馬氏轉(zhuǎn)移高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分過(guò)程的歐拉數(shù)值解及實(shí)證分析應(yīng)用*

鄒 立,尹居良

(暨南大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東 廣州 510632)

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馬氏轉(zhuǎn)移高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分過(guò)程的歐拉數(shù)值解及實(shí)證分析應(yīng)用*

鄒 立,尹居良

(暨南大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東 廣州 510632)

高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程是一類用途廣泛的金融數(shù)學(xué)模型。將馬氏轉(zhuǎn)移機(jī)制加入到該模型，研究帶馬氏轉(zhuǎn)移高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程的歐拉數(shù)值解及有關(guān)金融應(yīng)用問(wèn)題。首先證明該方程存在唯一的全局正解，其次證明方程的歐拉數(shù)值解依概率收斂于方程的真實(shí)解。最后應(yīng)用馬氏轉(zhuǎn)移高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程模型研究我國(guó)2007年1月到2014年2月7天上海同業(yè)拆借利率，利用極大似然法估計(jì)模型參數(shù)，假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果表明：相比于高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程模型，該馬氏轉(zhuǎn)移型模型擬合效果更佳。

馬氏轉(zhuǎn)移；高敏感均值回復(fù)過(guò)程 ；歐拉數(shù)值解；極大似然估計(jì)

在金融市場(chǎng)研究中，短期利率是最基本、最重要的經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)變量，常用隨機(jī)微分方程刻畫(huà)其動(dòng)態(tài)行為, 比如均值回復(fù)隨機(jī)微分方程(CKLS)，表示為

dX(t)=λ(μ-X(t))dt+σX(t)γdw(t)

(1)

其中λ,μ,σ,γ為正數(shù)。方程(1)包括許多著名的模型，比如幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型、Cox模型、CIR模型等，具體參考文獻(xiàn)[1-6]。

Chan等[7]和Noman[8]分別采用廣義矩估計(jì)方法和高斯估計(jì)方法基于模型(1)對(duì)美國(guó)國(guó)債債券數(shù)據(jù)進(jìn)行χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，結(jié)果都表明拒絕γ≤1而接受γ>1的短期利率模型是合理的。此外，Buffington-Elliott[9]和Yin-Zhou[10]研究結(jié)果表明方程(1)的平均回復(fù)速度λ和波動(dòng)水平σ并不是常數(shù)，而是一個(gè)馬氏轉(zhuǎn)移過(guò)程?；谝陨显?，本文研究具有馬氏轉(zhuǎn)移機(jī)制的高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為 RS CKLS)，表示如下

(2)

以上r(t)是一個(gè)右連續(xù)有限狀態(tài)的馬氏鏈過(guò)程。

如果γ>1，方程(1)的擴(kuò)散系數(shù)不滿足線性增長(zhǎng)條件。對(duì)此，吳付科[11]運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)方法證明了方程(1)全局正解的存在唯一性。方程(2)是方程(1)的推廣，并將用于刻畫(huà)短期動(dòng)態(tài)利率，本文首先證明方程(2)存在唯一的全局正解。其次，由于方程(2)在γ>1條件下通常沒(méi)有解析解，本文也將研究該方程的數(shù)值解以及性質(zhì)。

在模型(1)和(2)中，瞬時(shí)利率的動(dòng)態(tài)變化決定了整個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)模型的數(shù)學(xué)形式,但實(shí)際的金融市場(chǎng)上不存在瞬時(shí)利率，因而無(wú)法得到其觀察值，一般以短期利率來(lái)近似瞬時(shí)利率。金融市場(chǎng)上短期利率的品種很多，基于文獻(xiàn)[12]-[17]的研究結(jié)果，本文選擇我國(guó)7天上海同業(yè)拆借利率近似瞬時(shí)利率，并用極大似然方法估計(jì)上述模型的參數(shù)。

1 解的存在性和唯一性

(3)

(4)

本文假定w(t)和r(t)是兩個(gè)相互獨(dú)立的過(guò)程。

注意到如果γ>1,方程(2)的擴(kuò)散系數(shù)不滿足線性增長(zhǎng)條件，但滿足局部李普希茨條件。此外，方程(2)將用于刻畫(huà)短期動(dòng)態(tài)利率，需保證方程的解取正值。為此，論文將運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)方法證明方程(2)存在唯一的全局正解。

定理1 假設(shè)X(0)>0,γ>1,r(0)=i0∈S給定，如果λ(·),μ(·),σ(·)為正數(shù)，則方程(2)存在唯一的全局正解。

證明 顯然方程(2)的系數(shù)都滿足局部李普希茨條件。對(duì)于任意給定的X(0)>0,方程(2)存在唯一局部解X(t),即對(duì)于t∈[0,τe),X(t)滿足方程(2),τe為爆炸時(shí)間。為了證明X(t)是方程(2)的全局解，只要證明τe=∞幾乎處處成立。下面定義停時(shí)列

顯然有V(X)≥0,當(dāng)X→∞或X→0時(shí),有V(X)→∞。由伊藤公式，可得

對(duì)于任意t∈[0,T]，有

(5)

從而可得

(6)

2 歐拉數(shù)值解

由于方程(2)在γ>1條件下沒(méi)有解析解，本文通過(guò)歐拉離散方法構(gòu)造方程(2)的數(shù)值解，并證明方程數(shù)值解依概率收斂于真實(shí)解。

(7)

為方便起見(jiàn)，以下給出(7)的連續(xù)時(shí)間歐拉數(shù)值解,表示為

(8)

其中階梯函數(shù)

(9)

定理2 設(shè)X(t)是方程(2)的解,x(t)是方程(8)的解,則對(duì)于任意δ,ε>0,有

(10)

證明 定理證明分為四步。第一步：定義停時(shí)列τk，由(6)式知，

(11)

注意到γ>1，由局部的李普希茨條件，可知

進(jìn)而

(12)

對(duì)于任意s∈[0,t∧ρk]，有

由于Δ∈(0,1)，可知

(13)

由(12)式和(13)式可知

類似(5)式知，

(14)

第三步： 令θk=τk∧ρk,下證

(15)

對(duì)于任意t∈[0,T]，有

因此，對(duì)于任意t1∈[0,T]，可知

由(3)式和(4)式可得

(16)

類似(16)式，可導(dǎo)出

(17)

由(13)式和(17)式進(jìn)一步得到,

(18)

由局部的李普希茨條件，可知

進(jìn)而可得

類似(16)式，可導(dǎo)出

結(jié)合(18)式可進(jìn)一步得到

D(t)≤c11(k)Δ+o(Δ)+

(19)

由(16)式、(18)式和(19)式可知

由Gronwall不等式知(15)式成立。

結(jié)合(6)式、(14)式可得

固定上述k，再取充分小的Δ滿足

證明 對(duì)于任意t∈[0,T]，易知

進(jìn)而

由此推出

(20)

由Doob鞅不等式，可知

由Lyapunov不等式，可得

(21)

由(20)式、(21)式可知

(22)

結(jié)合(14)式可得

固定上面充分大的k，取充分小的Δ得到

由此可知

(23)

注意到，

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取和處理

本文選取7天上海銀行間同業(yè)拆借利率數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間為2007年1月到2014年2月，每年有250個(gè)樣本，共有1 788個(gè)樣本*數(shù)據(jù)來(lái)源于http:∥www.shibor.org/shibor/web/html/.。選擇7天上海銀行間同業(yè)拆借利率有兩個(gè)理由：一是7天同業(yè)拆借利率具有高敏感波動(dòng)水平；二是上海同業(yè)拆借利率處于市場(chǎng)最基準(zhǔn)的地位，直接受市場(chǎng)利率化的影響。

由于上海銀行間同業(yè)拆借利率的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是按單利錄入的，因此在應(yīng)用中應(yīng)將它轉(zhuǎn)換為等價(jià)連續(xù)復(fù)利的數(shù)值，轉(zhuǎn)換公式

其中Xc表示連續(xù)復(fù)利形式的利率。

3.2 RS CKLS模型的建立

首先對(duì)方程(2)進(jìn)行歐拉離散化處理，得到方程的離散形式

其中εt:i.i.d.～N(0,1),λ,μ,σ都依賴于馬氏轉(zhuǎn)移的狀態(tài)變量rt，Δ是時(shí)間間隔。

假設(shè)rt有兩個(gè)不同的狀態(tài)量1和2,為了便于解釋模型(2)，假定在每個(gè)狀態(tài)下的短期利率都服從條件正態(tài)分布。因此Xt條件分布為一個(gè)混合正態(tài)分布，表示如下

假設(shè)X1已知，Φt為到時(shí)間t為止的信息集，并且馬氏鏈rt在t=1時(shí)刻以穩(wěn)態(tài)概率開(kāi)始，即

由全概率公式，可得

本文利用極大似然法估計(jì)模型參數(shù)，對(duì)數(shù)似然函數(shù)可有如下形式：

3.3 模型檢驗(yàn)方法

在RS CKLS模型中，p和q是不可識(shí)別的參數(shù)，模型是否表現(xiàn)非線性需作進(jìn)一步檢驗(yàn)。本文主要采用兩種檢驗(yàn)方法：一種是檢驗(yàn)RS CKLS模型是否非線性的Hansen似然比檢驗(yàn)，另一種是檢驗(yàn)參數(shù)是否顯著的Wald檢驗(yàn)。

Hansen[21]表明在研究馬氏轉(zhuǎn)移模型時(shí)，由于引入不可識(shí)別的參數(shù)，傳統(tǒng)的似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)并不適用于該模型，此時(shí)似然比統(tǒng)計(jì)量的分布是漸近有偏于傳統(tǒng)的經(jīng)典分布，基于以上原因，本文考慮Hansen似然比檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)為：

H0:CKLS模型；H1:RS CKLS模型

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LR=L(q)-L(q0)～χ2(k)

其中L(q)表示RS CKLS模型在給定參數(shù)估計(jì)下的對(duì)數(shù)似然值，L(q0)表示CKLS模型在給定參數(shù)估計(jì)下的對(duì)數(shù)似然值，k為兩個(gè)模型參數(shù)個(gè)數(shù)之差。在原假設(shè)成立時(shí)，LR漸近服從自由度為k的卡方分布。

Wald檢驗(yàn)主要檢驗(yàn)RS CKLS模型的參數(shù)穩(wěn)定性。考慮以下四個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)，

Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為：

3.4 模型估計(jì)結(jié)果

表1給出了CKLS模型和RS CKLS模型的參數(shù)估計(jì)值。如表所示，兩種模型的波動(dòng)水平都呈現(xiàn)高敏感，LR的值大于在5%水平下的臨界值，故拒絕原假設(shè)。RS CKLS模型存在非線性，在不同的狀態(tài)中，該參數(shù)對(duì)應(yīng)各自均值回復(fù)過(guò)程也呈現(xiàn)不同的非對(duì)稱性。在Wald檢驗(yàn)中，用Hession矩陣近似求解，最后得到Z1,Z2,Z3,Z4分別為0.001 5,11.94,138.20, 993.11，表明參數(shù)估計(jì)量在5%水平下都顯著，佐證了RS CKLS模型設(shè)定的穩(wěn)健性。

表1 RS CKLS模型和CKLS模型參數(shù)估計(jì)

圖1和圖2分別表示兩種模型估計(jì)對(duì)比圖和絕對(duì)殘差圖，表2給出CKLS模型和RS CKLS模型擬合結(jié)果與原數(shù)據(jù)絕對(duì)誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由表所示，相比于用CKLS模型擬合7天上海同業(yè)拆借利率，RS CKLS模型擬合效果更佳。

圖1 兩種模型估計(jì)效果對(duì)比Fig.1 Compare the estimated effect of two models

圖2 兩種模型絕對(duì)誤差Fig.2 Absolute error of two models

模型均值標(biāo)準(zhǔn)差CKLS模型0.0062370.05193RSCKLS模型0.0048110.04793

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將馬氏轉(zhuǎn)移機(jī)制加入高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程模型，證明了馬氏轉(zhuǎn)移的高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程存在唯一的全局正解和歐拉數(shù)值解依概率收斂于方程的真實(shí)解。通過(guò)對(duì)7天上海同業(yè)拆借利率進(jìn)行建模、估計(jì)和結(jié)果比較，相比于高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程模型，馬氏轉(zhuǎn)移的高敏感均值回復(fù)隨機(jī)微分方程模型模擬效果更佳。本文提出的馬氏轉(zhuǎn)移模型為研究短期利率動(dòng)態(tài)變化，尤其是在高敏感波動(dòng)水平情形下利率動(dòng)態(tài)變化提供了新的依據(jù)。

[1] MERTON R C. The theory of rational option pricing [J]. Bell J Econ Manag Sci, 1973,4(1):141-183.

[2] COX J C. Notes on option pricing: constant elasticity of variance diffusion [R]. Stanford University,1975.

[3] VASICEK O. An equilibrium characterization of the terms structure [J]. J Fina Econom, 1977, 5(2):177-188.

[4] DOTHAN U L. On the term structure of interest rates [J]. J Fina Econom, 1978, 6(1): 59-69.

[5] BRENNAN M J, SCHWARTZ E S. Analyzing convertible bonds [J]. J Financ Quant Anal,1980,15(04):907-929.

[6] COX J C, INGERSOLL Jr J E, ROSS S A. An analysis of variable rate loan contracts [J]. J Finance, 1980,35(2):389-403.

[7] CHEN K C, KAROLY G A, LONGSTAFF F A, et al. An empirical comparison of alternative models of short-term interest rate [J]. J Finance, 1992 ,47(3): 1209-1227.

[8] NOWMAN K B. Gaussian Estimation of single-factor continuous time models of the term structure of interest rates [J]. J Finance, 1997, 52 (4): 1695-1706.

[9] BUFFINGTON J, ELLIOTT R J. American options with regime switching [J]. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2002, 5(5):497-514.

[10] YIN G G, ZHOU X Y. Markowitzs mean-variance portfolio selection with regime switching: from discrete-time models to their continuous time limits [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004 ,49 :349-360.

[11] WU F, MAO X, CHEN K. A highly sensitive mean-reverting process in finance and Euler-Maruyama approximations [J].J Math Anal Appl, 2008, 348:540-554.

[12] 劉金全，鄧挺國(guó). 利率期限結(jié)構(gòu)的馬爾科夫區(qū)制轉(zhuǎn)移模型與實(shí)證分析[J].經(jīng)濟(jì)研究，2006,11:82-91.

[13] 馬曉蘭，潘冠中. 單因子利率期限結(jié)構(gòu)模型的廣義矩估計(jì)及對(duì)中國(guó)貨幣市場(chǎng)實(shí)證檢驗(yàn)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究, 2006,1:107-116.

[14] 劉金全，張文剛. 利率結(jié)構(gòu)模型與應(yīng)用[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué),2006.

[15] 潘冠中，邵斌. 單因子利率模型的極大似然估計(jì)-對(duì)中國(guó)利率的實(shí)證分析[J].財(cái)經(jīng)研究, 2004,30(10): 62-69.

[16] 汪波. Shibor與貨幣市場(chǎng)利率體系的關(guān)系初探[J].中國(guó)貨幣市場(chǎng), 2008,7: 46-50.

[17] 郭建偉. Shibor與利率市場(chǎng)化[J].中國(guó)貨幣市場(chǎng),2007,7:5-11.

[18] YUAN C, MAO X. Convergence of the Euler-Maruyama method for stochastic differential equations with Markovian switching [J].Math Comput Simulat, 2004,64:223-232.

[19] BADURALIYA C H, MAO X. The Euler-Maruyama approximation for the assert price in the mean-reverting-theta stochastic volatility model [J].Comput Math Appl, 2012, 64:2209-2223.

[20] MAO X, YUAN C. Stochastic differential equations with Markovian switching [M]. London: Imperial College Press, 2006.

[21] HANSEN B E. The likelihood ratio test under nonstandrad condition: testing the Markov switching model of GNP [J].Journal of Applied Econometris,1992(7):61-82.

Euler-Maruyama Numerical Solutions of Highly Sensitive Mean-Reverting Stochastic Differential Equations with Markovian Switching and Applications in Finance

ZOULi,YINJuliang

(School of Statistics,Jinan University ,Guangzhou 510632, China)

A highly sensitive mean-reverting stochastic differential equation is a kind of widely used financial model. A Markovian switching mechanism is added into this model, and resulting in general financial model (RS CKLS for short). The purpose is to study the Euler numerical solution of RS CKLS and apply RS CKLS to study financial issues. Firstly, it is proved that there exists a unique positive global solution for a RS CKLS under appropriate conditions. Then it is shown that the Euler numerical solution of a RS CKLS converges to its real solution in the sense of probability. Finally a RS CKLS is applied to conduct empirical analysis of 7-day Shanghai interbank offered rates. Maximum likelihood method is used to estimate model parameters, and hypothesis test results show that the RS CKLS has a better performance in fitting 7-day Shanghai interbank offered rates compared with a CKLS.

Markovian switching; highly sensitive and mean-reverting stochastic process; Euler numerical solution; maximum likelihood estimation

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.03.011

2014-11-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61174212)

鄒立(1988生)，男；研究方向：隨機(jī)微分方程;E-mail:zoulilizhixx@126.com

O211.63

A

0529-6579(2015)03-0060-09