用空間向量法解決球的問題

黑龍江省鶴崗市第一中學 舒敬宇 高 昕

有關球的問題在歷年的高考中既是熱點，又是難點。從近幾年新課標高考的試題來看，對本部分知識的考查多為一道小題，注重考查學生的空間想象能力和邏輯思維能力。將空間向量法引入到立體幾何中，將其轉化為代數(shù)中解方程的問題，從而得到了解決此類問題的又一方法。

【例題】已知某個幾何體的三視圖如下圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），如果這個幾何體內接于一個球O1，那么這個球O1的半徑是____________cm。

【試題分析】本題是研究幾何體外接球問題，借助空間向量法，建立空間直角坐標系，根據(jù)球心到該幾何體每一個頂點的距離都相等，列方程，解方程，將立體幾何問題轉化為代數(shù)的問題。

解：根據(jù)三視圖還原出該幾何體的直觀圖，如（圖一）取BC的中點O為坐標原點,建立空間直角坐標系O-xyz，則

設球心O1(x,y,z)，球的半徑為R，則

【變式】將例題中的如果這個幾何體內接于一個球O1，變?yōu)檫@個幾何體內切球為球O2，那么這個球O2的半徑是___________cm。

【試題分析】本題是研究幾何體內切球問題，借助空間向量法，建立空間直角坐標系，根據(jù)球心到該幾何體每一個面的距離都相等，將立體幾何問題轉化為解方程的問題。

解：根據(jù)三視圖還原出該幾何體的直觀圖，如（圖一）取BC的中點O為坐標原點,建立空間直角坐標系O-xyz，則

設球心O2(x,y,z)，球的半徑為r，球心O2到平面ABP的距離為d1，到平面BCP的距離為d2，到平面CDP的距離為d3，到平面ADP的距離為d4，到底面ABCD的距離為d5，則d1=d2=d3=d4=d5=r。

設平面ABP的法向量

令y1=1，則z1=1,x1=0，

所以

同理可得

解得