淺談在數(shù)學過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力

摘 要：合情推理已走進了高中數(shù)學新課程，作為一個專題內(nèi)容“推理與證明”納入高中數(shù)學新課程教材中。合情推理在數(shù)學教學中的重要性日益凸顯，談了如何在數(shù)學過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力。

關(guān)鍵詞：合情推理；數(shù)學過程；數(shù)學教學

一、什么是合情推理

合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括經(jīng)驗和實踐的結(jié)果）以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。這種推理的途徑是從觀察、實驗入手，憑數(shù)學直覺，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想、歸納而提出猜想。高中階段合情推理常用的思維方法為：歸納推理、類比推理?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》指出：“讓學生結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義、步驟和方法，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用?！?/p>

二、什么是數(shù)學過程

數(shù)學過程是指“數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程，數(shù)學結(jié)論的形成過程，數(shù)學思想方法的探索及概括總結(jié)過程以及用數(shù)學的過程”。

三、在數(shù)學過程中培養(yǎng)合情推理能力

（一）在數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力

數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程妙趣橫生，充滿了合情推理的精彩案例。數(shù)學教學中可以將數(shù)學家們的發(fā)現(xiàn)過程經(jīng)過精心加工，讓學生重走數(shù)學家的“發(fā)現(xiàn)之路”，通過精心設(shè)計的問題串，引導學生扮演“數(shù)學家”，在一個簡化的理想模式下直面數(shù)學家的困惑，親歷數(shù)學家當年的探索與發(fā)現(xiàn)過程，給學生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)”概念、公式、定理、法則的機會，學生通過不斷的思維沖突、歸納、類比、細心觀察、提出猜想，逐步掌握合情推理的方法。

例如，在《頻率與概率》的概念教學中，可以這樣設(shè)計：

1.全體學生4人一組，每組投一枚硬幣80次，一人負責記錄。

（1）統(tǒng)計正面朝上的頻率，問各小組結(jié)果是否相同，均為0.5嗎？

（2）對全班結(jié)果進行累計，正面朝上的頻率有何規(guī)律，如何

描述？

讓學生重回概念原始發(fā)現(xiàn)、提出過程，在做試驗中親歷發(fā)現(xiàn)過程，親自感受概率概念的提出。

2.用程序?qū)崿F(xiàn)擲硬幣模擬實驗。

3.回顧當年數(shù)學家的試驗。

層層推進，學生很快就能猜想正面朝上的頻率接近某個值，進而得到概率的概念以及概率和頻率的關(guān)系。整個過程學生利用合情推理，動手試驗，大膽猜想，歸納總結(jié)，揭示概念的產(chǎn)生過程，發(fā)展了學生的合情推理能力。

（二）在數(shù)學結(jié)論的形成過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力

認真對待定理、公式等結(jié)論的形成過程，在探索定理、公式等結(jié)論的形成過程中學生通過自己的努力，觀察、試驗、歸納、類比、猜測和反思，培養(yǎng)了他們的合情推理能力。

如，在《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》一課中，橢圓用離心率來刻畫其扁平程度，橢圓的離心率e→0，橢圓越接近圓；e→1，橢圓越扁。這個結(jié)論使很多學生難以透徹理解，筆者在處理時極力展現(xiàn)該結(jié)論的形成過程。

1.問題：用多媒體展示各種不同橢圓后，學生發(fā)現(xiàn)橢圓有圓有扁。引導他們思考：橢圓的扁平程度怎么表示，用什么樣的數(shù)學表達式表示，用什么量來表示？

學生大膽猜想，其中有些提到用a、b、c這3個量來刻畫，其直覺已經(jīng)逼近結(jié)論。

2.動手實驗。

準備好細繩，兩人一組把繩子的兩端點固定在兩釘子（焦點）處，用鉛筆尖繃緊繩子畫一個橢圓，然后變換繩子的長度，畫橢圓，觀察橢圓“扁平”的程度，描述其變化規(guī)律；再讓繩子的長度固定不變，將兩釘子距離（焦距）變化，繼續(xù)畫橢圓，觀察橢圓的“扁平”的程度，描述其變化規(guī)律。

3.變化規(guī)律。

學生熱烈討論，發(fā)現(xiàn) →0時，橢圓變得越“圓”，當 →1時，橢圓變得越“扁”。

學生找到規(guī)律的同時，有學生運用類比思想猜想：a、b或者b、c兩個量可以不可以也能來刻畫橢圓的扁平程度呢？如果可以，選哪兩個量來刻畫呢？讓他們帶著猜想設(shè)計驗證方法。教師見機引導，得出結(jié)論。

4.展示“橢圓的離心率”Flash動畫。

5.給出橢圓離心率定義。

用離心率來刻畫橢圓的扁平程度

規(guī)律：e→0，橢圓越圓；e→1，橢圓越扁。

此時上面關(guān)于離心率結(jié)論的形成已經(jīng)水到渠成，期間學生經(jīng)歷了憑數(shù)學直覺大膽猜想、動手試驗、親自體驗的數(shù)學過程，得到初步結(jié)論，進而類比猜想，產(chǎn)生新困惑，繼續(xù)驗證，得出最終結(jié)論，在此過程中，他們的合情推理能力得到培養(yǎng)。

（三）在數(shù)學思想方法的探索及概括總結(jié)過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力

數(shù)學思想方法——數(shù)學的精髓，它鋪設(shè)了知識到能力的大道，在數(shù)學思想方法的探索及概括總結(jié)過程中，學生的合情推理能力得到潛移默化的提升。

比如，在使用數(shù)形結(jié)合的探索過程中，以現(xiàn)有的知識為基礎(chǔ)，運用數(shù)學直覺，從整體上把握數(shù)學對象并對其結(jié)構(gòu)快速識別，做出判斷，大膽猜測，合理假設(shè)，并給出試探性的結(jié)論。它具有頓悟、飛躍的特征。

例1.n個半圓的圓心共線，圓心在直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓?。?/p>

分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f（n）段圓弧，畫出圖形，觀察（此時應用了數(shù)形結(jié)合的思想方法），采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證。

（四）在“用數(shù)學”的過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力

1.在日常解題訓練中運用所學數(shù)學知識，合情推理。

“用數(shù)學”是數(shù)學價值的真正所在，數(shù)學的生命力也源自于此，“用數(shù)學”推動了數(shù)學的發(fā)展。在日常解題訓練中，注重解題思路產(chǎn)生過程那一剎那的靈感，在探究問題的結(jié)論和尋找解決問題的途徑中培養(yǎng)學生的合情推理能力。

例2.兩個數(shù)列{an}和{bn}，已知an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，當a1=1，b1=2時，求{an}，{bn}的通項公式。

分析：由已知an，bn，an+1成等差數(shù)列可以得到2bn=an+an+1，又由bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列可以得到a2n+1=bnbn+1，所以變形得，an+1=2bn-an，bn+1= 先觀察n=2、3、4的特殊情況，

2.關(guān)注生活中的數(shù)學，用數(shù)學知識解決生活實際問題，培養(yǎng)學生的合情推理能力。

數(shù)學與生活息息相關(guān)，密不可分，數(shù)學巧妙地融入在生活中，基于應用和問題的數(shù)學過程教學，教師必須關(guān)注生活中熱點問題，挖掘生活素材，設(shè)法引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的求知欲望，讓學生思想的火花四濺，猜想連連，熱烈討論，在問題的解決過程中，培養(yǎng)學生的合情推理能力。

參考文獻：

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作者簡介：池屏雁，出生于1977年，女，福建閩清人，中學數(shù)學一級教師，研究方向為高中數(shù)學教學。

編輯 韓 曉