關(guān)于隨機光滑點

趙世恩,趙 媛

(1.首都師范大學 初等教育學院,北京 100048;2.河北金融學院 基礎(chǔ)部,河北 保定 071051)

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關(guān)于隨機光滑點

趙世恩1,趙 媛2

(1.首都師范大學 初等教育學院,北京 100048;2.河北金融學院 基礎(chǔ)部,河北 保定 071051)

提出隨機賦范模中隨機光滑點的概念,利用隨機賦范模與經(jīng)典賦范空間的聯(lián)系,給出了隨機光滑點和經(jīng)典光滑點的關(guān)系。最后,利用有限生成隨機賦范模的代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了幾個隨機光滑點的基本性質(zhì)。這些結(jié)果將進一步豐富隨機賦范模幾何學已有的內(nèi)容。

隨機賦范模;隨機共軛空間;隨機光滑點;(ε,λ)-拓撲

0 引言

隨機度量理論來源于概率度量空間理論[1],隨機賦范模的概念是在隨機度量理論的發(fā)展過程中提出來的,現(xiàn)在隨機賦范模已成為隨機度量理論的核心框架之一。當前采用的隨機賦范模概念最終成型于文獻[2]。在文獻[1]中,隨機度量空間中兩點間的隨機距離或向量的隨機范數(shù)都采用非負隨機變量來定義。文獻[2]開始使用非負隨機變量等價類來定義兩點間的隨機距離或向量的隨機范數(shù),這樣雖然舍棄了一些概率論直觀性,但從泛函分析的觀點來看卻帶來了極大的方便。在隨機賦范模上所賦予的一個重要拓撲是(ε,λ)-拓撲,從概率的角度來看是很自然的,但是這個拓撲不是局部凸的。因此，傳統(tǒng)的共軛空間理論對于隨機賦范模理論的發(fā)展是失效的。正因為如此,文獻[2]開創(chuàng)性地提出了隨機共軛空間的概念。隨后,隨機賦范模理論在隨機共軛空間這一有利的工具下經(jīng)歷了快速的發(fā)展。

利用已有的關(guān)于隨機賦范模理論的結(jié)果,對隨機賦范模理論中的幾何學做了進一步研究。首先，提出隨機賦范模中隨機光滑點的概念；其次,給出了隨機光滑點和經(jīng)典光滑點的關(guān)系；最后,給出關(guān)于隨機光滑點的幾個基本性質(zhì)。

為了方便閱讀,下面給出采用的記號:K表示實數(shù)域或復數(shù)域C;(Ω,,P)表示一個概率空間;L0(,K)表示(Ω,,P)上K-值-可測隨機變量等價類所組成的代數(shù);L0()=L0(,R)，L0()表示(Ω,,P)上廣義-值-可測隨機變量等價類所組成的集合。

1 預備知識

以及

2 主要結(jié)果及其證明

命題1[9]如果dimX=n,則AX依范數(shù)稠于X。

命題2[9-10]如果dimX=n,則存在AX中n個元素a1,a2,…,an,使得{fa1,fa2,…,fan}為X*的一組基。

給出隨機光滑點的概念以及主要結(jié)果的證明。

對于任意簡單函數(shù)f:Ω→(n)′,因為{fx1,fx2,…,fxn}?(n)′為(n)′的一組基,容易證明f∈SpanL0{φ1,φ2,…,φn}。因此，在(ε,λ)-拓撲下SpanL0{φ1,φ2,…,φn}稠于L0(,(n)′)。又因為SpanL0{φ1,φ2,…,φn}在(ε,λ)-拓撲下是閉的,故有

的元素。證畢。

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國家自然科學基金項目(11401399);北京市自然科學基金項目(1144008)

趙世恩(1981-),男,河北張家口人,講師,博士,研究方向為泛函分析.

2014-09-10

1672-6871(2015)04-0095-03

O177.92

A