例談高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用

穆中華

【摘要】數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想是從運(yùn)動(dòng)和變化的角度去分析和研究自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，根據(jù)已知條件和隱含條件，構(gòu)造函數(shù)解析式，從困數(shù)的圖像和性質(zhì)等方向分析問通，將方程問題、不等式問題和其他很多問題轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函敢問題去解決；而方程思想是通過設(shè)元，探求已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)與方程思想是相互補(bǔ)充，相互完善的。對(duì)于很多問題要將二者結(jié)合運(yùn)用去解決。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程 思想

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）06-0147-01

一、構(gòu)建函數(shù)關(guān)系

通過對(duì)各種數(shù)學(xué)綜合題的研究，我們發(fā)現(xiàn)非函數(shù)的問題能夠通過某種類比或者聯(lián)想手段能夠構(gòu)造成為函數(shù)關(guān)系，并且能夠運(yùn)用函數(shù)方法進(jìn)行解題，這就是函數(shù)思想更高級(jí)的表現(xiàn)。

函數(shù)與方程思想解埋主要可以從以下幾個(gè)方面人手：①利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題；②用函數(shù)思想解決數(shù)列問題；③通數(shù)與方程思想解決幾何問題；④構(gòu)造函數(shù)與方程解題等等。本文通過舉例探討函數(shù)與方程思想用于數(shù)學(xué)解題的思路與方法。值得注意的是，當(dāng)我們將非函數(shù)通過特殊關(guān)系構(gòu)造成函數(shù)時(shí)，一定要多挖掘一些已知條件，運(yùn)用一些類比因素，這樣能夠促進(jìn)思維的遷移。同時(shí)函數(shù)構(gòu)建的表現(xiàn)還可以運(yùn)用推理、類比等方法，能夠較好的幫助我們完成函數(shù)構(gòu)建。

分析：其實(shí)看到這個(gè)不等式的求解我們很容易能夠想到變量分離法，將它轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行求解，只需要求出二次函數(shù)的取值范圍即可解出該不等式。題目中sin2x與cosx是兩個(gè)重要的未知量，也是解題的重點(diǎn)所在，我們可以將此作為突破點(diǎn)，然后通過換元，將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后在構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系，以此求解能夠充分簡化解題，快速求解。

因此不等式的解題可以轉(zhuǎn)化為f（t）min>0的求解，由此我們可以根據(jù)函數(shù)的定義較為直觀的求出不等式的解集。

點(diǎn)撥解疑：首先，一般的不等式的求解可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，但是由于這道題無法進(jìn)行參數(shù)分離，所以我們可以對(duì)含a的二次函數(shù)進(jìn)行分情況討論，分為a大于1，小于等于-1和大于-1小于1三種情況，在根據(jù)函數(shù)性質(zhì)將其解決。其次，在上題求解中，我們也運(yùn)用了函數(shù)思想，將不等式進(jìn)行分段討論，還要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，這都學(xué)生的品質(zhì)要求相對(duì)較高，但是熟練之后解題會(huì)極其簡單。

二、函數(shù)與方程思想在解題中的典型應(yīng)用

在本節(jié)，將結(jié)合一些典型的題目來顯現(xiàn)函數(shù)與方程思想在解答高中數(shù)學(xué)題目中所發(fā)揮的獨(dú)特的作用。

例2 是否存在常數(shù) a，b，c，使得等式 1·2^2+2·3^2+3·4^2+……+n^（n+1）= 對(duì)于一切自然數(shù) n 都成立并證明你的結(jié)論。

分析：本例屬存在型探索題，但也是待定系數(shù)法運(yùn)用的典型題目，問題要求含三個(gè)待定常數(shù) a，b，c 的等式對(duì)一切自然數(shù)都成立，易聯(lián)想到用賦值法，此等式必然對(duì) a，b，c 所取的任何具體的自然數(shù)的值都成立.令 n=1，2，3，建立 a，b，c的三元方程組，轉(zhuǎn)化為方程組是否有解，問題便不難解決了。

解析：假設(shè)三個(gè)常數(shù)可以通過等式的形式表達(dá)出來，那么我們可以列出如下方程組，令n=1，2，3，得，通過歸納法進(jìn)行解題，首先將三個(gè)等式化簡，然后通過相互運(yùn)算可以結(jié)出未知數(shù)：。

點(diǎn)撥解疑：待定系數(shù)法在方程思想中的應(yīng)用及其廣泛，尤其是在高中數(shù)學(xué)解題中，它的出鏡率更是非常高的。對(duì)于很多已知某些特殊項(xiàng)的值，或者是前n項(xiàng)的和，求通項(xiàng)或者是求某一個(gè)待定系數(shù)，我們都可以通過這種方式進(jìn)行求解。

例3 存在一條已知的拋物線y=-x^2+mx-1 ，在該拋物線上任取兩個(gè)端點(diǎn)A（0，3）和B（3，0），且A與B之間有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求拋物線中的變量m的取值范圍。

分析：可先將求交點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的實(shí)根分布問題，然后通過求不等式組的范圍解出m的值。

從以上給出的例子可以看出，函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)的解題中有著廣泛的應(yīng)用，巧妙利用函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想通?？梢詫⒁粋€(gè)較為復(fù)雜抽象的題目轉(zhuǎn)化為簡單具體的問題進(jìn)行分析。看到一個(gè)題目，首先要想想是否可以一個(gè)代數(shù)式抽象成為看成一個(gè)函數(shù)把方程化作函數(shù)，把字母可以設(shè)為變量，以此為解題依據(jù)。

結(jié)語

函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)中的主線，它不僅是對(duì)中樞中相關(guān)變量之間關(guān)系的描述，更是我們解題的重要手段。我們可以通過函數(shù)與方程的性質(zhì)求解出大量復(fù)雜的問題。函數(shù)思想與方程思想的結(jié)合與運(yùn)用豐富了學(xué)生解題思想，簡化了解題流程，在高中數(shù)學(xué)思想中有著不可忽視的地位。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 李俠. 函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用舉隅[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）. 2010（08）