點線間對稱問題的探究

李冬明

【摘要】關(guān)于點線間的對稱問題，是解析幾何中煩瑣計算的開始，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的常見問題而且用處廣泛，值得大家深思、探究.

【關(guān)鍵詞】對稱點；對稱軸；直線；方程

解析幾何中的點線間對稱問題主要分為兩大類，即中心對稱問題和軸對稱問題.中心對稱包括點關(guān)于點的對稱、直線關(guān)于點的對稱，軸對稱包括點關(guān)于線的對稱、線關(guān)于線的對稱.以上對稱問題如何求解，我們探究如下：

1.點關(guān)于點的對稱

問題1：求點A（a，b）關(guān)于點P（x0，y0）對稱的點A′.

分析：運用中點坐標(biāo)公式即可求得對稱點A′的坐標(biāo)為（2x0-a，2y0-b）.

2.線關(guān)于點的對稱

問題2：求直線l：ax+by+c=0關(guān)于點P（x0，y0）對稱的直線l′.

分析：直線關(guān)于點的對稱，主要求解方法是：

方法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線的方程；

方法二：由圖形可知，所求直線l′與已知直線l平行，設(shè)直線l′的方程為ax+by+m=0，在直線l上任取一點，求出關(guān)于點P的對稱點，再用待定系數(shù)法求出參數(shù)m的值，也就得到了直線l′的方程，或者由點斜式得到所求直線方程.

3.點關(guān)于線的對稱

問題3：求點A（m，n）關(guān)于直線l：ax+by+c=0對稱的點A′.

分析：設(shè)A′（x0，y0），利用直線l是線段AA′的中垂線，列出方程組y0-nx0-m·-ab=-1a（x0+m2）+by0+n2+c=0求解，可得到對稱點A′（x0，y0）的坐標(biāo)（其中b≠0，x0≠m）.

4.線關(guān)于線的對稱

問題4：求直線l1：ax+by+c=0關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的直線l2.

分析：一般轉(zhuǎn)化成點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：①若直線l1與直線l平行，則所求直線l2與它們都平行，可轉(zhuǎn)化成點關(guān)于線求對稱點，再用待定系數(shù)法求解，或運用平行線間的距離問題相等求解；②若直線l1與直線l相交，則所求直線l2必過它們的交點，再求點關(guān)于線的對稱點，用待定系數(shù)法求解.

弄明白以上問題，也就弄清楚高中解析幾何中的點線間的對稱問題，至于特殊情況下的點和直線對稱問題，亦可借助于圖像求解.關(guān)于其應(yīng)用，我舉以下兩個典型案例.

例1 一條光線經(jīng)過點A（2，3）射出，遇到直線l：x+y+1=0后被反射，經(jīng)過點B（1，1），求光線的入射線和反射線所在的直線方程.

解 作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，設(shè)A′（x0，y0），則

y0-3x0-2·（-1）=-1，x0+22+y0+32+1=0，

解得x0=-4，y0=-3.

∴A′（-4，-3）.

∴反射光線方程為y-1=1+31+4（x-1），即4x-5y+1=0.

由x+y+1=0，4x-5y+1=0，得x=-23，y=-13.

∴入射光線與對稱軸的交點為-23，-13.

∴入射光線方程為y-3=3+132+23（x-2），即5x-4y+2=0.

評述 注意知識間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透.

例2 在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得

（1）點P到A（4，1）和B（3，4）距離之和最小，并求出最小值；

（2）點P到A（4，1）和C（0，4）距離之差的絕對值最大，并求出最大值.

解 （1）設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點A′（x0，y0），則

y0-1x0-4·3=-1，3·x0+42-y0+12-1=0，得x=-2，y=3.

∴A′（-2，3）.

∴PA+PB=PA′+PB≥A′B.

連接A′B交直線l于一點，即為所求點P，如圖1.

∴（PA+PB）min=A′B=（3+2）2+（4-3）2=26.

此時，直線A′B的方程為y-3=4-33+2（x+2），即x-5y+17=0.

由3x-y-1=0，x-5y+17=0，得x=117y=267

因此PA+PB的最小值為26，點P117，267.

（2）由（1）知，點A（4，1）關(guān)于直線l的對稱點為A′（-2，3）.

∴PA-PC=PA′-PC≤A′C.

連接A′C，并延長交直線l于一點，即為所求點P，如圖2.

∴（PA-PC）max=A′C=（0+2）2+（4-3）2=5.

此時，直線A′B的方程為y-3=4-30+2（x+2），即x-2y+8=0.

由3x-y-1=0，x-2y+8=0，得x=2，y=5.

因此PA-PB的最小值為5，點P（2，5）.

評述 恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R對解題能起到事半功倍的效果.

在解析幾何中，可以利用對稱解決光線反射問題，利用對稱求軌跡，利用對稱求距離的最值等等，當(dāng)然，其他的對稱問題更值得我們?nèi)ド钏?、探?