基于APOS理論下的初中“函數(shù)”概念的教學(xué)設(shè)計

李璐華

【摘要】 筆者在本文中以北師大版八年級上冊第4章第1節(jié)《函數(shù)》一課為例，淺談在APOS視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計。

【關(guān)鍵詞】 APOS理論 初中 函數(shù)概念 教學(xué)設(shè)計

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）02-86-01

數(shù)學(xué)概念是形成數(shù)學(xué)知識體系、構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是進行判斷、推理的依據(jù)，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基本要素。數(shù)學(xué)課程標準在課程目標中指出，要讓學(xué)生獲得必要的基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)。但是目前，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，有兩種傾向：一是大多數(shù)教師習(xí)慣采用的概念同化教學(xué)方式，這種傳統(tǒng)的教學(xué)方式偏重概念的邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是靠教師直接或間接的代替而進行的塊體驗、抽象，容易造成一部分中等生和學(xué)困生對概念理解不深；二是進行大量“去數(shù)學(xué)化”的實驗探究，忽略了對思維的鍛煉，結(jié)果整節(jié)課下來，學(xué)生對概念的內(nèi)涵不能了解透徹。

1 教學(xué)背景

《函數(shù)》是2013北師大版8年級數(shù)學(xué)上冊第4章第1節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生七年級上冊學(xué)習(xí)了《用字母表示數(shù)》，體會了字母表示數(shù)的意義；在七年級下冊已學(xué)習(xí)了《變量之間的關(guān)系》，對變量間互相依存的關(guān)系有了一定的認識，為學(xué)習(xí)《函數(shù)》知識打下了一定的基礎(chǔ)。教材中從具體實際問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律中抽象出函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生分析了大量的實際問題，感受表示兩個變量之間關(guān)系的方式是多樣的，如列表法，圖像法，解析式法，但都有著共性：其中一個變量依賴于另一個變量。函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一個重要模型，對它的學(xué)習(xí)一直是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容讓學(xué)生初步體會函數(shù)的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時，函數(shù)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的思想方法，感受事物是相互聯(lián)系和規(guī)律的變化。

2 教學(xué)目標

知識與技能目標：初步掌握函數(shù)概念，能判斷兩個變量之間的關(guān)系是否可以看作函數(shù)；根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系式，給定其中一個變量的值相應(yīng)的會求出另一個變量的值；會對一個具體實例進行概括抽象成為函數(shù)問題。

3 教學(xué)重難點

教學(xué)重點：掌握函數(shù)概念，會判斷兩個變量之間的關(guān)系是否可以看作函數(shù)。

教學(xué)難點：理解函數(shù)的概念，能把實際問題抽象概括成函數(shù)問題。

4 APOS理論下的教學(xué)過程

4.1第1階段：活動階段（Action）

[活動1]問題1：游樂園中的摩天輪

（1）如果你坐在摩天輪上，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？

右上圖反映了旋轉(zhuǎn)時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關(guān)系。

（2）從圖象上，你能讀出哪些信息？

（3）對于給定的時間t，相應(yīng)的高度h確定嗎？

根據(jù)右上圖進行填表（如表1所示）：

首先由學(xué)生分組討論完成，然后相互交流。

4.2第2階段：過程階段（Process）

[活動2]探討：以上三個問題中的共同點是什么？不同點又是什么？

生：相同點是，這三個問題中都研究了兩個變量。不同點是，在第一個問題中，是以圖象的形式表示兩個變量之間的關(guān)系；第二個問題中是以表格的形式表示兩個變量間的關(guān)系；第三個問題是以關(guān)系式來表示兩個變量間的關(guān)系的。

4.3第3階段：對象階段（Object）

[活動3]歸納揭示函數(shù)的概念：

一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應(yīng)地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

歸納出函數(shù)概念后，留幾分鐘時間給學(xué)生消化理解概念，并提出自己不理解的地方，教師再提出：

（1）上面問題中的自變量和因變量是什么？

（2）你能舉出生活中是函數(shù)的例子嗎？

（3）你是怎樣理解“確定”這兩個字的含義的？

學(xué)生分組討論交流，教師點評總結(jié)：理解函數(shù)概念應(yīng)把握三點，一個變化過程；兩個變量；對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應(yīng)，即是一種對應(yīng)關(guān)系。判斷兩個量是否具有函數(shù)關(guān)系就以這三點為依據(jù)。

4.4第4階段：圖式階段（Scheme）

通過前三個階段，學(xué)生對函數(shù)的概念以及常用的三種表示方式有了一定的理解。本階段主要通過練習(xí)鞏固，讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的新概念，自主建立函數(shù)的心理圖式，對兩個變量之間的關(guān)系、函數(shù)的概念以及函數(shù)的三種表示法構(gòu)建出自己的“圖式網(wǎng)”；進而，讓學(xué)生知道本課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么，如何應(yīng)用來解決問題，這節(jié)課學(xué)到了什么知識。

5 APOS理論應(yīng)用于概念教學(xué)的幾點思考

5.1理解數(shù)學(xué)，于過程中生成概念

“函數(shù)”的概念在歷史上經(jīng)歷了二百多年、三次修正的過程，才歸納、總結(jié)、抽象、概括為現(xiàn)行初中課本中函數(shù)的概念，“函數(shù)”概念是初中數(shù)學(xué)最抽象、學(xué)生最難學(xué)的內(nèi)容。因此，北師大版教材的編者在編寫教材時，也從分考慮到讓學(xué)生參與函數(shù)概念形成的全過程，把傳授知識與培養(yǎng)能力兩個目標結(jié)合起來。

5.2理解學(xué)生，從過程中體驗概念

學(xué)生是學(xué)習(xí)過程的主體，“APOS理論”強調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個主動建構(gòu)的過程，每個學(xué)習(xí)者都以自己原有的認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)對新的信息進行編碼，構(gòu)建自己的理解；函數(shù)是學(xué)生進入初中以來第一次碰到的內(nèi)容，且概念本身具有高度的抽象性，學(xué)生理解和熟悉概念相當(dāng)?shù)睦щy。

5.3理解教學(xué)，在操作中建構(gòu)概念

學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的掌握不可能一蹴而就，而是一個從感知到掌握的循序漸進的過程。特別是“函數(shù)”這個貫穿于整個中學(xué)階段的核心概念，它的教學(xué)更應(yīng)該采用螺旋式的循序漸進的方式?！癆POS理論”揭示了概念形成的規(guī)律性和學(xué)生的認知規(guī)律。在這個教學(xué)設(shè)計中，通過幾個與函數(shù)相關(guān)的生活中的實例來歸納它們的共同本質(zhì)特征，符合學(xué)生的認知規(guī)律，能讓學(xué)生體會到函數(shù)來源于生活，又服務(wù)于生活。