關(guān)于k次補(bǔ)數(shù)的一個恒等式

李 揚(yáng)

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

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關(guān)于k次補(bǔ)數(shù)的一個恒等式

李 揚(yáng)

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

初等方法； 解析方法；k次補(bǔ)數(shù)； 恒等式

對于任意正整數(shù)n，定義ak(n)為n的k次補(bǔ)數(shù)，使得nak(n)成為完全k次冪數(shù)的最小正整數(shù)。例如a2(n)=2,a3(n)=4,a4(n)=8,ak(n)=2k-1,文獻(xiàn)[1]建議研究k次補(bǔ)數(shù)的性質(zhì)。許多學(xué)者進(jìn)行了研究[1-10]，得到了如下幾個恒等式：

定理1對于任意的復(fù)數(shù)s且滿足Re(s)≥1，當(dāng)正整數(shù)k>1時，有

1 引理及其證明

本節(jié)利用初等及解析方法給出定理的證明，為方便后續(xù)的證明，首先給出下面幾個引理。

引理1首先定義函數(shù)F(t)如下:

這里t、k均為正整數(shù)且k>1,1≤t≤k-1。而b2、b3、…、bk-t為兩兩互素的正整數(shù)，即

(b2,b3)=1, (b2b3,b4)=1,…,

(b2b3…bk-1,bk)=1,且b2、b3、…、bk-t均為無平方因子數(shù)，即p|bi且p2?bi(2≤i≤k-t,i∈N)。其中s為實(shí)部大于1的任意復(fù)數(shù),p為任意素數(shù)。μ(n)為M?bius函數(shù)，這里有

證明

實(shí)際上就是F(t+1),因此，得到如下結(jié)論：

引理2對于任意的復(fù)數(shù)s且滿足Re(s)≥1，其中k為正整數(shù)且k>1,則有恒等式：

證明在引理1中分別令t=1,t=2,t=3,…,t=k-3就可以得到以下等式：

?

將上述k-3個等式左右兩端相乘可得：

(1)

其中，F(xiàn)(k-2)還需要進(jìn)行計算。

將上面的級數(shù)變成級數(shù)的Euler乘積形式，可得

(2)

將(2)式代入(1)式可得

這樣,引理2得證。

2 定理的證明

應(yīng)用引理2，就可以得到

這樣，定理1得證。

[1]SmarandacheF.Onlyproblems,notsolutions[M].Chicago:XiquanPublishingHouse,1993.

[2]TomMApostol.Introductiontoanalyticnumbertheory[M].NewYork:Springer-Verlag,1976.

[3]SergioFalcon.Onk-Fibonacci sequences and polynomials and their derivatives[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,30:1005-1019.

[4] Zhang Wenpeng.Some identities involving the Fibonacci numbers and Lucas numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2004,42:149-154.

[5] Ma Rong,Zhang Wenpeng.Several identities involving the Fibonacci numbers and Lucas numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2007,5:164-171.

[6] 張文鵬，李海龍.初等數(shù)論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

[7] 潘承洞，潘承彪.解析數(shù)論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，1991.

[8] Ohtsuka H,Nakamura S.On the sum of the reciprocal of Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2009,46:153-159.

[9] Zhang W,Wang T.The infinite sum of the reciprocal of Pell numbers[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218:6164-6167.

[10] Zhang G.The infinite sum of the reciprocal of Pell nubmers[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,2011,31:1030-1034.

〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

An identity aboutk-th power complement

LI Yang

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, Shaanxi, China)

elementarymethod;analyticmethod; k-thpowercomplement;identity

11M06

1672-4291(2015)03-0010-03

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.03.133

2014-09-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371291)

李揚(yáng)，男，博士研究生，研究方向?yàn)榻馕鰯?shù)論。E-mail:ly13119143216@126.com

O177.1

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