亞純函數(shù)差分算子與分擔(dān)值*

曾翠萍

(廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521)

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亞純函數(shù)差分算子與分擔(dān)值*

曾翠萍

(廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521)

研究了涉及差分算子分擔(dān)值的亞純函數(shù)唯一性問題。證明了亞純函數(shù)族中兩個(gè)一般形式的差分算子分擔(dān)一個(gè)值的唯一性定理。

亞純函數(shù)；分擔(dān)值；差分算子；唯一性

(1)

其中k為正整數(shù)，mi(i=1,2,…,k)為復(fù)數(shù)，ci(i=1,2,…,k)為互異的有窮復(fù)數(shù)。顯然，平移及一階差分、n階差分均為(1)的特殊形式。

1994年，儀洪勛[2]證明了下面兩個(gè)定理:

定理B[2]設(shè)f和g為兩個(gè)整函數(shù)，滿足f(k)和g(k)CM分擔(dān)1，如果

其中0<λ<1,T(r)=max{T(r,f),T(r,g)}，則f(k)g(k)≡1或f≡g。

定理C[2]設(shè)f和g為兩個(gè)亞純函數(shù)，滿足f(k)和g(k)CM分擔(dān)1，f和gCM分擔(dān)∞。若

其中0<λ<1,T(r)=max{T(r,f),T(r,g)}，則f(k)g(k)≡1或f≡g。

2006年， Halburd和Korhonen[3-4]建立了一系列關(guān)于亞純函數(shù)差分算子的對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理和Navanlinna定理。這使得原來涉及導(dǎo)數(shù)分擔(dān)值的唯一性問題相應(yīng)地可以轉(zhuǎn)化為涉及差分分擔(dān)值問題。近年來也涌現(xiàn)了一批相關(guān)的結(jié)果[5-8]。很自然地，我們會(huì)問：若將定理B和定理C中k階導(dǎo)數(shù)分擔(dān)值換成k階差分分擔(dān)值，結(jié)論是否仍然成立？我們證明了更一般的結(jié)論。

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)f和g為兩個(gè)有窮級(jí)亞純函數(shù)，F(xiàn)f和Fg分別是f和g的非常數(shù)差分算子。如果Ff和FgCM分擔(dān)1，f和gCM分擔(dān)∞，且

其中0<λ<1,T(r)=max{T(r,f),T(r,g)}，則FfFg≡1或Ff≡Fg。

作為定理1的特殊情形，我們得到以下三個(gè)推論。

推論1 設(shè)f和g為兩個(gè)有窮級(jí)整函數(shù)。如果f和g的非常數(shù)差分算子Ff和FgCM分擔(dān)1，且

其中0<λ<1,T(r)=max{T(r,f),T(r,g)}，則FfFg≡1或Ff≡Fg。

例1 設(shè)f(z)=2z+3,g(z)=3z+2,c=1。則

例2 設(shè)f(z)=ez+2z,g(z)=e2z+z,c=2πi。則

從上述兩例容易看出Ff和Fg均為常數(shù)，且滿足Ff和FgCM分擔(dān)1，但FfFg≡1和Ff≡Fg均不成立。此例說明定理1中“Ff和Fg是f和g的非常數(shù)差分算子”這一條件是必需的。

2 若干引理

為了證明定理1，我們需要下列引理。

引理 1[9]設(shè)f(z)是有窮級(jí)亞純函數(shù)，c是非零復(fù)數(shù)，則

引理2 設(shè)f和g為兩個(gè)有窮級(jí)亞純函數(shù)。如果兩個(gè)非常數(shù)差分算子Ff和FgCM分擔(dān)1，則下面的(i)式或(ii)式必有一個(gè)成立。

其中a(≠0),b是復(fù)數(shù)，S(r)=max{S(r,f),S(r,g)}。

證明 設(shè)

(2)

下面分兩種情況討論。

情況2φ(z)?0。如果z0是Ff-1和Fg-1的公共簡單零點(diǎn)，則將它們在z0處的泰勒展式代入(2)式，經(jīng)計(jì)算知z0是φ(z)的零點(diǎn)。于是，結(jié)合引理1的結(jié)論有

(3)

又由于Ff和FgCM分擔(dān)1，從(2)式可知φ(z)的極點(diǎn)只可能產(chǎn)生在f和g的極點(diǎn)或Ff′和Fg′的零點(diǎn)中。因此有

(4)

由第二基本定理，有

(5)

注意到

(6)

結(jié)合(3)-(6)式，有

故(i)式成立。引理2證畢。

3 定理的證明

根據(jù)定理1的條件，由引理2可知其中(i)式和(ii)式必有一個(gè)成立。下面分兩種情形討論。

情況1 引理2中的(i)式成立。由引理1有

又

結(jié)合上述兩式，有

(7)

(8)

由引理2的(i)式并結(jié)合(7)式和(8)式得

從而有

再結(jié)合f和gCM分擔(dān)∞，得

(9)

(10)

由(9)式和(10)式有

(5k-1)N(r,f)+S(r)

結(jié)合定理1的條件有T(r)≤(λ+ο(1))T(r)，矛盾。

情況2 引理2中的(ii)式成立。顯然

(11)

引理2中的(ii)式可改寫為

(12)

其中a(≠0),b是復(fù)數(shù)。下面再分三種情況討論：

①b≠0,-1。

如果a-b-1≠0，那么由(12)式有

(13)

由第二基本定理及(7)、(8)和(13)式，得

(14)

結(jié)合f和gCM分擔(dān)∞，有

(15)

另一方面，在(14)式的推算中交換(7)、(8)兩式的運(yùn)用，再結(jié)合(11)式可得

(16)

由(15)、(16)式并結(jié)合定理1的條件有T(r)≤(λ+ο(1))T(r)，矛盾。

和

同理，由定理1的條件可得T(r)≤(λ+ο(1))T(r)，也矛盾。

②b=-1。

則(12)式改寫為

(17)

和

如果a+1=0，則由(17)式可得FfFg≡1。 ③b=0。

(12)式改寫為

(18)

如果a-1=0，則由(18)式有Ff≡Fg。

定理1證畢。

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Difference Operators of Meromorphic Functions and Shared Values

ZENGCuiping

(Department of Mathematics, Guangdong University of Finance, Guangzhou 510521, China)

The problems of uniqueness concerning difference operators are studied. And some results on two general difference operators of meromorphic functions shared a value are obtained.

meromorphic function; shared value; difference operators; uniqueness

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.03.010

2014-12-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271090，11271378)；廣東省高校創(chuàng)新強(qiáng)校工程自主創(chuàng)新能力提升類培育資助項(xiàng)目

曾翠萍(1972年生)，女；研究方向：復(fù)分析；E-mail:ytxzcp@163.com

O174.52

A

0529-6579(2015)03-0056-04