矩陣方程Xα+A*X-βA=I的Hermite正定解

梁 麗，伍國興＊，陳 飛, 商紹強(qiáng)

(1 東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040;2 北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院，北京 100192)

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矩陣方程Xα+A*X-βA=I的Hermite正定解

梁 麗1，伍國興1＊，陳 飛2, 商紹強(qiáng)1

(1 東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040;2 北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院，北京 100192)

矩陣方程； 正定解； CS分解; Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理

考慮矩陣方程

Xα+A*X-βA=I,

(1)

其中A∈Cn×n，I是n×n階單位矩陣，A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，α、β均為正整數(shù)且β<α。近來，已經(jīng)有許多學(xué)者對(duì)形如(1)式形式的矩陣方程進(jìn)行了研究[1-7]。當(dāng)α=1，β=1或β=2時(shí)的方程是從控制理論[1-3]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[8]、隨機(jī)過濾[2]、統(tǒng)計(jì)學(xué)中推導(dǎo)出來的。本文將研究矩陣方程(1)正定解存在的充要條件，并利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理[5]求解。

1 引理

其中T=diag(γ1,γ2,…,γl)≥0,E=diag(σ1,σ2,…,σl)≥0,I為n-2l階單位陣。

引理2如果A≥B>0(或者A>B>0)，則當(dāng)δ∈(0,1]時(shí)，有Aδ≥Bδ>0(或者Aδ>Bδ>0)；當(dāng)δ∈[-1,0)時(shí)，有Bδ≥Aδ>0(或者Bδ>Aδ>0)。

2 矩陣方程Xα+A*X-βA=I正定解 存在的充要條件

(2)

將(2)式變形得

M*M+(M*)-β/αA(M*)-β/αA=I。

(3)

即

(4)

M*M+N*N=I。

(5)

根據(jù)分塊矩陣的乘法法則,將(5)式變形得

(6)

則M=U1CP，N=U2DP。由于M是Hermite正定陣，故C>0。令Q=PU2可知，Q為酉矩陣，C2+D2=I。

充分性。若存在酉矩陣P、Q和對(duì)角矩陣C>0,D>0，且C2+D2=I,CP=PC，使得

P-1=P*，(P-1)*=P。

P*C2P+P*D2P=I

3 利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理求解

證明令

(7)

故

(8)

即

(9)

(10)

即

(11)

將(11)式代入(9)式，可得

I-A*A≤I。

(12)

即

(13)

4 結(jié)語

本文應(yīng)用Hermite正定矩陣和酉矩陣，得到了矩陣方程Xα+A*X-βA=I存在正定解的兩個(gè)充分必要條件，然后利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理給出了該矩陣方程在一定條件下，在特定矩陣區(qū)間上有解的結(jié)論。但本文是基于α、β均為正整數(shù)且β<α?xí)r進(jìn)行的研究，故存在一定的局限性。今后，可對(duì)當(dāng)α、β為實(shí)數(shù)時(shí)進(jìn)行更為廣泛的研究。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

The Hermitian positive definite solution of the matrix equationXα+A*X-βA=I

LIANG Li1,WU Guoxing1*,CHEN Fei2, SHANG Shaoqiang1

(1 College of Science, Northeast Forestry University, Harbin 150040, Heilongjiang, China;2 College of Science, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192, China)

matrix equation; positive definite solution; the CS decomposition theorem; the Brouwer fixed point theorem

15A24

1672-4291(2015)03-0018-03

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.03.135

2014-10-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401084)

梁麗，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫仃嚪匠?。E-mail:576872780@qq.com

*通信作者：伍國興，男，教授。E-mail:wuguoxing2000@sina.com

O1151.21

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