一個(gè)限制排中律適用范圍的命題演算系統(tǒng)

曹 飛

（中共陜西省委黨校哲學(xué)部，陜西西安710061）

在經(jīng)典命題演算中，不矛盾律和排中律都普遍有效。直覺主義斷然否定排中律的普遍有效性，在直覺主義命題演算中，不矛盾律普遍有效，排中律無效。直覺主義的創(chuàng)始人布勞維（L.E.J.B r o u w e r）認(rèn)為：“排中律是從有限事物中概括出來的，任何一個(gè)涉及有限事物全體的命題，總是可以通過對(duì)這些事物逐一地加以驗(yàn)證，來判明該命題的真?zhèn)危@時(shí)排中律是有效的。但是如果忘記了排中律的有限來源，把排中律視為先于和高于數(shù)學(xué)的某種普遍適用的法則，并將它運(yùn)用于無限的場合，就會(huì)犯錯(cuò)誤。這是因?yàn)閷?duì)于無限的事物，往往不可能（哪怕是原則上）對(duì)它們一一加以鑒別?！盵1]49然而，經(jīng)典命題演算認(rèn)排中律為普遍有效式，這固然與直觀相違；直覺主義命題演算認(rèn)排中律為無效式，亦與直觀不盡相符。從直觀上看，正如布勞維所認(rèn)為的那樣，排中律對(duì)且只對(duì)有限事物有效；但無論是經(jīng)典命題演算，還是直覺主義命題演算，都沒有框定排中律的適用范圍。鑒于此，本文擬對(duì)經(jīng)典命題演算做適當(dāng)改動(dòng)，構(gòu)造一個(gè)限制排中律適用范圍的命題演算系統(tǒng)P C5。

一、命題演算系統(tǒng)PC5及其可靠性、完全性

（一）PC5的語法和語義

1．語法。

初始符號(hào)：甲、p1，p2，p3，…，pm，…，m 為自然數(shù)；乙、┌ ，┐，∨；丙、（，）。

在陳述形成規(guī)則以前，我們先引進(jìn)一些語法語言的符號(hào)并作如下說明：

（1）Q、R、S代表任一甲類符號(hào)。

（2）X、Y、Z代表任一符號(hào)序列。

（3）A、B、C、D、E 代表任一合式公式。

（4）語法符號(hào)“┠”寫在任一公式之前，它表示緊接在后面的公式是本系統(tǒng)所要肯定的。

形成規(guī)則：

（1）若X是甲類符號(hào)，則┌X、┐X是合式公式。

（2）若X是合式公式，則┌X、┐X是合式公式。

（3）若X和Y都是合式公式，則（X∨Y）是合式公式。

（4）只有適合以上三條的符號(hào)序列是合式公式。

定義：

（甲）（A→B）定義為（┐A∨B）。

（乙）（A∧B）定義為┐（┐A∨┐B）。

（丙）（A≡B）定義為（（A→B）∧（B→A））。

括號(hào)省略規(guī)則：

（甲）最外面的一對(duì)括號(hào)可以省略。

（乙）真值聯(lián)結(jié)詞的結(jié)合力依下列次序而遞增：≡，→，∧，∨，┌，┐。公理：

公理 1：┠A∨A→A；

公理 2：┠A→A∨B；

公理 3：┠A∨B→B∨A；

公理 4：┠（B→C）→（A∨B→A∨C）；

公理5：┠┌A≡A；

公理6：┠ ┐（┌Q∧┐Q）。

變形規(guī)則：

（1）分離規(guī)則，從┠A和┠ ┐A∨B可得┠B。

（2）定義置換規(guī)則，定義的左右兩方可相互替換。設(shè)原公式為A，替換后所得公式為B，則從┠A可得┠B。

公式的級(jí)的遞歸定義：

（1）若X是甲類符號(hào)，則┌X和┐X均為原子公式，原子公式是1級(jí)公式。

（2）若X是m級(jí)公式，則┌ X和┐X均為m+1級(jí)公式。

（3）若 X 是 m 級(jí)公式，Y 是 n級(jí)公式，且 m≥n，則 X∨Y、Y∨X、X∧Y、Y∧X、X→Y、Y→X、X≡Y、Y≡X均為m級(jí)公式。

2.語義。

（1）甲類符號(hào)是0級(jí)命題變項(xiàng)，代表任意的0級(jí)命題。

（2）乙類符號(hào)是聯(lián)結(jié)詞符號(hào)，其中┌代表肯定詞“是”，┐代表否定詞“不”，∨代表析取詞“或者”，它們的真值表如下（其中T表示“真”，F(xiàn)表示“假”，U表示“非真非假”）：

（表1）

（表2）

（表3）

（3）丙類符號(hào)為左右括號(hào)。

下面我們引入重言式的定義：A為重言式，當(dāng)且僅當(dāng)不管A中的0級(jí)命題變項(xiàng)取何值，A的值均為T。

3．定理的證明。

我們可以將PC5中相同的原子公式看作經(jīng)典命題演算中相同的命題變項(xiàng)，將PC5的不同的原子公式看作經(jīng)典命題演算中不同的命題變項(xiàng)，這樣我們就可以將PC5看作經(jīng)典命題演算的擴(kuò)充[2]37～39。因此，經(jīng)典命題演算的定理都是PC5的定理。PC5的其他定理的證明，這里僅舉4例。

基本置換定理 令DA表示A是D的組成部分，設(shè)已證├A→B和├B→A，并且以公式B置換DA中的公式 A 得 DB，則可得├DA→DB和├DB→DA。因之，從├DA，可得├DB。本規(guī)則稱為“置換”。簡單地說，如果A和B等值，則從├DA可得├DB。

基本置換定理的證明?；局脫Q定理的嚴(yán)格證明要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，要施歸納于合式公式的構(gòu)造。本文采取了較為簡單的、不完全嚴(yán)格的證明。

茲證明此定理在以下最簡單的情況下是正確的：（1）A在DA中只出現(xiàn)一次；（2）DA的形式是：（甲）┌A，（乙）┐A，（丙）C∨A，或（丁）A∨C。根據(jù)形成規(guī)則，不論DA的形式如何復(fù)雜，總是由多次重復(fù)地運(yùn)用肯定、否定、析取構(gòu)成的，所以，一般的情況只是以上情況的簡單重復(fù)。

在這里雖然沒有明確地提出數(shù)學(xué)歸納法，只提出“一般的情況是簡單情況的重復(fù)”，但是，證明的基本思想以及證明的保證還是數(shù)學(xué)歸納法。

有了上述定理，我們就可以證明PC5的完全性。

（二）PC5的可靠性

PC5的可靠性定理：PC5的定理都是重言式。

證明的思路是：第一，PC5的公理都是重言式；第二，應(yīng)用PC5變形規(guī)則，從重言式只能得到重言式。因之可得結(jié)論：PC5的定理都是重言式。證明從略。

（三）PC5的完全性

為了證明PC5的完全性，我們不妨先引進(jìn)合取范式這一概念。

1.合取范式。

定義1.1A是簡單析取式是指它是形如Al∨A2∨…∨An（n∈N且n≥1）的公式，其中每個(gè)Ai（1≤i≤n）皆為原子公式或原子公式的否定，稱Ai為簡單析取式的成員。

定義1.2A是合取范式是指它是形如Al∧A2∧…∧An（n∈N且n≥1）的公式，其中每個(gè)Ai（1≤i≤n）皆為簡單析取式，稱Ai為合取范式的成員。

定義1.3 A是一公式，A′是A的合取范式是指A′滿足：A與A′等值，即A≡A′是重言式，并且A′是合取范式。

一個(gè)公式的合取范式是否一定存在?如何求一個(gè)公式的合取范式?

根據(jù)定義，合取范式在表達(dá)方面的特征有：（1）沒有→和≡符號(hào)；（2）肯定符┌只出現(xiàn)于0級(jí)命題變項(xiàng)之前；（3）否定符┐只出現(xiàn)于0級(jí)命題變項(xiàng)或原子公式之前；（4）是一個(gè)簡單析取式的合取或單獨(dú)的一個(gè)簡單析取式。

因之，求一個(gè)公式的合取范式，包括這樣幾個(gè)具體步驟：

第一，把公式中可能包含的→和≡完全銷去。即用（┐A∨B）置換A→B，用（A∧B）∨（┐A∧┐B）或（┐A∨B）∧（A∨┐B）置換 A≡B。

第二，銷去多余的肯定符┌。即用A置換┌A。

第三，將┐逐步內(nèi)移至原子公式之前，并銷去多余的否定符┐。即用┐A∧┐B置換┐（A∨B），用┐A∨┐B置換┐（A∧B），用A置換┐┐A。

經(jīng)過上述三個(gè)步驟后，公式中只包含原子公式及其否定，以及∨和∧。

第四，在上述步驟的基礎(chǔ)上，用（A∨B）∧（A∨C）置換A∨（B∧C）就得到原公式的合取范式。

以上這些置換規(guī)則都有系統(tǒng)內(nèi)的根據(jù)?；蚴且粋€(gè)定義，例如→的銷去；或是定理，例如多余的肯定符┌和多余的否定符┐的銷去。置換的結(jié)果與原公式是等值的。

任何公式，運(yùn)用上述方法，都能在有限步內(nèi)求得其合取范式。因此，任一公式都有其合取范式。

2.PC5的完全性定理：重言式都是PC5的定理。

證明：設(shè)A為一重言式。A有一合取范式。設(shè)A的合取范式為B，B也是重言式，并且B為B1∧B2∧…∧Bn，Bi（1≤i≤n）為簡單析取式，Bi必是重言式。每一Bi里必有一0級(jí)命題變項(xiàng)Q，并且至少滿足下列條件之一：（甲）┐┌Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)；（乙）┌Q和┐┌Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)；（丙）┐Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)。因?yàn)椋喝粲幸籅i里每一個(gè)0級(jí)命題變項(xiàng)Q，都不滿足（甲）（乙）（丙）三個(gè)條件中的任何一個(gè)條件，則該Bi里任何一個(gè)0級(jí)命題變項(xiàng)Q，必處于下述三種情形之一：（1）┌Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)，或其中之一作為Bi的析取支出現(xiàn)；（2）┐Q和┐┌Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)，或其中之一作為Bi的析取支出現(xiàn)；（3）┌Q和┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)。對(duì)于該Bi里任一0級(jí)命題變項(xiàng)Q，若它處于第一種情形則取值F，若它處于第二種情形則取值T，若它處于第三種情形則取值U，此時(shí)該Bi的每一個(gè)析取支的值均為F，該Bi的值為F。該Bi不是重言式。這與Bi必是重言式相矛盾。所以，每一Bi里必有一0級(jí)命題變項(xiàng)Q，并且至少滿足（甲）（乙）（丙）三條件之一，即每一Bi必具有形式┐┌Q∨┐┐Q或┐┌Q∨┐┐Q∨C或⊿∨┐⊿或⊿∨┐⊿∨C（其中⊿代表任一原子公式）。因┐┌Q∨┐┐Q、┐┌Q∨┐┐Q∨C、A∨┐A、A∨┐A∨C均可證，所以，每一Bi都可證。根據(jù)定理┠A→（B→A∧B），B1∧B2∧…∧Bn可證。所以，B可證。B是A的范式，是從A根據(jù)置換規(guī)則得到的，如B可證，則A也可證?？梢娙鏏是重言式，則A可證。凡重言式皆可證，故PC5是完全的。

二、PC5的一個(gè)重要特征：不矛盾律普遍有效，排中律在且只在一定范圍內(nèi)有效

在PC5中有定理┠ ┐（┌A∧┐A）和┠ ┐（┌Q∧┐Q）。這說明，在PC5中對(duì)于任意的n（n∈N且n≥0）級(jí)命題而言，都不能同時(shí)既肯定又否定它，不矛盾律都成立。

在PC5中雖有定理┠┌A∨┐A，但┌Q∨┐Q不是PC5的定理。這說明，在PC5中對(duì)于任意的n（n∈N且n≥1）級(jí)命題而言，或者肯定它，或者否定它，二者必居其一，排中律成立；但對(duì)于任意的0級(jí)命題而言，可以既不肯定它，也不否定它，排中律不成立。

在PC5中有定理┠ ┐（┌┌A∧┌ ┐A）和┠ ┐（┐┌A∧ ┐┐A）。這說明，在PC5中不能同時(shí)肯定┌A和┐A，也不能同時(shí)否定┌A和┐A。從真值表看，┌A和┐A不能同真，也不能同假?？梢?，在PC5中，肯定和否定同一個(gè)n（n∈N且n≥1）級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題，是矛盾關(guān)系。這說明，對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n（n∈N且n≥1）級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，不矛盾律和排中律均成立。

在PC5中有定理┠ ┐（┌┌Q∧┌ ┐Q）。這說明，在PC5中不能同時(shí)肯定┌Q和┐Q。┐（┐┌Q∧┐┐Q）不是PC5的定理。這說明，在PC5中可以同時(shí)否定┌Q和┐Q。從真值表看，┌Q和┐Q不能同真，但可以同假。可見，在PC5中，肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題，并不是矛盾關(guān)系，而是反對(duì)關(guān)系。這說明，對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，不矛盾律成立，但排中律不成立。

總之，對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n（n∈N且n≥0）級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，不矛盾律都成立；對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n（n∈N且n≥1）級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，排中律成立，但對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，排中律不成立。

這里需要說明的是：從直觀上看，0級(jí)命題陳述的是對(duì)象情況，而對(duì)象可能是無限的事物，因而對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，排中律不成立；n（n∈N且n≥1）級(jí)命題陳述的是思想情況（例如：否定一個(gè)命題而形成的命題陳述的就是一命題之否定這一思想情況），而思想總是有限的（即使是無限的對(duì)象也只能用有限的思想來把握），因而對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n（n∈N且n≥1）級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言，排中律成立。由此可見，PC5對(duì)排中律的適用范圍的限定是完全符合人們的直觀的。

三、反證法的適用范圍問題

下面我們以PC5為邏輯基礎(chǔ)，簡要地討論反證法的適用范圍問題。

在PC5中有下列定理：

┠┌A≡┐┐A

這一定理表明，一個(gè)n（n∈N且n≥1）級(jí)命題的肯定命題和它的否定之否定命題可以互推，反證法適用于論證n（n∈N且n≥1）級(jí)命題的肯定命題。

┠┐A≡┐┌A

這一定理表明，一個(gè)n（n∈N且n≥1）級(jí)命題的否定命題和它的肯定之否定命題可以互推，反證法適用于論證n（n∈N且n≥1）級(jí)命題的否定命題。

在PC5中有下列定理：

┠┌Q→┐┐Q

這一定理表明，從一個(gè)0級(jí)命題的肯定命題可推出該0級(jí)命題的否定之否定命題。

┐┐Q→┌Q不是PC5的定理。這說明，從一個(gè)0級(jí)命題的否定之否定命題不能推出該0級(jí)命題的肯定命題，也就是說，反證法不適用于論證0級(jí)命題的肯定命題。

┠┐Q→┐┌Q

這一定理表明，從一個(gè)0級(jí)命題的否定命題可推出該0級(jí)命題的肯定之否定命題。

┐┌Q→┐Q不是PC5的定理。這說明，從一個(gè)0級(jí)命題的肯定之否定命題不能推出該0級(jí)命題的否定命題，也就是說，反證法不適用于論證0級(jí)命題的否定命題。

綜上所述，反證法適用于論證n（n∈N且n≥1）級(jí)命題的肯定或否定命題，但不適用于論證0級(jí)命題的肯定或否定命題。

四、對(duì)引入0級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)的一點(diǎn)說明

如前文所述，0級(jí)命題變項(xiàng)代表任意的0級(jí)命題。0級(jí)命題就是不包含肯定詞或否定詞的命題。

這里有一點(diǎn)需要說明，邏輯學(xué)界有一種普遍流行的觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)認(rèn)為任何命題都肯定了自身。按照這種觀點(diǎn)，人們必須承認(rèn)：第一，任何命題都隱含著肯定詞；第二，一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的。這樣一來，也就不存在0級(jí)命題了。

筆者認(rèn)為，上述普遍流行的觀點(diǎn)頗值得商榷。首先，沒有任何理由可以證明任何命題都肯定了自身。其次，有些命題很難說肯定了自身。例如，命題甲“圓周率π的小數(shù)表達(dá)式3．1415926…中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5”就很難說肯定了自身。π是一個(gè)無理數(shù)，即無限的不循環(huán)的小數(shù)。到目前為止，我們還沒有發(fā)現(xiàn)（或證明）π的小數(shù)展開式中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5，因而不能肯定命題甲；我們也無法論證π一定沒有這樣一個(gè)特性，因而也不能否定命題甲[1]49～50。如果命題甲肯定了自身，那么只要提出命題甲，就提出了對(duì)命題甲的肯定。這與命題甲雖已提出來但到目前為止還未被肯定這一事實(shí)顯然不符。再次，“一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的”只是邏輯學(xué)的一個(gè)公設(shè)，基于這一公設(shè)，肯定詞在任何情況下都可以隨意消除，人們?cè)跇?gòu)造命題演算系統(tǒng)時(shí)根本無需引入肯定詞，這就造成了在現(xiàn)代邏輯中對(duì)肯定詞和否定詞的研究極為不平衡的奇特現(xiàn)象：人們建立了多種多樣的命題演算系統(tǒng)來刻畫否定詞的邏輯意義，區(qū)分了不同種類的否定（如經(jīng)典否定、直覺主義否定、弗協(xié)調(diào)否定等）[3]476～477；但人們對(duì)肯定詞的邏輯意義卻極少關(guān)注。然而，值得提出的是，上述公設(shè)從未得到過系統(tǒng)外的預(yù)先證明。鑒于此，本文所建構(gòu)的形式系統(tǒng)在限制上述公設(shè)適用范圍的基礎(chǔ)上引入了0級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)。

[1]馮棉．經(jīng)典邏輯與直覺主義邏輯[M]．上海：上海人民出版社，1989．

[2]王憲鈞．?dāng)?shù)理邏輯引論[M]．北京：北京大學(xué)出版社，1982．

[3]羅·格勃爾．哲學(xué)邏輯[M]．張清宇，陳慕澤，等，譯．北京：中國人民大學(xué)出版社，2008．