對(duì)高中數(shù)學(xué)教材二次開(kāi)發(fā)的新視角、新思維

陳祥國(guó)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：教材是實(shí)施課程目標(biāo)，實(shí)施教學(xué)的重要資源.教材應(yīng)當(dāng)有利于調(diào)動(dòng)教師的積極性，創(chuàng)造性地進(jìn)行教學(xué);有利于改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)和發(fā)展.但是限于教材的篇幅，編者對(duì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖無(wú)法完全暴露，這就需要我們高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)真研究教材，對(duì)教材進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”，讓教材更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和思維的發(fā)展.

筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教材二次開(kāi)發(fā)的寶庫(kù)之一是課本習(xí)題，現(xiàn)在以課本的一組習(xí)題談?wù)劇敖滩亩伍_(kāi)發(fā)”的新視角、新思維，若有不當(dāng)敬請(qǐng)指正.

題目 （高中數(shù)學(xué)必修一，241函數(shù)的零點(diǎn)，P72練習(xí)題B）

1.求下列函數(shù)的零點(diǎn)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象：

（1）f（x）=2x+7;

（2）f（x）=2x2-5x+1;

（3）f（x）=（x-1）（x-2）（x+3）.

1 承上啟下，做好教材新舊知識(shí)的過(guò)渡與整合

通過(guò)此組題目鞏固了函數(shù)零點(diǎn)的定義與求法，題目雖然簡(jiǎn)單，但體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是非常有價(jià)值的“二次開(kāi)發(fā)”.

解析 （1）（2）（3）題圖象分別為圖1，圖2和圖3：

圖1 ? ? 圖2 ? ? 圖3

借此機(jī)會(huì)大膽地整合教材，做好新舊知識(shí)的過(guò)渡，引出下節(jié)課242“變號(hào)零點(diǎn)”的定義：如果函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)x軸，則這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn).讓同學(xué)們討論“變號(hào)零點(diǎn)”的性質(zhì)，同時(shí)類(lèi)比“變號(hào)零點(diǎn)”的定義給出“不變號(hào)零點(diǎn)”的定義，并舉例說(shuō)明.這樣使平淡乏味的問(wèn)題變得有趣味了，同學(xué)們各抒己見(jiàn)，很輕松地解決了新問(wèn)題.“不變號(hào)零點(diǎn)”就是沒(méi)有穿過(guò)x軸的零點(diǎn).

例如函數(shù)y=（x-1）2，y=x4等.

圖象如圖4和圖5所示：

圖4 ? ? ? ? 圖5

從數(shù)（定義）和形兩個(gè)角度總結(jié)出零點(diǎn)的分類(lèi)及性質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)情緒高漲，真所謂“深深的話(huà)，淺淺地說(shuō)”，淺顯易懂.

因此，用好教材要以知識(shí)的連續(xù)性和學(xué)生認(rèn)知的實(shí)效性為標(biāo)準(zhǔn)，這就需要我們每位教師認(rèn)真分析教材，對(duì)教材的“二次開(kāi)發(fā)”要有新視角、新思維，站在整體高度審視教材，大膽地整合教材，做到層次分明，結(jié)構(gòu)清晰，讓不同領(lǐng)域的知識(shí)交匯成一個(gè)系統(tǒng).

2 引申拓展，尋找知識(shí)間的規(guī)律

利用這組題目設(shè)疑：“同學(xué)們，借助零點(diǎn)（變號(hào)零點(diǎn)和不變號(hào)零點(diǎn)）能否畫(huà)出下列函數(shù)的圖象？”

引申 畫(huà)出下列函數(shù)圖象：

（4）y=（x-1）2（x-2）（x+3）;

（5）y=（x-1）3（x-2）2（x+3）.

分析 （4）1是不變號(hào)零點(diǎn)，2，-3是變號(hào)零點(diǎn)，如圖6所示;

（5）2是不變號(hào)零點(diǎn)，1，-3是變號(hào)零點(diǎn).如圖7所示.

圖6 ? ? ? ? 圖7

師生共同總結(jié)規(guī)律如下：

1.分解因式求零點(diǎn)（x的系數(shù)為1）;

2.在x軸上從小到大標(biāo)零點(diǎn);

3.從右上方穿零點(diǎn)（奇過(guò)偶不過(guò)）.

“奇過(guò)偶不過(guò)”就是因式的奇次方對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，所以既穿又過(guò);因式的偶次方對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)是不變號(hào)零點(diǎn)，所以只穿不過(guò).

利用這組題目的拓展引申，歸納總結(jié)出一類(lèi)“一元高次多項(xiàng)式函數(shù)”圖像的畫(huà)法，使同學(xué)們豁然開(kāi)朗，體會(huì)到函數(shù)零點(diǎn)在畫(huà)圖像中“神奇”的重要作用，從而可以結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)了.

數(shù)學(xué)是高中課程中的一門(mén)主要學(xué)科，課時(shí)最多，內(nèi)容浩瀚，記憶和掌握起來(lái)都比較困難.所以我們要重視教材的“二次開(kāi)發(fā)”，站在系統(tǒng)的高度上注意比較知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系，不但有利于抓住問(wèn)題的本質(zhì)，而且可以找出規(guī)律即共性，簡(jiǎn)化記憶，便于掌握.

3 變式應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力

分析教材（P72練習(xí)B）兩組題目很易得出其設(shè)計(jì)意圖，利用函數(shù)圖像來(lái)求解不等式.承接上述知識(shí)進(jìn)行設(shè)疑，以達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維的目的.

變式 解下列不等式：

（1）2x+7>0;

（2）2x2-5x+1≤0;

（3）（x-1）（x-2）（x+3）>0;

（4）（x-1）2（x-2）（x+3）<0;

（5）（x-1）3（x-2）2（x+3）≥0.

在大家熟悉的題目（1）（2）的啟發(fā)下，學(xué)生們很容易聯(lián)想到利用圖像來(lái)解決不等式問(wèn)題，順?biāo)兄?，觸類(lèi)旁通，（3）（4）（5）就很容易解決了.

解析

由圖象寫(xiě)出解集：

（3）的解集是{x|x>2或-3<x<1}，圖8;

（4）的解集是{x|-3<x<2且x≠1}，圖9;

（5）的解集是{x|x≥1或x≤-3}，圖10.

圖8 ? ? 圖9 ? ? 圖10

借助函數(shù)零點(diǎn)畫(huà)出圖像，一元高次不等式就輕松解決了，也就是“穿根法”.其解法實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一：函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化.因而在教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，培養(yǎng)這種意識(shí)，做到“胸中有圖”，“見(jiàn)數(shù)思圖”，以開(kāi)拓學(xué)生的思維.

以課本的知識(shí)為載體，以層層設(shè)疑來(lái)達(dá)到知識(shí)的深化，從而提煉方法，總結(jié)規(guī)律，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力.一組簡(jiǎn)單的題目卻傳遞著“巨大的能量”，這需要我們每位教師在備課時(shí)做個(gè)“有心人”，在研究教材時(shí)做個(gè)“用心人”，開(kāi)辟新的視角進(jìn)行多維度的再開(kāi)發(fā)，激發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生的能力在開(kāi)發(fā)中獲得更多的提升.

4 傳遞情感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

通過(guò)對(duì)課本習(xí)題的“二次開(kāi)發(fā)”，將一組看似簡(jiǎn)單的題目變得“深?yuàn)W而富有生機(jī)和活力”，使課堂的“數(shù)學(xué)味”越來(lái)越濃，營(yíng)造了良好的情感氛圍.在課堂中對(duì)開(kāi)發(fā)的問(wèn)題使用“開(kāi)放式”提問(wèn)，“你發(fā)現(xiàn)了什么？”“誰(shuí)起來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的想法？”等等.讓學(xué)生充分自由大膽地表述、質(zhì)疑、探究、討論，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的酸甜苦辣，享受智力活動(dòng)的振奮與愉悅.在課堂上，筆者借助這一類(lèi)函數(shù)的圖象總結(jié)：“數(shù)學(xué)是美麗和諧的，我們的人生就像今天所研究的圖像一樣，曲曲折折，有上升也有下落，但我們一定要勇往直前（上升）……”.

隨著人們對(duì)高效課堂的追求與新課程的深入推進(jìn)，數(shù)學(xué)教材的二次開(kāi)發(fā)越來(lái)越受重視，更重要的是學(xué)生因?yàn)殚_(kāi)發(fā)而思考，課堂因開(kāi)發(fā)而精彩，教師因開(kāi)發(fā)而發(fā)展，教材因?yàn)殚_(kāi)發(fā)而豐滿(mǎn)，數(shù)學(xué)因開(kāi)發(fā)而有趣.用新視角、新思維開(kāi)發(fā)教材是一種境界，我們當(dāng)繼續(xù)努力！