自反代數(shù)上的中心化子

馬 飛，楊 軍

（1咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽712000；2陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

自反代數(shù)上的中心化子

馬 飛1，2，楊 軍1

（1咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽712000；2陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

基于Banach空間X滿足X＿≠X的子空間格L，討論了L上的自反代數(shù)AlgL上的中心化子。設(shè)Φ為AlgL上的一個可加映射，運用自反代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)和代數(shù)分解，證明了若存在正整數(shù)m、n、r≥1，使得?A∈AlgL，有（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）或Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An成立，則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，滿足?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。進一步，得到了自反代數(shù)AlgL上的中心化子的一些等價形式。

可加映射；中心化子；自反代數(shù)

設(shè)A是一個環(huán)或代數(shù)。給定一個正整數(shù)n≥2，如果對任意的A∈A，nA＝0蘊涵A＝0，則稱A是n－非撓的。設(shè)φ：A→A是一可加（線性）映射，若?A、B∈A，有φ（AB）＝φ（A）B（φ（AB）＝Aφ（B））成立，則稱φ是一個左（右）中心化子；若?A∈A，有φ（A2）＝φ（A）A（φ（A2）＝Aφ（A））成立，則稱φ是一個左（右）Jordan中心化子。若φ既是左中心化子又是右中心化子，則稱φ是中心化子；特別地，若φ（A）A＝Aφ（A），則稱映射φ是可交換的。若A含有單位元，則φ是一個左（右）中心化子的充要條件是存在λ∈A，使得φ（A）＝λA（φ（A）＝Aλ）。

關(guān)于映射在哪些條件下是中心化子一直是國內(nèi)外學(xué)者們研究的熱點問題。如文獻［1］研究了2－非撓自由半素環(huán)A上的可加映射φ，得到如果?A∈A有2φ（A2）＝φ（A）A+Aφ（A），那么φ是中心化子；文獻［2］證明了2－非撓的半素環(huán)上的任意左（右）Jordan中心化子是左（右）中心化子；文獻［3］證明了2－非撓的素環(huán)上的可加映射φ，如果滿足?A∈R，n≥2都有φ（An）＝φ（A）An－1，那么φ是左中心化子；文獻［4］推廣了文獻［3］的結(jié)論，證明了在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)A上，若可加映射φ滿足φ（Am+n+1）＝Amφ（A）An（其中m、n為正整數(shù)），則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得?A∈A，有φ（A）＝λA；文獻［5］對一般環(huán)上的可加映射進行了研究，證明了如果可加映射φ對任意A、B∈R滿足AB＝P，有Aφ（B）＝φ（A）B＝φ（P），則φ是中心化子；文獻［6］將文獻［4］的結(jié)果推廣到了非自伴算子代數(shù)上，證明了在套代數(shù)上，若可加映射φ滿足（m+n）φ（Ar+1）＝mφ（A）Ar+nArφ（A）（也稱為廣義Jordan中心化子）或φ（Am+n+1）＝Amφ（A）An，則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得?A∈A，有φ（A）＝λA；文獻［7－8］得到了類似結(jié)果。

設(shè)X是一個實數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的Banach空間，L是X上的一族閉子空間，A?B（X）。定義

則稱AlgL為對應(yīng)于L的子空間格代數(shù)，稱Lat A為對應(yīng)于A的子空間格。顯然AlgL是含單位元的弱閉算子代數(shù)，并且Lat A是完備的子空間格。特別地，如果A＝Alg Lat A，那么稱A是自反算子代數(shù)；相應(yīng)地，如果L＝Lat AlgL，那么稱L是自反子空間格。容易證明，AlgL是自反的，因此自反算子代數(shù)等價于子空間格代數(shù)。文獻［9－15］對自反代數(shù)進行了較為系統(tǒng)的研究，分別探討了自反代數(shù)上的一秩算子、緊算子及導(dǎo)子等。

設(shè)H是Hilbert空間，T∈B（H）。如果T和單位算子生成的弱閉代數(shù)是自反的，則稱T是自反的。顯然，T必有非平凡的不變子空間。這說明自反算子代數(shù)與著名的尚未解決的不變子空間問題有極為密切的聯(lián)系。

在Hilbert空間上，自伴的自反算子代數(shù)是von Neumann代數(shù)；反之，任意von Neumann代數(shù)都是自反的。這類代數(shù)的理論已經(jīng)比較成熟，而非自伴算子代數(shù)的研究卻進展緩慢，其主要原因就是由于其不變子空間格結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。

一般地，設(shè)X是Banach空間，對于非零元素x∈X，f∈X＊，一秩算子x?f定義為

（x?f）（y）＝f（y）x，?y∈X。

下面的命題給出了自反算子代數(shù)中一秩算子的一個重要特征。它首先由文獻［10］在Hilbert空間中給予證明，但是它在Banach空間中同樣成立。為了命題的完整性，這里給出它的證明。

命題1 設(shè)L是Banach空間X上的子空間格，則一秩算子x?f∈AlgL的充要條件是存在L∈L使得x∈L且f∈L。

證明 充分性。設(shè)存在L∈L，使得x∈L，f∈L＿⊥。?M∈L，如果L?M，那么（x?f）（M）?L?M；若LM，則M?L＿。其中L＿＝∨｛M：LM｝。所以，f∈L?M⊥。（x?f）（M）＝｛0｝?M，即對于任意的M，有（x?f）（M）?M。因此，

x?f∈AlgL。

必要性。設(shè)x?f∈AlgL，L＝∧｛M∈L：x∈M｝，則x∈L。下證f∈L。

因而有

本文研究自反代數(shù)上的中心化子。不失一般性，假設(shè)所有代數(shù)和向量空間都作用在實或復(fù)數(shù)域F上。對于Banach空間X，用X＊表示X的對偶空間，X＊＊表示X的二次對偶空間，I表示X上的恒等算子，并且自反代數(shù)AlgX是m、n及m+n－非撓的。

1 滿足（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+ nArΦ（A）的可加映射

本節(jié)討論自反代數(shù)上滿足（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）的可加映射的刻畫，對此，有以下定理。

定理1 設(shè)L是Banach空間X上的子空間格，并且滿足X－≠X，若可加映射Φ：AlgL→AlgL滿足?m、n、r≥1和A∈AlgL，有

則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

先看當(dāng)（1）式中r＝1時的情形。若可加映射Φ：AlgL→AlgL滿足?A∈AlgL，則有

為此，有以下結(jié)論：

定理2 設(shè)L是Banach空間X上的子空間格，并且滿足X－≠X，若可加映射Φ：AlgL→AlgL滿足?m、n≥1和A∈AlgL，有

則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

證明 ?A、B∈AlgL，在（2）式中用A+B代替A可得

在（3）式中取B＝I，可得

且Φ滿足（2）式知，對任意冪等元e代替A可得

上式兩邊分別左乘和右乘e，有

則?y∈Ker（f），有

那么，Φ（x?f）（Ker（f））＝0。

在Banach空間X中再取0≠z∈X，使f（z）＝1，則?λ∈F，由f（λz）＝λf（z）＝λ，因而Banach空間X可分解為X＝Ker（f）+Fz。

另外，由于dimX⊥－＝1，則?A∈AlgL，存在φ（A）∈F，使得A＊f＝Φ（A）f。因而，

從而AlgL可分解為

AlgL＝e1AlgLe1⊕e1AlgLe2⊕e2AlgLe2。

類似文獻［7］的證明可得，存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。即結(jié)論成立。

下面證明當(dāng)dimX⊥－＞1時，結(jié)論仍然成立。

定義可加映射Φf：X→X，使得?x∈X有

Φf（x）＝Φ（x?f）（z）。

?λ∈F，f∈X⊥－，由于

?0≠f1、f2∈，分類討論。

當(dāng)f1、f2線性無關(guān)時，因Ker（f1）Ker（f2），Ker（f2）Ker（f1），則存在x1、x2∈X使得

則由Φf（x?f）＝Φ（x?f）可知，?x∈X，有

因而，對于xi，i＝1，2，有

那么?x∈X，有Φf1（X）＝Φf2（X），因而Φf1＝Φf2。

當(dāng)f1、f2線性相關(guān)時，由于dim＞1，則存在f′∈，使得f′與f1、f2線性無關(guān)，則由前面的結(jié)論可知，Φf′＝Φf1，Φf′＝Φf2。從而Φf1＝Φf2。

令e1＝x?f，e2＝I－e1，則由上式可知：Φ（Ae1）＝Φ（Ae1）e1，并且Φ（Ae2）＝Φ（Ae2）e2。上式兩邊乘以e1，并且注意到e1e2＝e2e1＝0，可得

Φ（Ae2）e1＝Φ（Ae2）e2e1＝0。

因而，?A∈AlgL，有

Φ（A）e1＝Φ（A（e1+e2））e1＝Φ（Ae1）e1。

又因為?A∈AlgL，有

因而?x∈X，有Φ（A）x＝Φ0Ax。從而

Φ（A）＝Φ0A。

于是?A、B∈AlgL，

Φ（AB）＝Φ0AB＝（Φ0A）B＝Φ（A）B。

那么Φ（A）＝Φ（I）A。又由（4）式可知，

Φ（A）＝Φ（I）A＝AΦ（I）。

因而，有Φ（I）∈FI。令λ＝Φ（I），則?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

定理1的證明 在（1）式中用A+tI代替A（t為數(shù)域F中的任意正整數(shù)），注意到Φ（tA）＝tΦ（A），根據(jù)等式兩邊t的同次項的系數(shù)相等可得

和

由（6）式可知，?A∈AlgL，有

在（8）式中用A2代替A，得

將（9）式代入（7）式，化簡得

因而Φ滿足（2）式。由定理2知，存在λ∈F，使得?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。證畢。

2 滿足Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An的可加映射

文獻［4］研究了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上滿足φ（Am+n+1）＝Amφ（A）An的可加映射，受此啟發(fā)，考慮在自反代數(shù)AlgL上是否滿足，并得到了以下結(jié)論。

定理3 設(shè)L是Banach空間X上的子空間格，并且滿足X－≠X，若可加映射Φ：AlgL→AlgL滿足對于任意的m、n≥1和A∈AlgL，有

則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得?A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

證明 在（10）式中用A+tI代替A（其中t為數(shù)域F中的任意數(shù)），由Φ的可加性得

由t的任意性可知，對任意t的i次方，（11）式都成立。特別地，當(dāng)t的次方為m+n－1時，由等式兩邊系數(shù)相等可得

當(dāng)t的次方為m+n時，由等式兩邊系數(shù)相等可得

給（12）式兩邊左乘和右乘A可得

上兩式相加得

在（13）式中用A2代替A，得

比較上兩式可知：

化簡可得

將（16）式代入（14）式與（15）式可得

將AΦ（I）A、A2Φ（I）及Φ（I）A2代入（12）式，從而得到一個關(guān)于AΦ（A）、Φ（A）A及Φ（A2）的等式：

化簡得（m+n）Φ（A2）＝mAΦ（A）+nΦ（A）A。故Φ滿足（2）式。由定理2知，存在λ∈F使得?A∈T，有Φ（A）＝λA。

通過定理1和定理3的證明過程及結(jié)論，易有下面的推論。

推論1 設(shè)L是Banach空間X上的子空間格，并且滿足X－≠X，若可加映射，Φ：AlgL→AlgL是一可加映射，則下面的幾個條件等價：

（1）存在λ∈F，使得?A∈A，有Φ（A）＝λA；

（2）存在正整數(shù)m、n、r≥1，使得?A∈A，有（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）；

（3）對任意的正整數(shù)m、n、r≥1和?A∈A，有（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）；

（4）存在正整數(shù)m、n≥1，使得?A∈A，有Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An；

（5）對任意的正整數(shù)m、n≥1和?A∈A，有Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An；

（6）Φ：A→A是中心化子。

3 結(jié)語

本文主要研究了自反代數(shù)AlgL上滿足（m+ n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）和Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An（其中m、n、r≥1為正整數(shù)）的可加映射φ均是AlgL上的中心化子。由于中心化子在算子代數(shù)的保持問題研究中具有非常重要的作用，所以這兩類保持映射的結(jié)果對認(rèn)識非自伴算子代數(shù)，乃至自伴算子代數(shù)的結(jié)構(gòu)均具有重要的理論意義。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

Centralizers on reflexive algebras

MA Fei1，2，YANG Jun1
（1College of Mathematics and Information Science，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，Shaanxi，China；2School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

Based on a lattice Lof a Banach space X with X＿≠X，the centralizers on the reflexive algebras AlgLare discussed.LetΦ：AlgL→AlgL be an additive mapping and using the structural properties and algebraic decomposition on the reflexive algebra，it is proved that if there are some positive integer numbers m，n，r≥1，such that?A∈A，（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）or Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An，then there exists someλ∈F，which satisfies?A∈AlgL，Φ（A）＝λA.In addition，some equivalent forms of centralizer on the reflexive algebras Alg Lare obtained.

additive map；centralizers；reflexive algebras

47B49

O177.2

：A

1672－4291（2015）05－0009－05

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.153

2014－12－23

教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20110202110002）；陜西省教育廳研究計劃（2010JK890）；咸陽師范專項科研基金（14XSYK003）

馬飛，男，講師，博士，研究方向為算子代數(shù)與算子理論。E－mail：mafei6337＠sina.com