三種平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法及其精度分析

馬生龍 申成鋒 張世貝

(青海省有色地勘局地質(zhì)礦產(chǎn)勘查院，青海 西寧 810007)

·測量·

三種平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法及其精度分析

馬生龍 申成鋒 張世貝

(青海省有色地勘局地質(zhì)礦產(chǎn)勘查院，青海 西寧 810007)

以青海省海西州某縣礦業(yè)權(quán)核查數(shù)據(jù)為例，采用四參數(shù)模型、六參數(shù)模型和二次多項(xiàng)式擬合進(jìn)行平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在地形起伏較大地區(qū)對比分析了不同公共點(diǎn)密度和分布情況下不同模型的轉(zhuǎn)換精度，歸納總結(jié)出三種模型的特性，為實(shí)際的工程應(yīng)用提供參考。

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換模型，公共點(diǎn)選取，轉(zhuǎn)換精度

0 引言

目前，我國采用的坐標(biāo)系主要有1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、2000國家大地坐標(biāo)系(CGCS2000)以及各種地方獨(dú)立坐標(biāo)系。在實(shí)際工程應(yīng)用中，不同坐標(biāo)系下的成果常常需要進(jìn)行統(tǒng)一，從而涉及到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題。自20世紀(jì)60年代以來,各國大地測量學(xué)者經(jīng)過大量研究，提出了多種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型及多種解算方法。從坐標(biāo)系間的關(guān)系出發(fā)，提出了相似變換模型，如三參數(shù)[1]、四參數(shù)[2]、七參數(shù)模型等，通過數(shù)值逼近，提出了多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換模型[3]、格網(wǎng)插值法[4]等，之后又提出相似變換結(jié)合回歸逼近、相似變換結(jié)合插值法、基于總體最小二乘[5]和基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。

常用的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法有四參數(shù)模型、六參數(shù)模型和二次多項(xiàng)式擬合等，這些模型對于不同工程項(xiàng)目的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換各有優(yōu)缺點(diǎn)，為了更好地分析各模型的特點(diǎn)和適用性，本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，以青海省海西州某縣礦業(yè)權(quán)核查中12個公共點(diǎn)(均包含1954北京坐標(biāo)系和1980西安坐標(biāo)系)為例，進(jìn)一步分析地形起伏較大地區(qū)公共點(diǎn)密度及分布情況對三種模型轉(zhuǎn)換精度的影響。

1 模型及其參數(shù)求解

1.1 四參數(shù)模型

四參數(shù)模型[2]是一種相似變換，其計(jì)算公式為:

(1)

其中，Δx，Δy，θ，m分別為平面上的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)。當(dāng)有兩個以上轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)時，將此模型轉(zhuǎn)換為線性模型用最小二乘求解：

(2)

1.2 六參數(shù)模型

六參數(shù)模型[7]是一種仿射變換，在任意兩個平面坐標(biāo)間的六參數(shù)仿射變換，可以用如下公式：

(3)

其中，Δx，Δy均為平移參數(shù)；α，β均為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；λx，λy均為比例因子。顯然，要求解六個轉(zhuǎn)換參數(shù)，至少需要三個公共點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)有三個以上轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)時，可用最小二乘求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。根據(jù)a0，a1，a2，b0，b1，b2可以計(jì)算出六個轉(zhuǎn)換參數(shù)：Δx，Δy平移參數(shù)，α，β旋轉(zhuǎn)參數(shù)，λx，λy尺度因子。

1.3 二次多項(xiàng)式擬合

二次多項(xiàng)式擬合[3]是多項(xiàng)式變換中的一種，其計(jì)算公式如下：

(4)

其中，a0，a1，a2，a3，a4，a5，b0，b1，b2，b3，b4，b5均為轉(zhuǎn)換參數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)個數(shù)多于6個時，可以通過最小二乘法結(jié)合線性回歸原理求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。

2 算例分析

相比于文獻(xiàn)[7]選取的小范圍平坦地區(qū)的研究區(qū)域，本文采用青海省海西州某縣較大范圍的礦業(yè)權(quán)核查坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，面積約780 km2(圖1白色線范圍)，公共點(diǎn)之間的最大距離(J2和J6)約40 km，區(qū)域內(nèi)有12個公共點(diǎn)。從圖1中可以看出，區(qū)域內(nèi)地形起伏較大，平均海拔約為3 600 m，公共點(diǎn)高差最大約1 000 m(最高點(diǎn)J4和最低點(diǎn)J8)，且公共點(diǎn)的分布不均勻。

由于二次多項(xiàng)式擬合需要至少6個公共點(diǎn)才能求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，因此，為了研究公共點(diǎn)密度和分布對轉(zhuǎn)換精度的影響，本文給出了四種組合方案用于求解不同模型的轉(zhuǎn)換參數(shù)(見表1)，其余點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換的精度，采用最大絕對偏差、坐標(biāo)分量中誤差及點(diǎn)位中誤差進(jìn)行精度評定，其計(jì)算方法如下：

當(dāng)計(jì)算內(nèi)符合精度時，n為轉(zhuǎn)換點(diǎn)個數(shù)；計(jì)算外符合精度時，n為檢驗(yàn)點(diǎn)個數(shù)。

表1 四種組合方案所包含的公共點(diǎn)

表2 不同模型采用不同組合方案的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度統(tǒng)計(jì)

從表2中最大絕對偏差可以看出，總體上增加轉(zhuǎn)換點(diǎn)的個數(shù)可以提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度，特別是將J8號(區(qū)域內(nèi)最低點(diǎn))點(diǎn)用于求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時，三種模型的最大絕對偏差均有了明顯的減小，減小最為明顯(達(dá)到17.2 mm)的為二次多項(xiàng)式擬合。由于四參數(shù)模型和六參數(shù)模型未顧及控制網(wǎng)的局部變形，將J8號點(diǎn)納入轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解時其精度變化不是很明顯，而六參數(shù)模型由于采用了兩個尺度因子，其精度略高于四參數(shù)模型。比較組合1和組合2可以看出，當(dāng)選取區(qū)域邊界上的公共點(diǎn)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時，增加區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)換點(diǎn)個數(shù)對于四參數(shù)和六參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度幾乎沒有改善，而二次多項(xiàng)式擬合的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度則有明顯的提高。比較組合3和組合4兩種方案可以看出，增加轉(zhuǎn)換點(diǎn)的個數(shù)不僅沒有提高三種模型的轉(zhuǎn)換精度，其最大絕對偏差反而變大。從最大絕對偏差以及內(nèi)外符合精度相當(dāng)?shù)慕嵌染C合來看，二次多項(xiàng)式擬合采用組合3方案獲得的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果最佳。

3 結(jié)語

本文在地形起伏較大地區(qū)利用三種平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，結(jié)果表明：1)將區(qū)域內(nèi)海拔較高和較低的公共點(diǎn)用于求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)時，二次多項(xiàng)式擬合由于顧及控制網(wǎng)的局部變形，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度有了明顯的提高，而四參數(shù)模型和六參數(shù)模型未顧及控制網(wǎng)的局部變形，二者的轉(zhuǎn)換精度沒有明顯改善；2)當(dāng)用于求 解轉(zhuǎn)換參數(shù)的公共點(diǎn)的數(shù)量和分布到達(dá)一定程度時，增加公共點(diǎn)的個數(shù)并不一定能提高轉(zhuǎn)換的精度。因此，在地形起伏較大的地區(qū)使用二次多項(xiàng)式擬合進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時，除了選取區(qū)域邊界的公共點(diǎn)作為轉(zhuǎn)換點(diǎn)外，還需將區(qū)域內(nèi)高程異常(高程明顯高出或低于區(qū)域平均高程)的點(diǎn)納入到轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解中，以減少控制網(wǎng)局部變形的影響。

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[8] Ronggang Guo.Systemtical Analysis of the Transformation Procedures in Baden-Württemberg with Least Sqrares and Total Least Squares Methods[D].Stuttgart:University of Stuttgart,2007.

Three kinds of plane coordinate conversion methods and their precision analysis

Ma Shenglong Shen Chengfeng Zhang Shibei

(GeologyandMineralResourcesSurveyInstitute,QinghaiNonferrousGeologicalProspectingBureau,Xining810007,China)

Taking a mining right inspection data in Qinghai Haixi as an example, this paper made plane coordinate transformation using four parameters model, six parameters model and secondary polynomial fitting, under the undulating topography region comparative analyzed the different public point density and different models transformation precision under different distribution situation, summed up the characteristics of three models, provided reference for actual engineering application.

plane coordinate transformation, transformation model, public point selection, conversion accuracy

2015-03-08

馬生龍(1988- )，男，助理工程師； 申成鋒(1990- )，男，助理工程師； 張世貝(1980- )，男，助理工程師

1009-6825(2015)14-0204-02

TU198

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