基于數(shù)學(xué)史的加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)實踐

吳駿??+朱維宗

初中統(tǒng)計教學(xué)中的平均數(shù)主要指加權(quán)平均數(shù)，是對算術(shù)平均數(shù)的進(jìn)一步深化.在算術(shù)平均數(shù)的計算中，所有數(shù)據(jù)都是按照等比例去計算，而對于加權(quán)平均數(shù)，一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的重要程度未必相同.學(xué)生雖然在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過算術(shù)平均數(shù)，但從算術(shù)平均數(shù)到加權(quán)平均數(shù)經(jīng)歷了一個很大的跨越，其實學(xué)生并未做好這方面的準(zhǔn)備，因此加權(quán)平均數(shù)的學(xué)習(xí)并非容易.一些學(xué)者對加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了研究，但從歷史發(fā)生視角的卻很少見.為加強學(xué)生對加權(quán)平均數(shù)的理解，本文借助數(shù)學(xué)史，結(jié)合人教社教材加權(quán)平均數(shù)的內(nèi)容，從加權(quán)平均數(shù)的引入、組中值的探究和用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)三個方面，設(shè)計了相關(guān)的教學(xué)案例，以彌補原教學(xué)的不足，并在八年級付諸教學(xué)實踐.1加權(quán)平均數(shù)的引入

教材分析教材中先利用數(shù)據(jù)的不等比例和百分比引入加權(quán)平均數(shù)的概念，再把頻數(shù)分布中的平均數(shù)看作加權(quán)平均數(shù).事實上，學(xué)生對后者容易理解，而對前者中的“權(quán)”感知困難.鑒于此，可從數(shù)學(xué)史的視角審視加權(quán)平均數(shù)的引入.1962年夏天，美國哈姆林大學(xué)統(tǒng)計學(xué)家Varberg教授為中學(xué)數(shù)學(xué)教師作了兩個關(guān)于統(tǒng)計歷史發(fā)展的演講.他在第一個演講中，就是把測量數(shù)據(jù)用線條圖來表示，直觀地表達(dá)了數(shù)據(jù)的個數(shù)，從而較為簡單地計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這就是加權(quán)平均數(shù)的計算公式.下面的案例結(jié)合八年級學(xué)生的實際情況，對Varberg的例子進(jìn)行適當(dāng)改編，從頻數(shù)分布中算術(shù)平均數(shù)的計算引入加權(quán)平均數(shù).

教學(xué)案例1測量八年級某班學(xué)生的身高和體重，下表（表1）是12個學(xué)生的數(shù)據(jù)表，其中身高X以公分為單位，體重Y以公斤為單位.

英國人普萊菲（William Playfair，1759—1823）被公認(rèn)為將圖形表征思想介紹到統(tǒng)計學(xué)的第一人.他關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)的著作中，大多采用圖形如直方圖、條形圖等表征數(shù)據(jù).為了更好地描述這兩組數(shù)據(jù)，教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生用圖形呈現(xiàn)這些數(shù)據(jù).

教師：如何直觀地描述這兩組數(shù)據(jù)呢？

學(xué)生：采用作圖的方法.

教師：我們目前學(xué)過作圖的方法有哪些？

學(xué)生：折線圖、扇形圖、條形圖、直方圖.

在這個問題中，用頻數(shù)分布圖就能很清楚地把數(shù)據(jù)表示出來.圖1是體重Y數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布條形圖.身高X的頻數(shù)分布圖也可以類似表示.圖1體重分布的條形圖

雖然這類圖形能幫助我們從直覺上感知這些數(shù)據(jù)，但是如果要對這些數(shù)據(jù)更進(jìn)一步了解，則需要用某些統(tǒng)計量來分析它們，其中最重要的是平均數(shù).實際上，平均數(shù)的起源可追溯至古希臘.亞里斯多德（Aristotle，384—322 BC）給出了平均數(shù)的幾何定義：a和c中間的數(shù)b稱為算術(shù)平均數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)b-a=c-b，用現(xiàn)代術(shù)語表述即為：b=a+c2.在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用平均數(shù)來反映數(shù)據(jù)的集中趨勢.

教師：你能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎？

學(xué)生：把這些數(shù)據(jù)全部相加，再除以它們的個數(shù).

即這組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)為：

（60+64+70+62+60+62+64+70+62+60+62+70）/12=63.83，

為了理解這個概念的重要意義，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1：

教師：觀察上述體重分布的條形圖，你能發(fā)現(xiàn)更簡單的方法嗎？

學(xué)生：不必把每個數(shù)據(jù)一一相加，只要把相同的體重乘以頻數(shù)就行.

于是，這個公式寫成更為簡明的形式：

60×3+62×4+64×2+70×33+4+2+3=63.83，

一般地，n個觀測值xi的平均數(shù)可以表示為：

=1n（x1f1+x2f2+x3f3+…+xkfk），

其中xi代表變量X的數(shù)值，fi是xi出現(xiàn)的次數(shù)，稱為比例或比重，且f1+f2+…+fk=n.

這就是頻數(shù)分布中平均數(shù)的計算，有了該案例之后，再講教材中的例題，最后才引入加權(quán)平均數(shù)的概念.該案例雖然還沒有直接建立加權(quán)平均數(shù)的概念，但為加權(quán)平均數(shù)中“權(quán)”的引入作了一個很好的鋪墊.

設(shè)計說明該案例的設(shè)計考慮到歷史現(xiàn)象、教材順序、邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知幾個方面之間的關(guān)系，先引出頻數(shù)分布的平均數(shù)，再給出不等比例和百分比數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，自然呈現(xiàn)知識的發(fā)生過程，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，使算術(shù)平均數(shù)到加權(quán)平均數(shù)的過渡更為順暢.2組中值的探究

教材分析教材以公共汽車載客量為探究問題，直接給出了組中值的概念及其計算，但并沒有交待求組中值的原因，也沒有說明為什么組中值可以作為各組數(shù)據(jù)的平均代表，因此，組中值的出現(xiàn)顯得很突然，學(xué)生難以理解.事實上，從歷史的視角來看，算術(shù)平均數(shù)的前概念是中點值，即兩個極端值的算術(shù)平均數(shù).中點值在9世紀(jì)至11世紀(jì)阿拉伯人的天文、冶金和航海中有廣泛的應(yīng)用.托勒密（Ptolemy，100—170）在《天文學(xué)大成》中指出：取最大值和最小值的平均數(shù)是一條法則.這樣做的目的是為了降低觀察值的誤差，所得的結(jié)果介于最大值和最小值之間.從現(xiàn)代的觀點來看，中點值不是一個很有用的平均數(shù)，因為它對極端值太敏感.學(xué)生在開始學(xué)習(xí)平均數(shù)時，可能會把中點值的計算作為求平均數(shù)的原始方法.因此，中點值的探究是平均數(shù)教學(xué)的基礎(chǔ).為此，教師可以借助以下教學(xué)案例來探究如何估計兩個數(shù)的平均值.

教學(xué)案例2公元前400年，在伯羅奔尼撒人戰(zhàn)爭中，Homer為了了解對方的兵力，進(jìn)行了實地考察，發(fā)現(xiàn)對方運載士兵的船只共有1200條，這些船只大小不等，最大的船能容納120名士兵，最小的船能容納50名士兵，試估計對方的人數(shù).

學(xué)生對這個問題的回答有3種情形：

（1）1200×120+1200×501200；

（2）1200×120+1200×50120+50；

（3）1200×（120+50）2.

從這些回答可以看出，在不同背景下，學(xué)生對加權(quán)平均數(shù)的理解存在偏差.在第一種方法中，學(xué)生沒有理解加權(quán)平均數(shù)公式中的頻數(shù)，誤認(rèn)為1200；第二種方法中，學(xué)生沒有理解權(quán)重，機(jī)械套用加權(quán)平均數(shù)公式；第三種方法利用中點值估計出每條船上的平均人數(shù)，從而得出所有船只能容納的人數(shù).

當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到中點值可以作為一組數(shù)據(jù)的估計值后，在探究公共汽車載客量的問題上就容易多了.

教師：以第一小組為例，它表示什么意思？

學(xué)生：載客量在1≤x<21之間的班次出現(xiàn)了3次.

教師：能夠確定這個小組的載客量嗎？

學(xué)生：不能，這個區(qū)間只有范圍，而沒有具體的數(shù)字.

教師：能否用一個數(shù)表示出它的估計值，作為該小組載客量的代表.（小組開始討論）

教師：如何選出這個代表？

學(xué)生：求平均數(shù).

教師：如何求平均數(shù)？

學(xué)生：取這個區(qū)間兩個端點的平均數(shù).

教師：能不能用中位數(shù)？

學(xué)生：不能，因為人數(shù)不確定，無法找到中位數(shù).

教師：能不能用眾數(shù)？

學(xué)生：不能，因為無法確定出現(xiàn)最多的人數(shù).

教師：在第一組中，由于3個班次的人數(shù)不確定，只是介于1≤x<21之間，因此無法求出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù).可以用1+212作為這個小組載客量的估計值，稱為組中值，這樣就解決了該小組平均載客量的問題.

設(shè)計說明以戰(zhàn)爭問題為背景，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)組中值產(chǎn)生的過程，從而把組中值作為該組數(shù)據(jù)的代表，過渡自然易于接受.從上課效果來看，學(xué)生很喜歡此問題的設(shè)計.這也表明，通過探究獲得的知識，比教師講授更容易掌握.3用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)的思想

教材分析教材在本章引言中指出，用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想.當(dāng)所要考察的總體中個體很多或者對考察對象帶有破壞性時，統(tǒng)計學(xué)中常常通過樣本估計總體的方法來了解總體.這就意味著，用樣本估計總體的基礎(chǔ)是抽樣.因此，在該部分的教學(xué)中，學(xué)生首先需要具有一定的抽樣思想，才能用樣本推斷總體.下面介紹一個教學(xué)案例——貨幣檢查箱試驗，隨機(jī)抽樣的思想隱含在該案例中.

教學(xué)案例3現(xiàn)在的硬幣是由比較便宜的材料做成的，與以前的做法已經(jīng)大不一樣了.很久以前，硬幣是由黃金和銀子做成的，與黃金和銀子具有相同的價值.在12-18世紀(jì)，英國皇家制幣廠在制造硬幣時，制造商就需要對硬幣的重量進(jìn)行檢查：這些硬幣既不能使用太多也不能使用太少的黃金和銀子，即需要檢驗硬幣的重量是否達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn).但由于硬幣太多，把每一枚硬幣都稱重是不可能.請你為國王設(shè)計一個如何檢驗這些硬幣重量的方案，并作出解釋.

教師：如何檢驗這些硬幣的質(zhì)量？

學(xué)生：抽取10個硬幣，稱出它們的重量，計算出平均數(shù)，檢驗是否達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn).

教學(xué)實踐表明，學(xué)生提出抽取10個、20個、30個硬幣不等，這可能是學(xué)生的一種抽樣直覺.遺憾的是，教師沒有追問學(xué)生這些硬幣是如何選擇的，因而隨機(jī)的思想沒有體現(xiàn)出來.

事實上，當(dāng)時的英國皇家制幣廠是這樣來檢驗硬幣重量的：他們做了一個貨幣檢查箱，每天把生產(chǎn)的硬幣隨機(jī)拿出一枚放到貨幣檢查箱里.一個月后，打開貨幣檢查箱，取出硬幣，把這些硬幣稱重，最后計算出一枚硬幣的平均重量，看是否達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，由此來檢驗這個月生產(chǎn)硬幣是否達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn).如果事實證明這些硬幣的重量達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，則國王就會舉辦晚宴來慶賀；否則，制幣者就會受到國王的懲罰.

設(shè)計說明這個歷史現(xiàn)象表明，平均數(shù)的學(xué)習(xí)與抽樣問題緊密相連，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的困難之一，不過，有了這樣的聯(lián)系，也可以從學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的過程中進(jìn)行抽樣問題的教學(xué).該案例利用歷史故事吸引學(xué)生的注意力，幫助學(xué)生再現(xiàn)抽樣方法，說明抽樣思想產(chǎn)生的必要性.在抽樣的基礎(chǔ)之上，學(xué)生就能更好地理解用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)的思想.

Fauvel和van Maanen指出：“數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)教學(xué)，其目的是更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).因此，數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究乃是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分.”上述三個教學(xué)案例的教學(xué)實踐表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，不是為了教歷史，而是幫助教師更好地理解教材，了解學(xué)生的認(rèn)知障礙，從而有效地改進(jìn)教師的教學(xué)和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).

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