顧前脈沖非線性關聯系統(tǒng)的模約束弦穩(wěn)定性

徐曉惠1，張繼業(yè)

(1. 西華大學汽車與交通學院，四川 成都 610039；2. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

·基礎學科·

顧前脈沖非線性關聯系統(tǒng)的模約束弦穩(wěn)定性

徐曉惠1，張繼業(yè)2

(1. 西華大學汽車與交通學院，四川 成都 610039；2. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

為給自動化公路系統(tǒng)車輛編隊控制器設計提供理論基礎，本文研究一類具有脈沖干擾的無限維顧前非線性關聯系統(tǒng)的模約束弦穩(wěn)定性。模約束弦穩(wěn)定性不僅可以保證系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性，同時也給出了系統(tǒng)狀態(tài)在趨于穩(wěn)態(tài)過程中系統(tǒng)各狀態(tài)變量的模之間的大小關系。本文在假設各孤立子系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，基于矢量Lyapunov函數方法并結合數學歸納法，給出確保該系統(tǒng)模約束穩(wěn)定的充分條件；利用數值算例驗證所得結論的正確性和可行性。

關聯系統(tǒng); 無限維; 穩(wěn)定性; 模約束; 脈沖干擾

在工業(yè)實際中，許多復雜系統(tǒng)的控制問題都可轉化為關聯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進行研究[1]。以自動化高速公路系統(tǒng)顧前車輛編隊跟隨控制系統(tǒng)為例，控制規(guī)律的設計是以該關聯系統(tǒng)的弦穩(wěn)定性為前提條件。類似的系統(tǒng)還有飛行編隊控制系統(tǒng)[2]、水下機器人編隊控制系統(tǒng)[3]等。目前，關于這類復雜系統(tǒng)的弦穩(wěn)定性研究已經有了一些成果[4-8]。文獻[4-8]中的穩(wěn)定性結論只能保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性。文獻[9]以顧前車輛跟隨系統(tǒng)為應用背景，提出了一種新的穩(wěn)定性概念，即模約束穩(wěn)定性。模約束穩(wěn)定性是弦穩(wěn)定性的推廣，可以應用于消除誤差傳遞，使關系系統(tǒng)具備更好的控制效果。關于復雜關聯系統(tǒng)模約束穩(wěn)定性的一些現有研究成果可參見文獻[9-12]。在實際系統(tǒng)中，不可避免地存在一些不確定性因素，如脈沖干擾、隨機干擾等。目前關于具有隨機干擾或者脈沖干擾關聯系統(tǒng)的弦穩(wěn)定性問題已經取得了一些研究成果[5-8]。但是文獻[5-8]均沒有研究系統(tǒng)的模約束穩(wěn)定性問題。文獻[9-11]雖然研究了一些顧前關聯系統(tǒng)的模約束穩(wěn)定性問題，卻沒有考慮脈沖干擾問題，并且文獻[9-10]所得到的模約束穩(wěn)定性條件是隱式的，不便于實際應用。

基于以上分析，本文以自動高速公路顧前車輛跟隨系統(tǒng)為應用背景，從中抽象出一類顧前非線性關聯系統(tǒng)，并在模型中考慮脈沖干擾因素。進而利用矢量Lyapunov函數和數學歸納法，研究該系統(tǒng)的模約束弦穩(wěn)定性。

1 模型描述

首先引入幾個記號：‖f(.)‖表示f的Euclidean 范數,‖fi(t)‖=supt≥0‖fi(t)‖，‖f(0)‖=supi∈N‖fi(0)‖，Ν表示自然數集。

一類具有脈沖干擾的無限維非線性關聯大系統(tǒng)可由如下方程描述：

其中：xi∈Rn，對于任意i≤j，xi-j=0，i,j∈N；fi:Rn×Rn×…×Rn→Rn，且有fi(0,0,...,0)=0。Δxi(tk)表示tk時刻的脈沖，這里k∈Ν，離散集{tk}滿足0≤t0

系統(tǒng)(1)的孤立子系統(tǒng)為

(2)

其中i,k∈Ν。

2 基本定義和假設

定義3 假設系統(tǒng)(1)的原點xi=0(i∈Ν)是弦指數穩(wěn)定的，且對于i=2,3,…，下面不等式是成立的：

‖xi(t)‖≤maxi-r+1≤j≤i-1‖xj(t)‖，

t>0，則稱系統(tǒng)(1)的原點xi=0 (i∈Ν)是模約束弦指數穩(wěn)定的。

假設 A1函數fi滿足全局Lipschitz條件，即存在正常數lij，1≤j≤r，使得

‖fi(y1,y2,…,yr)-fi(z1,z2,…,zr)‖≤

假設 A2對于每個孤立子系統(tǒng)(2)，存在一個正定函數Vi=Vi(t,xi(t))以及正常數αil，αih，αi1以及αi2，使得下面的不等式是成立的：

αil‖xi(t)‖2Vi(t,xi(t))≤αih‖xi(t)‖2，

-αi2‖xi(t)‖2。

引理1[13]假設Vi=Vi(t)≥0，t≥0，i∈Ν。考慮如下不等式：

(3)

對于Vi>0，有gi(·)>0。令βi0>0，βij≥0且βij=0(當j≥i時)，mii≤mij，i,j=1,2,…。

若存在V=(V10,V20,…)，使得

(4)

其中i=1,2,…,且infi{Vi0}=α>0，supi{Vi0}=β>0，那么對于任意給定的ε>0，?δ>0，使得

‖V(0)‖<δ?supi‖Vi(t)‖<ε。

3 主要結論

下面將分析確保系統(tǒng)(1)模約束弦指數穩(wěn)定的充分條件。

(5)

其中,對于?i，j=1,2,…,有αih/αil≥1，那么系統(tǒng)(1)的零解是模約束弦指數穩(wěn)定的，且指數收斂率為0.5(λ-η)。

證明令Wi(t)=eλtVi(t)，i∈Ν。

為了簡便，在不混淆的情況下，記Wi(t)=Wi，Vi(t)=Vi。

根據假設A2，當t≠tk，k∈Ν時，計算Wi沿系統(tǒng)(1)的右上導數，得到

fi(xi(t),xi-1(t),...,xi-r+1(t))≤

λeλtαih‖xi(t)‖2-αi2eλt‖xi(t)‖2+

‖xi(t)‖e0.5λt{e0.5λt(λαih-αi2)‖xi(t)‖+

(6)

k∈Ν。顯然當Ui≠0時, ‖xi(t)‖≠0，i=1,2,…。

不等式(6)可以進一步轉化為如下形式：

(7)

考慮到(5)式蘊含著下式成立：

進而，當取U=(1,1,...)時，D+Ui<0。根據引理1可知，對于任意給定的ε0>0，存在δ0>0，使得

‖U(0)‖<δ0?supi‖Ui(t)‖<ε0。

由于αil>0，取ε>0，滿足ε0=αilε2。對于ε0，存在δ0=αihδ2，當supi‖xi(0)‖<δ時，有

進而

supi(‖Ui(t)‖)2=supi‖Vi(t)‖eλt<ε0，

即對于i=1,2,3,…，有

supi‖xi(t)‖<

(ε0/αil)0.5e-0.5λ t=εe-0.5λ t。

(8)

接下來采用數學歸納法證明當脈沖干擾存在時，系統(tǒng)(1)的零解的穩(wěn)定性。

首先需要證明下面的不等式成立：

supi‖xi(t)‖，

即對于tk-1≤t

(9)

假設對所有的p=1,2,…,k，tp-1≤t

(10)

當t=tk，利用假設A3可以得到

tk-1≤t≤tk。

(11)

可以看出(11)式蘊含下式成立：

tk≤t

(12)

若式(12)不成立，則必然存在某個子系統(tǒng)i和時刻t*∈[tk,tk+1)使得

(13)

成立，且有D+Wi(t*)≥0，以及

t∈[tk,t*]，j=1,2,...,i-1。

(14)

將式(13)和(14)代入到式(6)中，得到

由于(5)式蘊含著下式成立：

因此D+Wi(t*)<0，這與假設D+Wi(t*)≥0矛盾，因此(12)式是成立的，即下面的不等式成立：

supi‖xi(t)‖。

supi‖xi(t)‖

e0.5η(t1-t0)e0.5η(t2-t1)…e0.5η(tk-1-tk-2)εe-0.5λt≤

εe-0.5(λ-η)t。

(15)

下面將證明系統(tǒng)(1)零解是模約束穩(wěn)定的。

當t≠tk，k∈Ν時，經過分析有：

-αi2‖xi(t)‖2+αi1‖xi(t)‖·

[li,i-1‖xi-1(t)‖+li,i-2‖xi-2(t)‖+…+

li,i-r+1‖xi-r+1(t))]≤

‖xi(t)‖{-αi2‖xi(t)‖+

‖xi(t)‖{-αi2‖xi(t)‖+

令

αil‖xi‖2≤Vi(xi)，t≠tk。

令

故‖xi(t)‖

‖xi(t)‖

(16)

考慮到定理條件，容易看出0

接下來分析當脈沖發(fā)生時，系統(tǒng)(1)的零解仍然是模約束穩(wěn)定的。

由前面的分析可知：

‖xi(t)‖

(17)

由假設A3可知

max{‖‖}≤

(18)

將式(18)代入到式(17)，有

(19)

由式(16)和式(19)可知系統(tǒng)(1)的零解是模約束穩(wěn)定的。

綜合式(15)、(16)和(19)可以得出結論：系統(tǒng)(1)的零解是模約束弦指數穩(wěn)定的。

證畢。

4 數值算例

考慮如下脈沖關聯系統(tǒng)：

(20)

其中xi∈R2表示第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)，令

xi(t)=(xi1(t),xi2(t))T，i=1,2,3,4。

令fi=(fi1,fi2)T，且

f11(x1,0,0)=-12x11，

f12(x1,0,0)=-8x12，

f2j(x2,x1,0)=-10x2j+0.8x1j,

f3j(x3,x2,x1)=-9x3j+0.6x2j+0.3x1j，

f4j(x4,x3,x2)=-8x4j+0.5x3j+0.2x2j。

其中j=1,2。顯然fi，i=1、2、3、4，滿足Lipschitz條件，且l21=10，l22=0.8，l31=9，l32=0.6，l33=0.3，l41=8，l42=0.5，l43=0.2。假定α21=α31=α41=1，α22=30，α32=35，α42=40，α2l=α3l=α4l=1，α2h=2，α3h=3，α4h=4。

容易驗證假設A1—A3是滿足的。將以上參數代入到定理1中的判定條件，可得：

當i=2時，

當i=3時，

當i=4時，

綜上，系統(tǒng)(20)滿足定理1的所有條件，因此根據定理1可知該系統(tǒng)的零解是模約束弦指數穩(wěn)定的，且指數收斂率為0.4。

5 結論

本文研究了一類具有脈沖干擾的無限維顧前非線性關聯系統(tǒng)的動態(tài)行為。利用矢量Lyapunov函數法以及數學歸納法，得到了確保該系統(tǒng)模約束指數穩(wěn)定的充分條件，并給出了指數收斂速度。本文所得的結論可為自動車輛跟隨系統(tǒng)、飛行編隊系統(tǒng)以及水下機器人編隊系統(tǒng)等顧前系統(tǒng)的控制器設計提供一定的理論依據。最后通過數值算例驗證了所得結論的正確性和可行性。

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(編校：葉超)

StringStabilitywithModeConstraintofLook-aheadNonlinearInterconnectedSystemswithImpulsiveDisturbance

XU Xiao-hui1, ZHANG Ji-ye2

(1.SchoolofAutomobile&Transportation,XihuaUniversity,Chengdu610039China;2.NationalTractionPowerLaboratory,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu610031China)

In order to provide the theory foundation for vehicle formation controller design of automated highway system, in this paper some researches on the stability with mode constraint of a class of infinite-dimensional look-ahead nonlinear interconnected systems with impulsive were studied. Intuitively the string stability with mode constraint not only can guarantee the stability of steady-state of the system but also give the size relationship of the state variables when the system converges to steady-state process. Under the condition that the isolate subsystems were stable, some sufficient conditions ensuring the string stability with mode constraint of the system were obtained by using the vector Lyapunov function method and mathematical induction. A numerical example with simulations was given to show the correctness and practicability of the obtained results.

interconnected system; infinite-dimensional; stability; mode constraint; impulsive disturbance.

2014-03-29

國家自然科學基金資助項目(11402214,11172247,51375402,61273021)；新能源汽車電控技術四川省青年科技創(chuàng)新研究團隊(2015TD0021)；西華大學重點科研基金項目(zl320312)

徐曉惠(1982—), 女, 講師, 博士，主要研究方向為復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制。

TP13; O211.6

：A

：1673-159X(2015)04-0047-05

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.04.010