帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的食餌-捕食系統(tǒng)的Hopf分支

張建強(qiáng)，張 旻，邵瑞鋒

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的食餌-捕食系統(tǒng)的Hopf分支

張建強(qiáng)，張 旻，邵瑞鋒

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

研究了帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)和比率依賴(lài)功能反應(yīng)函數(shù)的Holling-Tanner食餌-捕食系統(tǒng)的Hopf分支, 分支方向以及分支周期解的穩(wěn)定性.

比率依賴(lài)功能反應(yīng)函數(shù)；Holling-Tanner食餌-捕食系統(tǒng)；Hopf分支

在文獻(xiàn)[1]中，May提出了Holling-Tanner食餌-捕食系統(tǒng).就生態(tài)學(xué)來(lái)講，該系統(tǒng)可以用來(lái)描述麻雀和食雀鷹等生態(tài)系統(tǒng)中種群間的相互作用[2-3]，因此受到了廣泛的關(guān)注.

Holliing-Tanner 食餌-捕食系統(tǒng)如下：

(1)

其中,U(x,t)和 V(x,t) 分別代表食餌和捕食者在t時(shí)刻的種群密度；R和H分別代表內(nèi)稟增長(zhǎng)率；K為食餌的最大環(huán)境容納量；U/C為捕食者依賴(lài)于食物的容納量；1/C可以表示食餌轉(zhuǎn)化為捕食者食物的轉(zhuǎn)化率 M代表單位時(shí)間內(nèi)單位捕食者消耗食餌的最大數(shù)量；D代表1/C達(dá)到一半時(shí)對(duì)應(yīng)于食餌的飽和率.

Holliing-Tanner食餌-捕食系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為，比如正常數(shù)平衡解的全局穩(wěn)定性，周期解，穩(wěn)定的極限環(huán)，半穩(wěn)定的極限環(huán)等[2-3].在大多數(shù)情況下，當(dāng)食餌捕食理論建立在所謂的比率依賴(lài)?yán)碚撋蠒r(shí)更符合實(shí)際情況.比率依賴(lài)系統(tǒng)如下

(2)

還有一種情況我們應(yīng)當(dāng)考慮，如果種群在空間上是非均勻分布的，且棲息在固定的有界區(qū)域Ω∈Rn，我們就可以得到以下反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

(3)

其中Δ表示Laplace算子；D1,D2分別表示食餌和捕食者的反應(yīng)擴(kuò)散系數(shù)； 邊界條件為齊次Neumann邊界條件，這說(shuō)明系統(tǒng) (3) 是自封閉的，食餌和捕食者都離不開(kāi)棲息地.對(duì)于帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的Holliing-Tanner食餌-捕食系統(tǒng)已有很多的研究，例如它的全局穩(wěn)定性,Hopf分支，穩(wěn)態(tài)分支等[7-8].對(duì)于帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)和比率依賴(lài)功能反應(yīng)函數(shù)的食餌-捕食系統(tǒng)也有很多的研究，例如全局穩(wěn)定性以及局部穩(wěn)定性等.

本文主要利用文獻(xiàn)[4]中的方法，在定義的Sobolev空間中將無(wú)窮維算子的特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可列個(gè)矩陣的特征值問(wèn)題，通過(guò)分析線(xiàn)性化算子的特征值，以及中心流行和規(guī)范型理論.得到了系統(tǒng)(5)的空間齊次和非齊次周期解的Hopf分支值，并且推導(dǎo)出了系統(tǒng)空間齊次Hopf分支值的分支方向和穩(wěn)定性條件.

1 帶有反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的空間齊次和非齊次Hopf分支值

對(duì)系統(tǒng) (3) 做無(wú)量綱化變換. 令

我們?nèi)匀挥胻代表s，得到與系統(tǒng) (3) 等價(jià)的以下系統(tǒng)

(4)

為了后面討論的方便以及得到更好的結(jié)果，我們假設(shè)空間Ω=(0,lπ),l∈R+，是空間一維的.并且由[5],我們可以假設(shè)d1=1,d2=1, 并且通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)谋壤筧=1,

接下來(lái)為了討論系統(tǒng)(4)間齊次和非齊次Hopf分叉的存在性，我們固定參數(shù)h,讓?duì)俗鳛榉种?shù).

(5)

這就將系統(tǒng) (4)價(jià)的轉(zhuǎn)化為系統(tǒng) (5)的(0,0) 解.

定義實(shí)的Sobolev空間為

同時(shí)定義X復(fù)化空間為

可得系統(tǒng) (5)在(0,0)點(diǎn)的線(xiàn)性化算子為

(6)

眾所周知

-ψ″=γψ,x∈(0,lπ),ψ′(0)=ψ′(lπ)=0.

為L(zhǎng)(λ) 對(duì)應(yīng)的特征值 γ(λ) 的特征函數(shù)，也就是L(λ)(θ1,θ2)T=γ(λ)(θ1,θ2)T. 通過(guò)分析可得

其中

由此可知，L(λ) 的特征值可以由 Ln(λ) 的特征值給出，其中n∈N0,Ln(λ) 的特征方程為

μ2-μTn(λ)+Dn(λ)=0,n∈N0,

其中

(7)

因此，特征值為

下面將考慮系統(tǒng)可能發(fā)生Hopf分支的分支值λH.從而存在n∈N0使得

Tn(λH)=0,Dn(λH)>0, 對(duì)m≠n滿(mǎn)足Tm(λH)≠0,Dm(λH)≠0,

(8)

并且在唯一的一對(duì)純虛根α(λ)±iω(λ)附近滿(mǎn)足α′(λ)≠0.

其中，

從而，可能發(fā)生Hopf分支的任何分支值一定在區(qū)間[λ*,2)，對(duì)區(qū)間[λ*,2)它的任一Hopf分支值λH,α(λH)±iω(λH)是L(λ)的特征值.則

并且

(9)

根據(jù)以上分析，我們可以用以下集合來(lái)考慮Hopf分支值問(wèn)題

ΛH:={λH∈[λ*,2):對(duì)于某個(gè) n∈N0,(9)式成立}.

定義

(10)

(11)

通過(guò)以上分析，我們得到以下結(jié)論.

2 帶有反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的空間齊次周期解的分支方向和穩(wěn)定性

證明:以下證明主要采用文獻(xiàn)[7]中的標(biāo)記. 記

系統(tǒng)(5)在正常數(shù)平衡點(diǎn)E*=(u*,v*)處可以寫(xiě)成以下形式

其中

其中

從而可得

c0:=C1+C2iω0, d0:=D1+D2iω0, e0:=E1+E2iω0,

f0:=F1+F2iω0, g0:==G1+G2iω0, h0:=H1+H2iω0.

其中

則

因此

由此計(jì)算可得H20=0, H11=0.

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(責(zé)任編輯 梁志茂)

Hopf bifurcation in the reaction-diffusion prey-predator system

ZHANG Jian-qiang,ZHANG Min,SHAO Rui-feng

(School of Mathematics, Physics, and Software Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

The Hopf bifurcation of Holling-Tanner prey-predator system which contains reaction-diffusion and ratio-dependent functional response,the bifurcation direction and the bifurcation periodical stability ate studied.

ratio-dependent functional;Holling-Tanner prey-predator system;Hopf bifurcation

2014-09-29.

張建強(qiáng)(1986-)，男，碩士研究生.主要研究方向：非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)與模擬控制.

O175.13

A

1672-8513(2015)04-0304-06