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    淺析Taylor公式的應用

    2016-04-21 01:56:07李甜
    科教導刊 2016年9期
    關鍵詞:極限

    李甜

    摘 要 本文主要介紹了Taylor公式和幾個簡單的函數展開式,并針對Taylor公式的應用簡單討論了幾個問題,即利用Taylor公式求極限,判斷級數的斂散性,進行近似計算,求行列式的值。

    關鍵詞 Taylor公式 極限 斂散性 近似計算

    中圖分類號:O172 文獻標識碼:A DOI:10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.03.019

    Taylor公式是微積分中一個非常重要的內容,它是分析和研究其他數學問題的有力工具。本文對以往的成果加以探討,進一步說明Taylor公式的應用。

    1 一元函數的Taylor公式

    Taylor公式的一般形式為: () = () + ()() + ()2 + … + + ()

    其中 ()為拉格朗日余項(<<)或者皮亞諾余項()。在Taylor公式中如果取 = 0,則Taylor公式變成Maclaurin公式: () = (0) + (0) + + … + (0<<1)

    或者寫成

    () = (0) + (0) + + … + + ()

    Taylor公式的作用就是在已知函數 ()在某點的階導數值的情況下,可以用這些導數值作為系數構造一個次多項式()去近似函數 ()在這一點領域的值,并且給出了兩者之間的偏差。

    2 Taylor公式的幾點應用

    2.1 求函數的極限

    有些函數的求極限過程非常復雜或者沒有辦法求解,這個時候就可以考慮運用Taylor公式將函數展開,利用多項式的簡單性質求解極限。

    例1 求極限。

    解:當→0時, ~ ,由Taylor公式知, = + (), = + ()把兩個的高階的無窮小的代數和仍記作(),所以 = + () + () = + ()

    即 = =

    2.2 求近似值

    利用Taylor公式可以對某些函數進行近似計算。

    例2 計算1.1準確到。

    解:(1 + ) = + + … + + (0<<1,>)

    要計算1.1 = (1 + 0.1),可取 = 0.1,為了使誤差不超過,則∣∣<<<

    所以≤0.00001,解得≥4。因此,取=4,有

    1.1≈0.1 + ≈0.095308

    2.3 求函數的原函數

    若函數 ()在(或某個區(qū)間)上連續(xù),則函數 ()在上存在原函數() = (), ,但是這個原函數不一定可用初等函數表示。如果用一般的方法不能求出原函數,則可以將 ()進行Taylor展開,那么 ()可表示成冪級數的和函數形式。

    例 求 () = 的原函數

    解: = + … + + …

    由于它在任意閉區(qū)間一致收斂,于是€HO,它的原函數為:

    () = = [] = =

    2.4 判斷級數的斂散性

    在判斷級數的斂散性時,可利用Taylor公式將級數通項展開成簡單形式,再利用判斂準則進行斂散性判斷。

    例5 判斷級數()的斂散性。

    解:由 = (1 + ) = + + …<

    知<,所以 = >0,所以該級數是正項級數。

    = > =

    所以 = < ( ) =

    所以收斂,由正項級數比較判別法可知原級數收斂。

    2.5 判斷廣義積分的斂散性

    在判斷廣義積分| ()|的斂散性時,通常選用廣義積分(>0)進行比較后通過研究無窮小量| ()|(→+)的階來有效地選中的值,從而簡單地判定| ()|的斂散性(注意到:如果| ()|得收斂,則 ()得收斂)。

    例 6 判定廣義積分( + 2)的斂散性。

    解:由 = 1 + + + ()

    | ()| = ∣ + 2∣

    = ∣ + ∣

    = ∣(1 + ·· + ())+ (1·· + ())∣

    = ∣·+ ()∣

    因此, = ,因為收斂,所以| ()|收斂,從而( + 2)收斂。

    2.6 計算行列式

    有關利用代數知識計算行列式方法很多,但應用微分學的方法計算行列式的卻很少見。然而利用Taylor公式求解行列式確實非常有效,下面介紹利用Taylor展式計算行列式。

    例7 求階行列式

    解:記() = ,按Taylor公式在處展開:

    () = () + ()() + () + … + ()

    易知

    可得() = , = 1,2,3,…,時均成立。

    根據行列式求導的規(guī)則,易知

    = (),

    = ()(),… ,

    = 2(), = 1

    于是()在 = 處的各階導數為

    ()= () = () = ,

    ()= () = () = …

    ()= () = … () = …2

    () =

    把以上各個導數代入上式中,有

    () = + () + ()2 + … + +

    如果 = ,則有() = [ + ];

    如果 ≠ ,則有() = 。

    參考文獻

    [1] 陳傳章,金福林.數學分析(下).北京:高等教育出版社,1986.

    [2] 馮平,石永廷.Taylor公式在求解高等數學問題中的應用[J].新疆職業(yè)大學學報,2003.11(4):65-66.

    [3] 王向東.數學分析的概念和方法.上海:上海科學技術出版社,1989.

    [4] 同濟大學數學教研室主編.高等數學[M].北京:人民教育出版社,1999.

    [5] 劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義[M].北京:人民教育出版社,2000.

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