淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練

李世春

摘 要：新課標(biāo)要求以學(xué)生為中心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題。為了提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性，在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貙?shí)施變式教學(xué)，運(yùn)用變式的方法是初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力水平的基本要求和重要體現(xiàn)。變式教學(xué)訓(xùn)練可以提高課堂教學(xué)效益，而且能向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的無(wú)窮魅力，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)闊視野，擴(kuò)展思路，扎實(shí)掌握知識(shí)和方法，使數(shù)學(xué)變得生動(dòng)有趣，讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)數(shù)學(xué)是一種享受！

關(guān)鍵詞：變式 數(shù)學(xué) 教學(xué) 訓(xùn)練

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）06（a）-0171-02

現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，要通過(guò)各種途徑，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)造的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，不斷提高自主學(xué)習(xí)的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中研究和運(yùn)用變式，讓學(xué)生去偽存真，全面認(rèn)識(shí)事物，對(duì)教師有效地傳授知識(shí)，突出本質(zhì)特征，排除無(wú)關(guān)特征，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有著現(xiàn)實(shí)的意義。變式教學(xué)充分挖掘?qū)W生的潛能，有效地培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、探究能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中去尋找解類(lèi)似問(wèn)題的思路、方法，從而真正把學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。

（1）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念（定義、定理、性質(zhì)、公式、法則）是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并產(chǎn)生新問(wèn)題的起點(diǎn)。在復(fù)習(xí)公式、定理的教學(xué)中，不要直接呈現(xiàn)現(xiàn)成的結(jié)論，而應(yīng)充分利用特例、實(shí)驗(yàn)等手段，設(shè)計(jì)系列問(wèn)題變式。利用問(wèn)題變式來(lái)明確定理、公式和法則的條件、結(jié)論、適用范圍、注意事項(xiàng)等關(guān)鍵之處，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理論證能力和正確的演算能力，引發(fā)學(xué)生遐思綿綿，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和思考問(wèn)題的深刻性。

如：甲、乙兩地相距162 km，一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出，每小時(shí)走48 km，一列快車(chē)從乙站開(kāi)出，每小時(shí)走60 km試問(wèn)：①兩列火車(chē)同時(shí)相向而行，多少時(shí)間可以相遇？

②兩車(chē)同時(shí)反向而行，幾小時(shí)后兩車(chē)相距270 km？

③若兩車(chē)相向而行，慢車(chē)先開(kāi)出1 h，再用多少時(shí)間兩車(chē)才能相遇？

④若兩車(chē)相向而行，快車(chē)先開(kāi)25 min，快車(chē)開(kāi)了幾小時(shí)與慢車(chē)相遇？

⑤兩車(chē)同時(shí)同向而行（快車(chē)在后面），幾小時(shí)后快車(chē)可以追上慢車(chē)？

⑥兩車(chē)同時(shí)同向而行（慢車(chē)在后面），幾小時(shí)后兩車(chē)相距200 km？

通過(guò)這樣的變式訓(xùn)練，防止了學(xué)生形式、機(jī)械地背誦和套用行程問(wèn)題公式，提高了學(xué)生變通地思考問(wèn)題的能力。

（2）習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生的思維材料，是教者將自己的思想、方法以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的技能技巧施達(dá)于學(xué)生的載體。利用習(xí)題變式訓(xùn)練學(xué)生的思維，可以使學(xué)生在多變的問(wèn)題中受到磨練，舉一反三，加深理解。

第一，一題多解，觸類(lèi)旁通，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

例如：已知：AB‖CD，請(qǐng)說(shuō)明∠ABE、∠CDE、∠BED之間的數(shù)量關(guān)系。

每個(gè)圖形學(xué)生至少能想到3種不同方法解答，這樣開(kāi)闊了學(xué)生的思路，使其熟練掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)中我們可以積極地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)各種途徑，用多種方法思考問(wèn)題，充分再現(xiàn)學(xué)生解題的思維過(guò)程，增加教學(xué)透明度。

在此基礎(chǔ)上，順勢(shì)提出問(wèn)題，使學(xué)生思維更加深刻。通過(guò)上述問(wèn)題解決的思路，請(qǐng)你用多種方法解決問(wèn)題：已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE。試說(shuō)明：∠BFE=∠FEC。

這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。我們?cè)诮虒W(xué)中一定要重視對(duì)這類(lèi)題目的收集和比較，讓學(xué)生自己感悟出題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成一定的數(shù)學(xué)思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。

第二，多題一法，通過(guò)變式讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)練習(xí)的內(nèi)在聯(lián)系。

許多數(shù)學(xué)練習(xí)的解題思路和方法是一樣的，對(duì)這類(lèi)題可以引導(dǎo)學(xué)生尋求通法通解，感悟它們之間的統(tǒng)一的思路和方法，形成數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維的深刻性。

例如：已知圓柱的底面周長(zhǎng)是8 m，高AB是6 m，要從點(diǎn)A處開(kāi)始繞圓柱一周建造梯子，正好到達(dá)A點(diǎn)的正上方B處，問(wèn)梯子最短有多長(zhǎng)？

變式1：葛藤是一種刁鉆的植物，它的腰桿不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹(shù)干盤(pán)旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹(shù)盤(pán)升的路線(xiàn)總是沿最短路線(xiàn)—— 螺旋前進(jìn)的，難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？通過(guò)閱讀以上信息，解決下列問(wèn)題：（1）如果樹(shù)干的周長(zhǎng)為30 cm，繞3圈升高120 cm，則葛藤此時(shí)的長(zhǎng)度是多少？（2）如果樹(shù)干的周長(zhǎng)為80 cm，繞一圈爬行100 cm，它爬行10圈到達(dá)樹(shù)頂，則樹(shù)干高多少？

變式2：有一圓柱體，高4 cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻想爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。

變式3：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，臺(tái)階的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是5 cm，3 cm、1 cm，A和B是臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)的一只小蟲(chóng)要到B點(diǎn)去吃可口的食物。那么這只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿臺(tái)階面爬至B點(diǎn)，最短線(xiàn)路是多少？

變式4：一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形玻璃杯，底面周長(zhǎng)是18 cm，高是12 cm，杯口內(nèi)壁離杯口3 cm的A處有食物，一只小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至食物相對(duì)方向離桌面3 cm的B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)了食物。問(wèn)小蟲(chóng)至少爬多少厘米才能到達(dá)食物所在的位置。

變式5：在邊長(zhǎng)為10的正方體中，一只小蟲(chóng)從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B，請(qǐng)求出小蟲(chóng)爬行的最短距離。

變式6：實(shí)心長(zhǎng)方體中，一只小蟲(chóng)從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處，問(wèn)怎樣走路線(xiàn)最短？最短路線(xiàn)為多少？

變式7：一直圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)是 。

變式8：主視圖是等邊三角形的圓錐中，底面半徑是4 cm，若B點(diǎn)處有一小蟲(chóng)沿圓錐表面爬行，那么它要想吃到母線(xiàn)AC中點(diǎn)P處的食物，需要爬行的最短路程是多少？

通過(guò)以上變式習(xí)題的設(shè)計(jì)，使學(xué)生充分理解：立體圖形上點(diǎn)點(diǎn)之間的距離最短問(wèn)題，可以通過(guò)把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”來(lái)解決。“以直代曲”是處理“質(zhì)點(diǎn)沿幾何體的表面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路徑最短”這一典型問(wèn)題的重要辦法。

又如，同一方法思路的一系列題目：（1）一條直線(xiàn)上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有 條線(xiàn)段，一條直線(xiàn)上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有 條線(xiàn)段，一條直線(xiàn)上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有 條線(xiàn)段，一條直線(xiàn)上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有 條線(xiàn)段。

（2）同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)有 個(gè)交點(diǎn)，3條直線(xiàn)有 個(gè)交點(diǎn)，4條直線(xiàn)有 個(gè)交點(diǎn)，n條直線(xiàn)最多有 個(gè)交點(diǎn)。

（3）同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)能畫(huà) 條直線(xiàn)，過(guò)兩點(diǎn)能畫(huà) 條直線(xiàn)，過(guò)3點(diǎn)可以畫(huà) 條直線(xiàn)，過(guò)4點(diǎn)可以畫(huà) 條直線(xiàn)，過(guò)n點(diǎn)最多能畫(huà) 條直線(xiàn)。

這些問(wèn)題，表面看來(lái)各不相同，但實(shí)質(zhì)上的思維方式是相同的，因此可以用同一種思路來(lái)解決。

讓學(xué)生通過(guò)親自演算這樣的題組并作出相應(yīng)的比較，可以透表求里，自覺(jué)地學(xué)會(huì)從本質(zhì)上去看問(wèn)題和分析問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

（3）一題多變，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性。

通過(guò)變式教學(xué)，可以遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生探索意識(shí)，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，達(dá)到“以少勝多”的境界。常用方法有：變換命題的條件與結(jié)論；保留條件，深化結(jié)論；減弱條件，加強(qiáng)結(jié)論；探討命題的推廣；考查命題的特例；生根伸枝，圖形變換；接力賽，一變?cè)僮?；解法的多變等?/p>

例如：已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn)。說(shuō)明四邊形BFDE是平行四邊形。

變式1：已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形BFDE是平行四邊形。

變式2：若點(diǎn)E、點(diǎn)F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE=CF，則四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出圖形并證明。

變式3：平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)。四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

變式4：在ABCD中，已知兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)，盡可能多地畫(huà)出平行四邊形。

變式5：已知：點(diǎn)E、點(diǎn)F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，若BE∥DF，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？“BE ∥DF”還可以變?yōu)槭裁礂l件？

變式1通過(guò)判定方法的選擇使學(xué)生充分感悟—— 在已知條件出現(xiàn)“對(duì)角線(xiàn)上截取相等的線(xiàn)段”時(shí)，選擇“對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形”最簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)比使學(xué)生明確要根據(jù)題中所給的已知條件選擇合適的證明方法。變式2考察學(xué)生逆向思維能力、動(dòng)手操作能力動(dòng)手作圖能力和獨(dú)立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。變式3、4、5是對(duì)前面方法的綜合體現(xiàn)，學(xué)生開(kāi)拓的思維，促成對(duì)本部分內(nèi)容的充分理解與升華，綜合了性質(zhì)與判定打開(kāi)思維的閘門(mén)。

數(shù)學(xué)的思想方法大多都隱藏在例題或習(xí)題中，教學(xué)中我們要重視對(duì)例題、習(xí)題的變式和引申，善于對(duì)習(xí)題做必要的挖掘，把分散的知識(shí)串成線(xiàn)，從而有利于對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們要遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容和目標(biāo)加強(qiáng)必要的變式訓(xùn)練，對(duì)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)思維、提高能力有重要的作用。特別是變式訓(xùn)練能培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生敢于懷疑，敢于思考，敢于聯(lián)想的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力與創(chuàng)新精神。自然，教學(xué)中變式題最好以教材為源，以學(xué)生為本，充分體現(xiàn)“源于課本，高于課本”，并在日常教學(xué)中滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)中去。讓學(xué)生也學(xué)會(huì)去“變題”，讓學(xué)生自己去探索、分析、綜合，以其提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

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