在模式識(shí)別的過(guò)程中學(xué)會(huì)差異分析

☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平

在模式識(shí)別的過(guò)程中學(xué)會(huì)差異分析

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當(dāng)你面對(duì)一道高考數(shù)學(xué)試題時(shí)，你首先需要閱讀理解，感知題目的條件是什么？解題目標(biāo)是什么？聯(lián)系、聯(lián)想溝通問(wèn)題條件和目標(biāo)涉及的數(shù)學(xué)概念、公式、定理和有關(guān)解答技巧.識(shí)別模式，分析差異，進(jìn)而快速寫(xiě)出試題的規(guī)范解答過(guò)程.當(dāng)然，解答完畢再做出一些必要的反思總結(jié)，這樣的解題習(xí)慣，有助于形成自己獨(dú)特的解題思維，有利于優(yōu)化自己大腦中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成解題模式，積累解題經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)發(fā)解題智慧.

一、案例閱讀

（1）求∠A的度數(shù)；

讀題感知：這是一道涉及三角形的三角函數(shù)求值和不等式證明題.

模式識(shí)別：“遇新思舊、推陳出新”無(wú)非是將面對(duì)的問(wèn)題和頭腦中已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立聯(lián)系，以誘發(fā)積極有用的思維定勢(shì).

差異分析：看見(jiàn)正切，轉(zhuǎn)化為正余弦；把邊與角的三角函數(shù)關(guān)系統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，聯(lián)想到了正弦定理，第（1）問(wèn)的目標(biāo)是求∠A的度數(shù)，自然要向∠A轉(zhuǎn)化，這就會(huì)聯(lián)系到三角形的內(nèi)角和定理.對(duì)第（2）問(wèn)，三角形面積選擇哪個(gè)公式呢？從第（1）問(wèn)的答案知∠A=120°，聯(lián)想出似乎是自然的事情，這里出現(xiàn)了邊長(zhǎng)b，c，從證明目標(biāo)a2≥4√3S里的a2能聯(lián)系到余弦定理嗎？

因?yàn)閟in（A+B）=sinC，所以sinAcosB-cosAsinB=sinB+ sinAcosB+cosAsinB，有-2cosAsinB=sinB，

注意到∠A∈（0°，180°），得出∠A=120°.

由余弦定理和二元均值不等式，得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc≥3bc=4S.

反思總結(jié)：從余弦定理出發(fā)，得a2=b2+c2-2bccosA= b2+c2+bc，用三角形面積公式有3bc=4S，把中間對(duì)接b2+c2+bc≥3bc，等價(jià)于b2+c2≥2bc，這樣，二元均值不等式就自然用到了.望著目標(biāo)、緊緊盯住目標(biāo)，進(jìn)行有目的地變形、轉(zhuǎn)化，解題思維路線(xiàn)自然就打通了.這就是“我思，故我發(fā)展，我思，故我進(jìn)步”.

在同樣的條件下，你能證明類(lèi)似的問(wèn)題嗎？

設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)和面積分別是a，b，c，S，求證：a2+ 2bc≥4S.積累解題經(jīng)驗(yàn)，形成思維模塊，模式識(shí)別和轉(zhuǎn)化，展開(kāi)差異分析，一定會(huì)將數(shù)學(xué)學(xué)得容易、簡(jiǎn)單、明白些.

例2已知圓x2+y2=1上三點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），滿(mǎn)足x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，求證：

讀題感知：當(dāng)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入單位圓方程時(shí)，這是一道有5個(gè)條件等式的等式證明題.

模式識(shí)別：解析幾何味道的題，變更為代數(shù)條件求值問(wèn)題，難在條件多（5個(gè)），找它們之間的關(guān)系、聯(lián)系，代入消元方法是經(jīng)常采用的，改造與重新組合，形成新的等式.

差異分析：由一次式x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，解出x3= -（x1+x2），y3=-（y1+y2），再代入的y3也換掉、消失.

由④、⑤得x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），代入③，有（x1+ x2）2+（y1+y2）2=1，展開(kāi)，并結(jié)合①、②得，即

反思總結(jié)：其實(shí)，聯(lián)系到單位圓上的點(diǎn)可以設(shè)為（cosθ，sinθ），問(wèn)題的模式就是三角題目了.利用單位圓的參數(shù)方程，原題轉(zhuǎn)化為：若cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+ sinγ=0，求證

如果注意到△ABC的外接圓是單位圓，那么外心是坐標(biāo)原點(diǎn)，而△ABC的重心坐標(biāo)是（0，0），于是，△ABC的外心與重心重合，便知△ABC是正三角形.這樣三點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可設(shè)為A（cosθ，sinθ），B（cos（θ+120°），sin（θ+120°）），C（cos（θ+ 240°），sin（θ+240°））.這樣就達(dá)到消參的目的.

包含多個(gè)參數(shù)的問(wèn)題，如何處理參數(shù)，變更參數(shù)，這是需要多加總結(jié)、反思和琢磨的話(huà)題，諸如：對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論；代入法消去參數(shù)以減少變量的個(gè)數(shù)；換元轉(zhuǎn)化，出現(xiàn)新的自己熟悉模式；抓住要害參數(shù)，看作“主元”，形成函數(shù)、方程模型.

例3設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］.求證

讀題感知：本題是一道高考?jí)壕眍}，參數(shù)比較多，求導(dǎo)方法必然用到，但難在處理參數(shù)和識(shí)別參數(shù)上.

模式識(shí)別：函數(shù)不等式證明，往往要構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)思想和方程的觀點(diǎn)解決之.字母多，突出“主元”，實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化.把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的.

差異分析：由“函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2”，知x1，x2是一元二次方程f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，就獲得了x1，x2與字母b，c的等量關(guān)系，這樣，就可以把目標(biāo)里的b，c消去，實(shí)現(xiàn)了減少參數(shù)的目的.獲得把x2看作“主元”，這是關(guān)于x2的一元三次函數(shù)，利用其在特定閉區(qū)間［1，2］上的單調(diào)性進(jìn)行放大和縮小.最終又歸結(jié)為x1的一次函數(shù)，大有層層簡(jiǎn)化的感覺(jué).

規(guī)范解答：因?yàn)閒′（x）=3x2+6bx+3c，所以，由題意知x1，x2是關(guān)于主元x的一元二次方程3x2+6bx+3c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而，利用韋達(dá)定理，得x1+x2=-2b，x1x2=c.

因?yàn)閤1∈［-1，0］，x2∈［1，2］，所以

因?yàn)閤1∈［-1，0］，-4+6x1和是增函數(shù)，所

若先把f（x2）看做關(guān)于x1的一次函數(shù)，在x1∈［-1，0］上顯然是遞增的，所以

這樣的解答只是變換了“主元”的次序，看來(lái)，“主元”能夠突破多字母的困繞，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解思維的明朗化、清晰化.在做完一道題目之后，做些總結(jié)、反思是必要的，但提出新的類(lèi)似的問(wèn)題，更能發(fā)展自己的思維模式，從積極積累模式、自覺(jué)使用模式，到努力突破模式.同樣地，可以研究類(lèi)似問(wèn)題：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］，試求函數(shù)值f（x1）的取值范圍.

二、溫馨提示

怎樣解答高考數(shù)學(xué)題，溫馨提示助你正能量.

（1）在讀題的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)模式識(shí)別，學(xué)會(huì)差異分析，學(xué)會(huì)模式變更.

（2）在解題之后做一點(diǎn)反思是很有必要的，想想題目的條件是什么？解題目標(biāo)什么？為什么要這樣做？不這樣做行嗎？解答過(guò)程還能簡(jiǎn)化嗎？不這樣求解還有更好的辦法嗎？

（3）“建（坐標(biāo)系）、設(shè)（字母、點(diǎn)坐標(biāo)）、列（方程、函數(shù)、不等式）、解（找聯(lián)系、關(guān)系）、驗(yàn)”這5字解題模式，值得思之、思之、再思之.

（4）解題就是實(shí)現(xiàn)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間的翻譯和轉(zhuǎn)換.讀一句、思考一句、翻譯一句，寫(xiě)一句，得一點(diǎn)分?jǐn)?shù).

（5）學(xué)起于思，思源于疑.運(yùn)算是一種推理、推理要有目標(biāo)、要簡(jiǎn)明合理、更要講道理.強(qiáng)化思維分析，提升心算、腦算能力，解題速度很重要，建議你少用點(diǎn)草稿紙吧.

我們知道，數(shù)學(xué)是一種關(guān)系（數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系），數(shù)學(xué)解題就是找關(guān)系.在讀題的過(guò)程中，迅速檢索貯存在大腦中的相關(guān)模式，進(jìn)行模式識(shí)別，在消除條件和解題目標(biāo)之間差異的過(guò)程中，學(xué)習(xí)模式流轉(zhuǎn)、變更、替換.把基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、核心公式定理等模塊印記在自己的大腦里，把考題的基本類(lèi)型固化心中，讓“想清楚、說(shuō)明白、寫(xiě)規(guī)范”作為我們高效復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的一種追求，有模式，但不唯模式.請(qǐng)相信，數(shù)學(xué)是美好的、數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的、數(shù)學(xué)高考是容易的，數(shù)學(xué)一定會(huì)成就自己的高考，實(shí)現(xiàn)自己的人生轉(zhuǎn)折.FH