優(yōu)化題組拾就深刻

王芳玲

在數(shù)學(xué)活動過程中，許多學(xué)生由于受某種思維定勢的影響，對擴展的、變化的問題不理解，進而思維受阻，難以進展。因此教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生尋求解題方法。有時在教學(xué)中，我們可圍繞重點教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計題組，通過不同角度、不同側(cè)面、不同背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，溝通知識間的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生解決一系列的問題，以達到對問題本質(zhì)的深刻理解，進而掌握解題規(guī)律、鞏固知識技能和鍛煉數(shù)學(xué)思維。

一、化歸題組

把同結(jié)構(gòu)、同本質(zhì)、同方法的題目“穿線聯(lián)網(wǎng)”，或把表面上看似沒有聯(lián)系實則呈現(xiàn)同一隱像的多題歸一，縱橫聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，使題與題之間建立“形散而神不散”的本質(zhì)聯(lián)系，其解題規(guī)律能自然得到呈現(xiàn)。這樣的題組教學(xué)不僅能增強學(xué)生舉一反三、觸類旁通的應(yīng)變能力，也能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。

例1 ?（1）在直線l上有A，B，C，D，E五個不同的點，則此直線l上共有多少條線段？

（2）汽車從A站到E站途中要經(jīng)過B，C，D三個站點，相鄰兩站之間的票價不同，則一共有多少種不同的票價？

（3）在銳角∠AOE內(nèi)部有三條不同的射線OB，OC，OD，試問此圖中共有多少個不同的銳角？

（4）5條直線兩兩相交，最多出現(xiàn)多少個交點？

（5）七年級5個班級進行單循環(huán)籃球比賽，共需安排多少場比賽？

（6）平面上有5個點，其中任意三點都不共線，現(xiàn)在任取兩點作直線，最多能作多少條直線？

（7）同一平面內(nèi)有5條直線，則這些直線最多把這個平面分成了幾部分？

（8）參加一個研討會的人見面時都要握手問好，如果一個人都和其他所有人握過一次手，一共握手28次，那么有多少人參加了會議？

此問題串具有強凝聚力，把不同知識點串起來，通過整體呈現(xiàn)、整體比較，豐富知識內(nèi)涵，從而構(gòu)建經(jīng)驗系統(tǒng)。把分散的知識點串成一條線，可以使學(xué)生將知識前后聯(lián)系，并能從整體上去掌握知識，同時打破思維定勢，領(lǐng)悟知識與方法的內(nèi)在聯(lián)系，拓展思路，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

例2 ? 已知直線l的解析式是y=2x+6，與x軸、y軸分別交于A，B兩點。

求：（1）直線l與兩坐標軸的交點坐標;（2）直線l與兩坐標軸圍成的△AOB的面積。

[變式1] ?已知直線l1經(jīng)過A（-3，0），且與坐標軸圍成的三角形的面積為6，求直線l1的解析式。

練習(xí)1 ?過點O的直線l1交直線l于點P，若直線l1把△AOB的面積分為1∶2兩部分，求直線l1的解析式。

[變式2] ?過點O的直線l2交直線l于點Q，若直線l2、直線l與坐標軸所圍成的三角形面積為△AOB的面積的一半，求直線l2的解析式。

練習(xí)2 ?過點O的直線l2交直線l于點R，若直線l2、直線l與坐標軸所圍成的三角形面積為△AOB的面積的三分之一，求直線l2的解析式。

[變式3] ?以AO，AB為鄰邊的平行四邊形AOCB，若直線l3過△AOB的頂點，且把平行四邊形AOCB的面積分為1∶2兩部分，求直線l3的解析式。

練習(xí)3 ?以AO，BO為相鄰兩邊的長方形AOBC，若直線l3過△AOB的頂點，且把長方形AOBC的面積分為1∶2兩部分，求直線l3的解析式。

變式1的跟進使學(xué)生對這類問題的掌握更加扎實，且容易克服思維的負遷移，再次體悟幾何直觀在問題解決中的重要性。變式2由“一半”到“三分之一”，是由特殊到一般的過渡，雖然解的個數(shù)增加了，但解決問題的方法不變，找到剖分△AOB的面積為三分之一的兩條直線是關(guān)鍵。變式3把三角形與平行四邊形有機地結(jié)合起來，進一步豐富了學(xué)生解決問題的經(jīng)驗，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，這是數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想。

二、類比題組

此類題組，通過對比分析異同，然后舉一反三歸類遷移。 具體可以收集平時學(xué)生作業(yè)本里和試卷上易犯錯的題，匯編成組，查漏補缺填補知識上的空缺。

例3 ? 若等腰三角形的底角是80°，則其頂角是 ? ? ? ?度;若等腰三角形的頂角是80°，則其底角是 ? ? ? ?度;若等腰三角形中有一個角是90°，則其底角是 ? ? ? ?度;若等腰三角形中有一個角是100°，則其底角是 ? ? ? ?度;若等腰三角形中有一個角是80°，則其底角是 ? ? ? ?度;若等腰三角形中有兩個角之比為4∶1，則其底角是 ? ? ? ? 度;在等腰△ABC中，∠B=80°，則∠C= ? ? ? ?度。

最后一問容易錯解成只有兩個答案，其實應(yīng)按∠A，∠B，∠C分別為頂角可得三個答案。此大題通過觀察求解，讓學(xué)生比較、發(fā)現(xiàn)、尋找問題之間的相同點和差異感，形成現(xiàn)場的反差，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性，突破思維定式或常見誤區(qū)。

例4 ?在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，以點C為圓心，4.8為半徑的圓與線段AB的位置關(guān)系是 ? ? ? ? 。

解：設(shè)⊙O的半徑為r，

當(dāng)08時，⊙O與線段AB沒交點;

當(dāng) 4.8

當(dāng)r=4.8或6

此題以圓為載體，通過真正搞清半徑的大小意識，以增強學(xué)生的觀察能力、分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的全面思維能力。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞形象地指出：“好問題同種蘑菇類似，它們都成堆地成長，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！币虼耍覀冊跀?shù)學(xué)教學(xué)活動中，不能僅是就題論題，孤立解題，而應(yīng)對試題進行適當(dāng)?shù)淖儎?，將一個靜態(tài)的、封閉的試題從不同角度、不同層次、不同側(cè)面出發(fā)變化為一個動態(tài)的、開放的試題。

三、遞進題組

此類題組著眼于數(shù)學(xué)活動的有層次推進，它既可以表現(xiàn)為一系列的臺階，也可以表現(xiàn)為某種活動策略或經(jīng)驗。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可搭建合適的“腳手架”，通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象動態(tài)的、內(nèi)在的、有層次性的遞進，讓學(xué)生分步解決問題，并在解決問題的過程中積累多種活動經(jīng)驗，從而提升數(shù)學(xué)思維和解題能力。

（一）采用“典型方法式”題組教學(xué)鞏固知識和技能

例5 ?如圖1，雙曲線的圖象交矩形ODMC的邊CM，MD于點A，B，若點A是CM的中點，請問點B是DM的中點嗎？你能用幾種方法說明呢？若點A是邊CM上任意點呢？

解：連結(jié)OA，OB，通過△AOC與△OBD的面積相等，得到CA×OC=DB×OD且OC=DM，CM=OD，從而得到。

[問題一] ? 如圖2，正方形ABCD的邊AB在x 軸的正半軸上，C（2，1），D（1，1），反比例函數(shù)y=的圖象與邊BC交于點E，與邊CD交于點F。已知BE∶CE=3∶1，則DF∶FC等于 ? ? ? ? ?。（利用基本圖形構(gòu)造法，延長CD交y軸于點G，由圖1基本結(jié)論得）

[問題二] ? 如圖3，雙曲線y=的圖象經(jīng)過Rt△OMN 斜邊上的點A，與直角邊MN 相交于點B，已知OA=2AN，△OAB的面積為5，則k的值是 ? ? ? ? 。（通過A作x軸的平行線交y軸于點C，交MN于點D，構(gòu)建△AOC與△AND成相似三角形，且相似比是2∶1）

問題三：如圖4，反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象經(jīng)過矩形ABCD的頂點C，D，點A，B在坐標軸上，若點C的坐標為（1，3），則矩形ABCD的面積為 ? ? ? ? ? ?。（可按如圖5添輔助線構(gòu)造基本圖形，得到△BCE與△AGD全等）

[問題四] ?如圖6，等腰Rt△ABC頂點A，C在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E?！鰾DE∽△BCA時，點E的坐標為 ? ? ? ? ?。（如圖7，通過D作x軸的平行線交y軸于點G，交BC于點F。）

[問題五] ?如圖8，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，且k>0）在第一象限的圖象交于點E，F(xiàn)。過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點C。若=（m為大于l的常數(shù)）。記△CEF的面積為S1，△OEF的面積為S2，則=________。（用含m的代數(shù)式表示）

基本圖形是指組成一個幾何問題的最簡單、最重要、最基本但又是具有特定性質(zhì)的圖形，如圖9就是構(gòu)造相似三角形的基本圖形之一。教師應(yīng)重視基本圖形，并加以整理、挖掘、探究和延伸。 這樣有助于學(xué)生理解和掌握基礎(chǔ)知識與技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展思維與能力。

（二）采用“專題拓展式”題組教學(xué)提升解題能力

例6 ?在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。

（1）如圖10，四邊形DEFG為Rt△ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長。

（2）如圖11，三角形內(nèi)有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長。

（3）如圖12，三角形內(nèi)有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長。

（4）如圖13，三角形內(nèi)有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長。

[變式1] ?如圖14，在直線y=-x+60與x軸，y軸所圍成的△AOB中，依次放入腰長分別為x1，x2，x3，…，xn的n個等腰直角三角形，則x1= ? ? ? ? ?，xn = ? ? ? ? ? ?。

[變式2] ?如圖15，在直線y=-x+60與x軸，y軸所圍成的△AOB中，依次放入邊長分別為x1，x2，x3，…，xn的n個等邊三角形，試猜想第n個等邊三角形的邊長。

[變式3] ? 如圖16，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）在函數(shù)y=（x>0）的圖象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等邊三角形，邊OA1，A1A2，A2A3，…都在x軸上。求：（1）點P1的坐標;（2）y1+y2+y3+…+yn的和。

[變式4] ? 二次函數(shù)y=x2的圖象如圖17，點A0位于坐標原點，點A1，A2，A3，…，A2008在y軸的正半軸上，點B1，B2，B3，…，B2008 在二次函數(shù)y=x2位于第一象限的圖象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B2A3，…，△A2007B2008A2008都為等邊三角形，則△A2007B2008A2008的邊長= ? ? ? ? ? ? ?。

這樣的教學(xué)，通過一個問題的變式，解決一類問題，從而展示知識的發(fā)生、發(fā)展，形成完整的認知過程，逐步養(yǎng)成學(xué)生深入反思數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣。教師要引導(dǎo)學(xué)生善于抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律，使非本質(zhì)的屬性不斷遷移，探索相關(guān)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)系以及外延關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。典型的基本圖形具有較強的示范性、知識性和可變性。通過對其挖掘，再縱向拓展，橫向聯(lián)系，深刻領(lǐng)會這些基本圖形，可以提升解決問題的思維起點。

課堂是師生的相遇之地，是教學(xué)相長的廣闊田野。數(shù)學(xué)的心臟是問題，因此數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過解決問題組織教學(xué)活動，而題組教學(xué)是一種典型的表現(xiàn)。在課堂教學(xué)中，為了達到某一教學(xué)目的，教師要根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，通過整體呈現(xiàn)、整體比較、整體掌握的方式，促使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識。這種方法要求在教學(xué)過程中，除了解決單個數(shù)學(xué)問題，通常還要連續(xù)解決幾個前后有聯(lián)系的問題。精心設(shè)計題組教學(xué)會在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個階段起到不可替代的作用，它能調(diào)動學(xué)生積極地思考問題、分析問題、解決問題。所以教師要重積累、重學(xué)習(xí)、重思考，真正起到助長課堂智慧的引領(lǐng)作用。