數學課堂的“放”與“收”

冉旭忠

歸還學生課堂的主體地位，盡可能地把知識的探究權交給學生，讓學生在這個過程中掌握方法、鍛煉能力、激發(fā)情趣，這已經是當今一線教師的共識，也是新課程理念的核心所在。但在實際操作中，總是忽左忽右，效果難盡人意。現結合一節(jié)課的課堂實況，談一下初中數學課堂的“放”與“收”。教學內容是人教版初中數學《菱形的性質》。

一、課堂實錄

1.明確概念：

充分利用幾何畫板上的圖形可運動變化的功能，以復習提問的方式先回顧矩形的形成過程，然后順勢過渡到鄰邊相等的特殊情況，直接明確“菱形”的概念。

2.鼓勵學生列舉幾個生活中菱形的實例，拉近與新知的心理距離，激起對其進一步探究的興趣。

3.出示本節(jié)課學習目標：

①理解菱形的概念，明確菱形與平行四邊形的聯系與區(qū)別;

②探究并證明菱形的性質，能靈活地利用菱形的性質進行相關的計算;

③在合作學習過程中，學習闡述自己觀點的方法。

4.問題：菱形是特殊的平行四邊形，那么它是不是像矩形一樣，除具備平行四邊形的一切性質以外，還具有一些屬于自己特有的性質呢？

鋪墊：在探究性質之前，先觀察幾何畫板中動態(tài)變化的菱形，BD不變，拉長或縮短AC;AC不變，再拉長或縮短BD。B、D由在點O處重合再慢慢分開。演示幾次后，先獨立尋找3分鐘，然后小組內交流，成果分享，再次提升，本環(huán)節(jié)時間共用時6分鐘。

5.成果匯報（代表的是學習小組），組際之間相互補充，教師板書（有意排列順序）。7名學生匯報，經整理所得結果如下：

（1）菱形的四條邊相等;

（2）菱形的對角線相互垂直;

（3）菱形的每一條對角線平分一組對角;（原結論：對角線平分內角）

（4）菱形被對角線分成四個全等的直角三角形;（一組看出全等，另一組補充直角）

（5）菱形是以對角線所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形。（一組說對稱，另一組說對稱軸是對角線，教師追問后，又一名學生補充完整）

6.結論證明：

完全放手，以自愿搶答的方式到黑板前，借助于黑板上的圖形講解性質1的證明思路，寫出證明過程。待大家都認可后，教師明確這是菱形性質定理1。

接下來在課前發(fā)放的答題卡上證明歸納出來第2條和第3條性質。完成方式是，先獨立完成，時間3分鐘，然后相互交流（沒思路的可向他人請教，已完成的同學間相互比對一下思路及證明過程，相互借鑒，修正，盡量使自己完成得更完美），交流時間3分鐘。然后，采取自愿搶答式到黑板前向大家匯報自己的證明思路，并用實物展臺展示自己的證明過程。

第一名學生是證明△ABO≌△ADO的方法;

第二名學生反駁，證明得太啰唆，可以直接利用等腰三角形三線合一的性質，AB=AD，BO=DO，所以AC⊥BD，∠BAC=∠DAC。

第一名學生一拍腦門，哦，我忘了這條性質。師追問：還有沒有其他證明方法呢？沉寂了好一會，沒有結果。師：如果你有興趣，課下繼續(xù)去研究，相信你一定還會找到其他方法。

第2條、第3條反應的都是對角線的性質，所以合二為一，明確這是菱形的性質定理2。

有了對性質定理2的證明，第4條、第5條的結論證明一帶而過，采取搶答的方式到黑板前講解思路即可。教師明確，這兩條結論雖然成立，但不屬于菱形的性質定理。

7.性質定理的應用：

如圖2，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，求菱形ABCD的周長和面積。

解決的辦法還是放手，讓學生先獨立思考解答，時間3分鐘。時間到了之后直接匯報。第一步求周長，沒問題。第二步，求面積，意見出現了分歧：

第一名學生是先求一個小直角三角形的面積，再乘以4。

第二名學生認為先求△ABD的面積更為簡潔。

兩個方法代表著兩種思路，結合著本題的已知條件，一番辯論，在辯論的過程中，有一個學生發(fā)現了技巧：用BD的長乘以AO的長直接就是菱形的面積。

我趕緊追問為什么？這名學生走到前面，結合著式子清楚地解釋了一番，班級都靜了。我表示驚訝，本節(jié)課小組評價的創(chuàng)新分出現了，直接為這名同學所在的小組加上5分。順勢追問，如果把菱形的兩條對角線的長加以改變，誰能快速地回答出這個菱形的面積？列舉三例，都順利解答。于是給出了菱形又一個面積公式S菱形ABCD= ? ? AC·BD。

8.鞏固提升1：

如圖3，在菱形ABCD中，∠BAC=30°，BC=6。

求：（1）∠BCD和∠ABC的度數。

（2）對角線AC、BD的長。

（3）菱形ABCD的面積。

解決辦法還是獨立思考解答3分鐘，然后直接匯報。

（1）求∠BCD，第一名學生是：AB=BC，所以∠BCA=∠BAC=30°，所以∠BCD=2∠BCA=60°。

第二名學生：因為AB∥CD，所以∠DCA=∠BAC=30°， 所以∠BCD=2 ∠DCA=60°。

第三名學生是：因為∠BAD=2 ∠BAC=60°，所以∠BCD= ∠BAD=60°。

（2）求∠ABC，第一名學生的解法竟然是：∠BAC=∠BCD=60°，又因為四邊形內角和等于360°，所以∠ABC+∠ADC=360°-2×60°=240°，所以∠ABC=240°÷2=120°。

第二名學生不同意第一名同學的解法，認為太麻煩，他的解法是：在Rt△AOB中，求出∠ABO再乘以2，奇怪的是全班學生都同意。當我追問∠BCD與∠ABC是不是應該存在著某種關系時，很多學生才恍然大悟，可以根據兩直線平行，同旁內角互補，直接由∠ABC=180°-∠BCD求得。

第2問、第3問，完成得都很順利。

9.鞏固提升2：

在第8題的任何已知條件都不變，試求AB邊上的高DH的長，如圖4。利用幾何畫板，顯示出菱形ABCD邊AB上的高DH。獨立思考解答2分鐘。

成果匯報：

第一名學生：因為∠BAD=60°，AB=AD，所以△ABD是等邊三角形，所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，在Rt△BDH中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。其他學生無疑問，我追問：既然△ABD是等邊三角形，那么AB邊的高DH與BD邊上的高AO是不是應該相等呀，AO的長我們已經求得了，還用再這樣求嗎？學生恍然大悟，然后笑了。我的話題一轉，△ABD是等邊三角形是特殊情況，如果是等邊三角形這種方法就不再適用了，那還可以怎樣求呢？

第二名學生：由第8題的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，所以

。其他學生感覺到很巧妙，無異議。我追問，這位同學是巧妙地利用三角形面積公式建立關于DH的方程解答的本題。同學們再想：由邊AB和它上的高DH僅僅就能表示出△ABD的面積嗎？靜了一會后有學生舉手了，又等了一會，更多的學生眼睛亮了，還按捺不住的向周邊的同學解釋起來。教師總結，本節(jié)課我們是得到了一個新的菱形面積公式，但平行四邊形的面積公式仍然適用于它，因為它還是平行四邊形。

二、各環(huán)節(jié)設計意圖

第一環(huán)節(jié)屬于概念教學。不適合讓學生自己摸索，耗時量太大，還很難抓住關鍵，恰當的利用教具讓他們感覺到出現的順暢自然，又能建立起清晰的概念即可，這屬于“收”。

第三個環(huán)節(jié)，明確學習目標。順暢的出示學習目標，更容易激起學生迎難而進的欲望，有的放矢總比盲目跟從的效率要高。但學習目標絕不等同于教學目標，它只是明確本節(jié)課需要挑戰(zhàn)的各項任務，要回避結論性的東西。例如本節(jié)課的學習目標2，明確本節(jié)課的主要任務就是找到并證明菱形的性質，還要能用這些性質進行相關的計算，至于究竟性質是什么？有幾條？都是未知的。開放課堂，大把的時間放手交給了學生，如果他們只有到下課時才知道本節(jié)課的目的是什么，那整個過程一定是低效的。

第四個環(huán)節(jié)是性質的探究。如果開頭就放，任務泛泛，留給學生的空間過大，在有限的時間內，收獲可能要有限。所以我在學生探究前，利用幾何畫板的特有功能，讓圖形動起來，讓學生在動態(tài)變化的圖形中去發(fā)現那些固定不變的特征。為了防止無的放矢，在放手之前，我還設計了一道判斷題：“在菱形的變化過程中，我發(fā)現AO=CO始終成立，你認為這是我們要找的菱形性質嗎？”意圖是先用一個實例，提醒學生要找的是那些菱形特有的，而一般平行四邊形不具有的性質。這是一個“收”的過程。但收也絕不能過頭，如果用菱形卡紙折疊演示，一定會使性質的發(fā)現變得更為順暢，但卻使學習缺少了挑戰(zhàn)性。完成沒有挑戰(zhàn)性的任務是乏味和無聊的，情趣和能力培養(yǎng)當然也就要大打折扣。

第六個環(huán)節(jié)是性質的應用。性質的應用與性質的證明一樣，都是盡量放手，給學生足夠的時間與空間，充分地信任他們的能力，允許他們走彎路，甚至于犯錯。事實也正是如此，性質定理2的證明;第7題求面積;第8題求角度;第9小題，知道菱形邊長及面積，求一邊上的高等等，這些煩瑣的解題方法，如果是教師掌控的課堂，是不可能出現的。但是這些恰恰是孩子們真真正正的最本真的思考。接受新知原本就是使新知與自己已有知識基礎重構的過程，是不能替代的。放手了，學生前行得雖然磕磕絆絆，但是方法的掌握、能力的培養(yǎng)、情趣的激發(fā)、合作意識的建立等等卻全在其中。表面上看，我們的“放”也許多耗掉了一些時間，但在這個過程中學生的思維是活的、精神是專注的、心情是愉悅的。也可以說，這才是真正意義上的學習，而不是嚼蠟似的接受。本節(jié)課所有新的知識點挖掘和應用基本上都是由學生完成的。本節(jié)課到黑板前講解的有7人，原座位站起回答、質疑或補充的有21人，且很少讓一人多次回答。

“放”不等于不管，及時的點撥引領是必不可少的。簡潔、精準、巧妙是數學特有的魅力，當學生挖掘不到位時教師就絕不能再袖手旁觀。涉及思想方法滲透的地方，靠學生自己悟，往往是很難看到效果的，也需要教師的引領。例如：利用對角線求菱形面積，給了確定的值，多數同學求解沒問題，但讓他們歸納出簡潔的公式是比較困難的。如果我們直接替他們推導出來，然后讓他們套用幾次，也是可以記住的，但這種由特殊到一般的探究數學知識的方法就很難心領神會了。所以，在此花費了較多的時間，一步步的引領，最后推著學生自己得出想要的結果，緊接著的應用為他們創(chuàng)設了品味成功的機會。本節(jié)課另一個“收”的過程是第9小題的解答：知道了菱形的面積和邊長，求一邊上的高。學生雖然求出來了，方法還多種，但過于煩瑣，此處如不加以點撥，學生本節(jié)課建立起來的知識體系將不夠完整，也勢必影響到后續(xù)的學習，所以要給予點撥，要讓孩子們在恍然大悟中有所提升。

學習本身就是學生自己的事，真正的思考是別人無法替代的。所以我們時刻都要記得課堂的“收”是為了明天更好的“放”，如果沒有“放”的夢想，“收”只能是一廂情愿的徒勞。