t-分布分位點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)算法

孟 健,白 鵬

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650221)

t-分布分位點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)算法

孟 健,白 鵬

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650221)

t-分布分位點(diǎn)；冪級(jí)數(shù)展開式；數(shù)學(xué)歸納法

眾所周知，t-分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)理論中占據(jù)著重要的地位.而在相關(guān)統(tǒng)計(jì)推論中，或多或少地要涉及到其分位點(diǎn)的計(jì)算.之前的分位點(diǎn)計(jì)算方法主要有積分的近似算法[1]，方程求根的迭代算法[1]，利用分布函數(shù)之間的關(guān)系[1]及矩陣算法[2]等.

由數(shù)學(xué)分析[3]知識(shí)可知，一般的函數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù)的形式.統(tǒng)計(jì)計(jì)算[1]中也提到可以用冪級(jí)數(shù)來計(jì)算分位點(diǎn)，但具體如何實(shí)現(xiàn)仍是一個(gè)問題.本文首次根據(jù)冪級(jí)數(shù)方法構(gòu)造了t-分布分位點(diǎn)的計(jì)算方法.記t-分布tγ的密度函數(shù)為

(1)

分布函數(shù)為

(2)

(3)

其中

(4)

1 主要結(jié)果

為了給出{ak,k=0,1,2,…}的遞推表達(dá)式，現(xiàn)給出以下引理.

引理1 若記

k=0,1,2,….

則三者之間遞推關(guān)系如下式

其中

證明：注意到

因此

(5)

而由(1)和(5)可得

因而

(6)

進(jìn)而，由(5)式知

(7)

對(duì)(5)，(6)和(7)兩邊分別求k階導(dǎo)數(shù)并求解可得

(8)

(9)

(10)

若記

(11)

則(8),(9)和(10)說明了

(12)

(13)

(14)

引理2 {ak,k=0,1,2,…}中的偶次項(xiàng)， {bk,k=0,1,2,…}和{ck,k=0,1,2,…}中的奇次項(xiàng)均為0.

證明：利用數(shù)學(xué)歸納法.

1) 計(jì)算可得a0=0,a2=0且b1=b3=0,c1=c3=0；

2) 假設(shè)當(dāng)n

綜上所述，可以證得{ak,k=0,1,2,…}中的偶次項(xiàng)，{bk,ck,k=0,1,2,…}的奇次項(xiàng)均為0.

2 算法仿真分析

下面給出當(dāng)γ=1,5,20,50，1 000 時(shí)的部分結(jié)果.

利用程序可以計(jì)算(0,1)上任意數(shù)的t-分布分位數(shù)，在此本文給出部分結(jié)果，并將結(jié)果與Matlab軟件[4]中自帶的t-分布分位點(diǎn)函數(shù)的結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較，給出計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)所需最小的n值.

由表1～5中的結(jié)果可以看出，通過增加n總可以計(jì)算出所要求的數(shù)值，因此本文給出的方法是合理的.同時(shí)能夠發(fā)現(xiàn)隨著x在區(qū)間(0,1)上接近1時(shí)，n值會(huì)急速增大.

表1 當(dāng)γ=1時(shí)用冪級(jí)數(shù)算法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)值所需最小項(xiàng)數(shù)

表2 當(dāng)γ=5時(shí)用冪級(jí)數(shù)算法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)值所需最小項(xiàng)數(shù)

續(xù)表

x標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算值nx標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算值n0.60.26720.267220.931.75291.7529260.650.40820.408220.941.87271.8727320.70.55940.559430.952.0152.015330.750.72670.726750.962.1912.191560.80.91950.919560.972.42162.4216660.851.15581.1558110.982.75652.7565950.91.49591.4959170.993.36493.3649188

表3 當(dāng)γ=20時(shí)用冪級(jí)數(shù)算法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)值所需最小項(xiàng)數(shù)

表4 當(dāng)γ=50時(shí)用冪級(jí)數(shù)算法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)值所需最小項(xiàng)數(shù)

表5 當(dāng)γ= 1 000 時(shí)用冪級(jí)數(shù)算法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)值所需最小項(xiàng)數(shù)

3 結(jié)論

其中B(a,b)為貝塔函數(shù)[1]：

由此可知，在實(shí)際運(yùn)算中可以取前n項(xiàng)之和

[1] 高惠璇.統(tǒng)計(jì)計(jì)算[M].北京:北京大學(xué)出版社，1995：72-75.

[2] 郭海兵,吳曉坤.正態(tài)分位點(diǎn)的矩陣算法淺析[J].長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，4(2)：69-73.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社，1981：134-141.

[4] ABRAMOWITZ M,STWUN I A.Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables [M].Washington DC: Government Printing Office,1964,Ch26.6.2.

(責(zé)任編輯 梁志茂)

An algorithm for the quantile oft-distribution with power series expansion

MENG Jian，BAI Peng

(School of Statistics and Mathematics,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming 650221,China)

t-distribution;power series expansion;mathematical induction

2014-06-18.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301463).

孟健(1988-)，男，碩士研究生.主要研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì).

白鵬(1968-)，男，博士，教授.主要研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì).

O

A

1672-8513(2015)01-0043-05