸引是指細(xì)胞朝信號濃度增大的地方遷移, 而趨化排斥是指細(xì)胞朝遠(yuǎn)離信號濃度增大的地方運(yùn)動(dòng). 經(jīng)典的趨化模型[1]由Keller-Segel在1970年提出, 該模型是刻畫細(xì)胞的趨化吸引現(xiàn)象, 在數(shù)學(xué)上它也已被進(jìn)行廣泛而深入的研究[2-3]. 該模型有一個(gè)顯著特點(diǎn), 即其解有可能在有限時(shí)間內(nèi)爆破. 然而, 在現(xiàn)實(shí)生活中, 趨化吸引和排斥現(xiàn)象同時(shí)存在, 從而產(chǎn)生有趣的生物斑圖[4-5].

因此, 本文考慮如下的吸引-排斥趨化模型：

(1)

這里Ω?Rn(n≥2)是一個(gè)有界光滑區(qū)域; χ, ξ, μ, α, β, γ和δ均為給定的正常數(shù). u=u(x,t), v=v(x, t), w=w(x, t),其中, u表示細(xì)胞密度, v表示由細(xì)胞分泌的吸引同伴的化學(xué)物質(zhì)濃度, w表示由細(xì)胞分泌的排斥同伴的化學(xué)物質(zhì)濃度. 模型(1)中第一個(gè)方程表明: 除隨機(jī)運(yùn)動(dòng)外, 細(xì)胞的運(yùn)動(dòng)同時(shí)受到吸引和排斥兩種機(jī)制的影響; 另外, 細(xì)胞的出生和死亡滿足Logistic定律. 由于化學(xué)物質(zhì)濃度的擴(kuò)散率遠(yuǎn)比細(xì)胞的擴(kuò)散率大, 因此, 在模型(1)中的第二個(gè)和第三個(gè)方程中, 用擬穩(wěn)態(tài)方程來逼近化學(xué)濃度的反應(yīng)-擴(kuò)散過程. 模型(1)中的第二、三個(gè)方程分別表示趨化吸引和趨化排斥化學(xué)物質(zhì)由細(xì)胞自身分泌, 且該化學(xué)物質(zhì)經(jīng)歷衰減.模型(1)中, 假設(shè)u,v,w滿足零流邊界條件, 即假設(shè)在邊界處細(xì)胞和兩種化學(xué)物質(zhì)的凈流量為零.

在μ=0及ξ γ-χ α>0(即“排斥強(qiáng)于吸引”)的假設(shè)下, 文獻(xiàn)[6]研究了模型(1)的整體解的存在性和收斂性. 而本文在假設(shè)μ>0及χ α-ξ γ>0(即“吸引強(qiáng)于排斥”)之下, 研究模型(1)的整體解存在性、有界性和漸近性.

首先有如下的關(guān)于整體解的存在性和有界性的結(jié)論.

(2)

尤其, 當(dāng)n=2時(shí), μ>0即可.

進(jìn)一步, 如果初始細(xì)胞密度有正下界, 將證明模型(1)的解在L2(Ω)意義下收斂到非零常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.

ε≤u0≤A,

(3)

就存在常數(shù)C>0, 使得模型(1)的解具有下列性質(zhì): 對所有的t>0, 成立

‖u(·,t)-1‖L2(Ω)≤Ce-λt,

(4)

(5)

(6)

本文中μ*的精確值是未知的, 可能不需要μ足夠大.

1　整體解的存在性及定理1的證明

類似于古典的趨化模型的局部可解性[6-8], 有引理1.1關(guān)于模型(1)的局部可解性結(jié)論(其證明與文獻(xiàn)[6]類似, 故在此略去).

進(jìn)一步, 如果Tmax<∞, 則

(7)

接下來, 推導(dǎo)基本的質(zhì)量估計(jì).

引理1.2模型(1)的古典解(u,v,w)有如下性質(zhì):

t∈(0,Tmax),

(8)

(9)

(10)

證明：模型(1)中第一個(gè)方程的兩邊在Ω上積分, 并利用分部積分, 模型(1)中的零流邊界條件及H?lder不等式可得

(11)

根據(jù)式(11)并由常微分方程的比較原理, 推得式(8). 模型(1)中第二個(gè)方程的兩邊在Ω上積分, 并利用式(8), 推得式(9). 同理, 證得式(10).

引理1.2得證.

建立解的Lp先驗(yàn)估計(jì).

∫Ωupdx≤C,t∈(0,Tmax),

(12)

其中C>0為常數(shù).

證明：利用模型(1)中的方程, 直接計(jì)算得

-(p-1)∫Ωup-2|▽u|2+χ(p-1)∫Ωup-1▽u·▽v-ξ(p-1)∫Ωup-1▽u·▽w+μ∫Ωup-μ∫Ωup+1=

μ∫Ωup-μ∫Ωup+1=

t∈(0,Tmax).

(13)

因?yàn)閡≥0, v≥0, 所以

(14)

從而由式(2), 有

(p-1)ξδ∫Ωupw+μp∫Ωup,

t∈(0,Tmax).

(15)

再來估計(jì)式(15)中的最后兩個(gè)積分. 事實(shí)上, 由Young不等式知

c1∫Ωwp+1,t∈(0,Tmax),

(16)

其中c1>0為常數(shù). 類似地,

(17)

其中c2>0為常數(shù).

由式(15)～(17), 推得

c1∫Ωwp+1+c2,t∈(0,Tmax).

(18)

下面再來估計(jì)式(18)中的積分∫Ωwp+1. 由標(biāo)準(zhǔn)的橢圓Lp-估計(jì)[9-10]知: 存在某個(gè)常數(shù)c3>0, 使得

‖w(·,t)‖W2,p(Ω)≤c3‖u(·,t)‖Lp(Ω),

t∈(0,Tmax).

(19)

再根據(jù)Gagliardo-Nirenberg不等式, 并由式(19)和(10), 推得某兩個(gè)常數(shù)c4>0和c5>0使得

(20)

其中

(p+1)a

(21)

從而, 用Young不等式進(jìn)一步估計(jì)

c5∫Ωup+2c5≤

(22)

其中c6>0為常數(shù). 綜合式(18)和(22)得到

(23)

其中c7:=c2+c6.再在式(23)的兩邊加上∫Ωup得

t∈(0,Tmax).

(24)

再由Young不等式推得

(25)

結(jié)合式(24)和(25)得

(26)

其中c9:=c7+c8.由式(26)進(jìn)一步推得

∫Ωup≤c10:=∫Ωu0p+c9,t∈(0,Tmax).

(27)

引理1.3得證.

定理1的證明由引理1. 3及著名的Moser-Alikakos迭代技巧[11-12]可以得到: 在式(2)假設(shè)之下, 存在某個(gè)常數(shù)c1>0使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤c1,t∈(0,Tmax).

(28)

因此, 定理1的結(jié)論是先驗(yàn)估計(jì)式(28)、引理1. 1和可延拓準(zhǔn)則(7)的直接推論.

2　解的收斂性以及定理2的證明

引理2.1假設(shè)χ α-ξ γ>0且μ>χ α-ξ γ, 則存在常數(shù)L>0, 使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤L,t∈(0,Tmax),

(29)

(30)

(31)

證明:由式(28)即可得式(29), 再由式(29)和橢圓最大值原理推得式(30)和(31).

引理2.1得證.

(32)

證明: 用反證法. 假設(shè)式(32)不成立, 則存在第一個(gè)t*>0和某個(gè)x*∈Ω, 使得從而, 根據(jù)t*的定義知: 當(dāng)x∈Ω, 0

ut(x*,t*)≤0, ▽u(x*,t*)=0,Δu(x*,t*)≥0.

所以, 在(x*,t*)處, 有

ut-Δu+χ▽u·▽v-ξ▽u·▽w≤0.

(33)

另一方面, 由模型(1)中的第一個(gè)方程、式(30)及(x*,t*)的定義, 并注意到χ α-ξ γ>0, u≥0, w≥0及ε∈(0,1)，可知在(x*,t*)處, 有

ut-Δu+χ▽u·▽v-ξ▽u·▽w=

(χ α-ξ γ)u2+ξδuw+μ u-μ u2-χβuv≥

μ u-μ u2-χβuv≥

ut-Δu+χ▽u·v-ξ▽u·▽w≥

引理2. 2得證.

引理 2.3模型(1)的任一古典解具有下列性質(zhì):

(34)

(35)

(36)

(37)

證明由模型(1)的第二個(gè)方程可得:

(38)

(39)

再由Young不等式可得：

(40)

因此,

(41)

據(jù)此可推得式(34)和(36). 同理可證得式(35)和(37).

引理2.3得證.

(42)

對式(42)的兩邊關(guān)于x在Ω上積分, 并利用柯西不等式及式(29)和(32)可得:

ξ∫Ωu▽u·▽w-μ∫Ωu(u-1)2≤

再利用式(34)和(35)可得

(43)

(44)

(45)

再積分之, 推得: 對任意的t>0, 成立

∫Ω(u-1)2≤e-2λt∫Ω(u0-1)2,

(46)

即對任意的t>0, 成立

‖u(·,t)-1‖L2(Ω)≤‖u0-1‖L2(Ω)·e-λt.

因此式(4)成立, 據(jù)此及式(36)和(37)推知式(5)和(6)成立.

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Qualitative Analysis of an Attractive-Repulsive Chemotaxis Model with Logistic Source

WANGYuna,LIUDong-meib

(a.College of Science; b. College of Information Science and Technology, Donghua University, Shanghai 201620, China)

The global existence and boundedness of solutions to an attractive-repulsive chemotaxis model with Logistic source is proven via a priori estimate techniques. Moreover, under the assumptions that the initial cell density possesses a positive lower bound and that the coefficient of Logistic dampening is sufficiently large, it is shown that the global solution converges to the non-trivial constant stationary solution in L2(Ω) as time goes to infinity.

chemotaxis; attraction; repulsion; boundedness; convergence

1671-0444(2015)03-0409-06

2014-03-21

王云(1989—)，女，安徽岳西人，碩士研究生，研究方向?yàn)槠⒎址匠?E-mail: 1057339219@qq.com

O 175.26

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