被動(dòng)天棚阻尼懸架降階與優(yōu)化

蔣濤+陳龍+張孝良

摘 要：采用基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法對被動(dòng)天棚阻尼懸架系統(tǒng)進(jìn)行降階，尋找階次低、元件少的ISD懸架結(jié)構(gòu)。建立四分之一懸架模型，運(yùn)用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的遺傳算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)，對比分析了傳統(tǒng)被動(dòng)、被動(dòng)天棚阻尼和降階ISD三種懸架系統(tǒng)的性能。結(jié)果表明，與被動(dòng)天棚阻尼懸架相比，降階ISD懸架的車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)行程均方根值都不同程度逼近被動(dòng)天棚阻尼懸架，能夠?qū)崿F(xiàn)被動(dòng)天棚阻尼懸架的主要性能，說明經(jīng)降階優(yōu)化的ISD懸架綜合性能可以接近被動(dòng)天棚阻尼懸架，研究結(jié)果從理論上驗(yàn)證了基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法的有效性。

關(guān)鍵詞：Routh穩(wěn)定判據(jù)；Pade逼近法；天棚阻尼；ISD懸架；參數(shù)優(yōu)化

中圖分類號：U463.33文獻(xiàn)標(biāo)文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文獻(xiàn)標(biāo)DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2015.03.05

基于經(jīng)典隔振理論的傳統(tǒng)懸架由彈簧和阻尼器構(gòu)成，一些學(xué)者通過優(yōu)化被動(dòng)懸架的結(jié)構(gòu)參數(shù)來提高懸架的隔振性能，其性能潛力已達(dá)極限，進(jìn)一步提高其減振性能受限。慣容器的出現(xiàn)以及“慣容器-彈簧-阻尼”懸架體系的確立突破了傳統(tǒng)被動(dòng)懸架的性能瓶頸，進(jìn)一步拓展了經(jīng)典隔振理論，開辟出一條改善懸架性能的新途徑[1-3]。

理想天棚阻尼作為一種控制策略，在可控懸架的控制研究中得到了廣泛應(yīng)用[4-6]。由于理想天棚阻尼要求阻尼元件必須與慣性系相連，傳統(tǒng)被動(dòng)車輛懸架系統(tǒng)無法滿足該條件。文獻(xiàn)[7]提出一種理想天棚阻尼的被動(dòng)實(shí)現(xiàn)方法，設(shè)計(jì)出一種不需要能量輸入，不依賴控制系統(tǒng)的被動(dòng)天棚阻尼懸架。

被動(dòng)天棚阻尼懸架系統(tǒng)是一種速度反饋系統(tǒng)，利用“慣容-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)的反共振現(xiàn)象，抑制車身共振并轉(zhuǎn)換為慣容器的共振，使天棚阻尼吸收慣容器的振動(dòng)能量，從而以被動(dòng)的形式實(shí)現(xiàn)理想天棚阻尼的效果，達(dá)到抑制車身共振，改善行駛平順性的目的[7]。然而被動(dòng)天棚阻尼懸架是兩級串聯(lián)的結(jié)構(gòu)，由5個(gè)元件組成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，階次較高，工程化條件較差。

本文基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法對被動(dòng)天棚阻尼懸架系統(tǒng)進(jìn)行降階，尋找出符合或近似于此傳遞函數(shù)的機(jī)械系統(tǒng)，并采用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的遺傳算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，探索階次低、元件少、性能能夠達(dá)到或接近被動(dòng)天棚阻尼懸架的ISD懸架結(jié)構(gòu)。

1 基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法降階

1.1 降階基礎(chǔ)

慣容器如同機(jī)械系統(tǒng)中的彈簧和阻尼器一樣，是一種真正的兩端點(diǎn)元件，其動(dòng)力學(xué)表達(dá)式為

。

根據(jù)機(jī)械阻抗的定義，可以導(dǎo)出慣容器、彈簧和阻尼三種元件的機(jī)械阻抗表達(dá)式：

。

。

。

式中，f為施加于元件兩端點(diǎn)上等大反向的力，kN；v為端點(diǎn)速度，m/s；b為慣容系數(shù)，kg；k為彈簧剛度，kN/m；c為阻尼系數(shù)，kN·m·s-1；s為拉氏變換復(fù)變量。

由慣容器、彈簧和阻尼三種元件的機(jī)械阻抗及串、并聯(lián)系統(tǒng)的阻抗特性可得到圖1中a所示的被動(dòng)天棚阻尼懸架的機(jī)械阻抗：

式中，

為了保持車身的高度，懸架結(jié)構(gòu)一定有彈簧這一彈性元件，懸架系統(tǒng)可以視為圖1中b所示的元件組合，因此被動(dòng)天棚阻尼懸架的等效機(jī)械阻抗Y（s）可改寫成：

。

式中，；；；；

；

；

。

降階過程采用兩步法：首先利用Routh近似法求取低階簡化模型的分母多項(xiàng)式，然后用Pade逼近法求分子多項(xiàng)式。這樣，既能保證降階后的穩(wěn)定性，又能吸取Pade逼近法的優(yōu)點(diǎn)[8]。

1.2 Routh近似法

設(shè)高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。

式中，m≤n。運(yùn)用Routh穩(wěn)定判據(jù)于的分母多項(xiàng)式，將其改寫成下式（設(shè)n為偶數(shù)）：

。

設(shè)。

根據(jù)式（6），可以將被動(dòng)天棚阻尼懸架模型的降階歸納為對K（s）的降階（其中n=2），運(yùn)用Routh法可以將K（s）的分母Q（s）改寫成：

因此

。

式中，。

1.3 Pade逼近法

設(shè)對應(yīng)高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有一有理函數(shù) ：

。

則稱為函數(shù)G（s）的（ j，k）階Pade逼近。 的分子多項(xiàng)式系數(shù)、分母多項(xiàng)式系數(shù)由線性方程組確定[9]。

通過式（12）可以求出d0，則

將K1（s）帶入式（6）可得

式中，；

。

進(jìn)一步化解可以得到

式中，；。

降階后的機(jī)械阻抗對應(yīng)的物理實(shí)現(xiàn)模型如圖2所示。

2 降階模型動(dòng)力學(xué)建模及優(yōu)化

2.1 懸架系統(tǒng)建模

應(yīng)用復(fù)域機(jī)械阻抗法建立1/4懸架模型，如圖3所示。

該1/4懸架模型拉普拉斯變換下的動(dòng)力學(xué)方程為

。

式中，m1為簧下質(zhì)量，kg；m2為簧上質(zhì)量，kg；z0為路面隨機(jī)輸入；z1，z2分別為簧下、簧上質(zhì)量垂直位移，m；z0，z1，z2分別為z0，z1，z2的拉氏變換形式；kt 為輪胎剛度，kN/m；Y（s）為復(fù)域懸架阻抗。

根據(jù)式（16）可以求出車身加速度對z0的傳遞函數(shù)：

。

輪胎動(dòng)載荷Fd對z0的傳遞函數(shù)：

。

懸架動(dòng)行程 fd對z0的傳遞函數(shù)：

。

式中，。

路面輸入采用文獻(xiàn)[9]給出的模型，可以得到時(shí)間頻率表達(dá)的路面譜：

。

式中，G0為路面不平度系數(shù)；u為車輛行駛速度，m/s； f為時(shí)間頻率，Hz；指數(shù)p表示雙對數(shù)坐標(biāo)下譜密度曲線的斜率。

令，則車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)行程的功率譜密度分別為[10]

。

。

。

相應(yīng)的均方根值分別為

。

。

。

2.2 多目標(biāo)懸架參數(shù)優(yōu)化

為了使降階ISD懸架結(jié)構(gòu)性能逼近被動(dòng)天棚阻尼懸架最佳性能，對該結(jié)構(gòu)元件參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。車身加速度均方根值BA、輪胎動(dòng)載荷均方根值DTL和懸架動(dòng)行程均方根值SWS是懸架性能重要的評價(jià)指標(biāo)，因此這是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化的問題。線性加權(quán)法可以有效權(quán)衡各目標(biāo)函數(shù)，采用該方法將各目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。將降階ISD懸架結(jié)構(gòu)性能與被動(dòng)天棚阻尼懸架進(jìn)行對比，側(cè)重于乘坐舒適性，選取加權(quán)因子w1=0.54，w2=0.33，w3=0.13，故優(yōu)化的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)為

。

式中，BAsky、DTLsky、SWSsky表示被動(dòng)天棚阻尼懸架的最優(yōu)均方根值，、、表示降階ISD懸架均方根值。

某款成熟轎車懸架及被動(dòng)天棚阻尼懸架相關(guān)參數(shù)見表1，遺傳算法最大的遺傳代數(shù)為50，代溝為0.9。運(yùn)用多目標(biāo)遺傳算法來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)f（x）的迭代過程，取彈簧剛度k為可調(diào)整參數(shù)，搜索每個(gè)k值對應(yīng)點(diǎn)的最佳性能指標(biāo)，找出相對應(yīng)的c、b值。被動(dòng)天棚阻尼懸架S1及降階ISD懸架S2傳遞函數(shù)增益如圖4所示，與被動(dòng)天棚阻尼懸架S1相比，降階ISD懸架S2的車身加速度、輪胎動(dòng)載荷增益同樣能夠抑制1～3 Hz低頻段共振峰及9～12 Hz的高頻段共振峰，中頻段性能也較接近，懸架動(dòng)行程增益在全頻域內(nèi)性能優(yōu)于被動(dòng)天棚阻尼懸架S1。總體上，降階ISD懸架S2的車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)行程都不同程度逼近被動(dòng)天棚阻尼懸架S1，優(yōu)化參數(shù)見表1。

3 系統(tǒng)性能分析

設(shè)在某典型路面上，車速為20 m/s，取不平度系數(shù)G0為5×10-6 m3/cycle，指數(shù)P為2.5，采用數(shù)值積分法將各自懸架系統(tǒng)的機(jī)械阻抗及系統(tǒng)參數(shù)代入式（17）～（26），響應(yīng)均方根值見表2，車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)行程的功率譜密度如圖5所示。

由表2可知，與傳統(tǒng)被動(dòng)懸架相比，降階ISD懸架S2與被動(dòng)天棚阻尼懸架S1的車身加速度均方根值分別減少了5.9%和23.8%，輪胎動(dòng)載荷均方根值分別減少了6.1%和0.3%，懸架動(dòng)行程均方根值分別減少了3.4%和增加了2.0%。根據(jù)式（27）可知，當(dāng)min f（x） =1時(shí)，該降階ISD懸架性能與被動(dòng)天棚阻尼懸架接近，結(jié)果得到f（x） =1.101 0，說明降階ISD懸架S2取代被動(dòng)天棚阻尼懸架S1時(shí)，車輛綜合性能較接近。

由圖5可知，降階ISD懸架S2在低頻段功率譜密度曲線與被動(dòng)天棚阻尼懸架S1基本重合，中頻段功率譜密度較S1略大，高頻段功率譜密度較S1有所減小。因此，與被動(dòng)天棚阻尼懸架相比，降階ISD懸架車身加速度功率譜密度在1～3 Hz及9～15 Hz 內(nèi)的改善程度與被動(dòng)天棚阻尼懸架非常接近，懸架動(dòng)行程整體性能優(yōu)于被動(dòng)天棚阻尼懸架，保證了車輛的乘坐舒適性，降階ISD懸架輪胎動(dòng)載荷在1～3 Hz接近被動(dòng)天棚阻尼懸架，在9～15 Hz優(yōu)于被動(dòng)天棚阻尼懸架，保證了車輛的行駛安全性，說明降階ISD懸架綜合性能在全頻域范圍都較接近被動(dòng)天棚阻尼懸架。

4 結(jié)論

（1）與被動(dòng)天棚阻尼懸架相比，降階ISD懸架的車身加速度、輪胎動(dòng)載荷和懸架動(dòng)行程均方根值都不同程度逼近被動(dòng)天棚阻尼懸架，能夠?qū)崿F(xiàn)被動(dòng)天棚阻尼懸架的主要性能。

（2）降階ISD懸架由三元件組成，階次低、元件少，研究結(jié)果從理論上驗(yàn)證了基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法的有效性，說明經(jīng)降階優(yōu)化的ISD懸架綜合性能可以接近被動(dòng)天棚阻尼懸架。

參考文獻(xiàn)（References）：

SMITH M C，WANG F C. Performance Benefits in Passive Vehicle Suspensions Employing Inerters [J]. Vehicle System Dynamics，2004，42（4）：235-257.

CHEN M Z Q， PAPAGEORGIOU C，SCHEIBE F， et al. The Missing Mechanical Circuit Element [J]. Circuits and Systems Magazine，IEEE，2009，9（1）：10-26.

WANG F C，CHAN H A. Mechatronic Suspension Design and Its Applications to Vehicle Suspension Control [C]//Decision and Control，CDC 2008，47th IEEE Conference on IEEE，2008：3769-3774.

RAKHEJA S，SANKAR S. Vibration and Shock Isolation Performance of a Semi-Active on-off Damper [J]. Journal of Vibration，Acoustics Stress and Reliability in Design， 1985，107（4）：398-403.

DO A L，SENAME O，DUGARD L，et al. An Extension of Mixed Sky-Hook and ADD to Magneto-Rheological Dampers [C]// 4th IFAC Symposium on System，Struc-ture and Control，Ancona，Italy，2010.

LIU Y，WATERS T P，BRENNAN M J. A Comparison of Semi-Active Damping Control Strategies for Vibration Isolation of Harmonic Disturbances [J]. Journal of Sound and Vibration，2005（280）：21-39.

張孝良，聶佳梅，汪若塵，等. 基于慣容-彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)體系的被動(dòng)天棚阻尼懸架系統(tǒng)[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)， 2013，44（10）：10-14.

Zhang Xiaoliang，Nie Jiamei，Wang Ruochen，et al. Passive Skyhook Suspension System，Based on Inerter-Spring-Damper Structural System [J]. Transactions of the Chinese Society for Agriculture Machinery，2013，44（10）：10 -14.（in Chinese）

李祖樞. 高階線性定常系統(tǒng)的低階逼近新方法——具有可調(diào)參數(shù)的模型簡化 [J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），1980（4）：69-90.

Li Zushu. A Novel Low Order Approximation Method of Higher Order Linear Time Invariant Dynamic Systems：Model Reduction with Adjustable Parameters [J]. Chong- qing University（Natural Science），1980（4）：69 -90.（in Chinese）

喻凡，林逸.汽車動(dòng)力學(xué) [M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2005.

Yu Fan，Lin Yi. Vehicle Dynamics [M]. Beijing：China Machine Press，2005.（in Chinese）

陳龍，張孝良，江浩斌，等. 基于機(jī)電系統(tǒng)相似性理論的蓄能懸架系統(tǒng) [J]. 中國機(jī)械工程，2009，20（10）：1248-1250.

Chen Long，Zhang Xiaoliang，Jiang Haobin，et al. Vehicle Suspension System Employing Inerter Based on Electrical-Mechanical Analogies Theory [J]. China Mechanical Engineering，2009，20（10）：1248-1250.（in Chinese）