從錯題探究線性代數(shù)的教學(xué)

熊波

【摘要】本文結(jié)合兩道典型的線性代數(shù)例題，對錯解進(jìn)行詳細(xì)的探究，總結(jié)出一套教學(xué)策略，以此培養(yǎng)學(xué)生舉一反三，類比分析，以及探索根因的能力.針對線性代數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出一些看法.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；教學(xué)；錯題

線性代數(shù)是高校經(jīng)濟(jì)，管理類專業(yè)本科生一門重要的基礎(chǔ)課，是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的重要組成部分.與微積分相比，線性代數(shù)這門學(xué)科的特點(diǎn)是內(nèi)容抽象，概念多，性質(zhì)多，內(nèi)容縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透.正是由于這種學(xué)科特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)起來有很大難度，普遍感到“做題困難”、“做題沒有思路”.針對這一現(xiàn)象，本文結(jié)合在教學(xué)實(shí)踐中遇到的典型錯例，探討線性代數(shù)的教學(xué)策略，更好地培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行抽象思維和運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題的能力.

一、典型錯例

例1已知矩陣A為n階方陣，A2=A，A≠E，證明|A|=0.

雖然這是一道在線性代數(shù)練習(xí)中常見的簡單證明題，但是學(xué)生在處理時(shí)總會出現(xiàn)一些錯誤，現(xiàn)將錯誤的解法歸納如下：

錯解1在等式兩邊同時(shí)取行列式得|A|2=|A|，因此|A||A|-1=0，因?yàn)锳≠E，所以|A|≠1，由此得|A|=0，證畢.

此種證明方式錯誤之處在于因?yàn)锳≠E，所以|A|≠1，很容易舉出反例.

設(shè)A=20012≠E，但是|A|=1.

造成學(xué)生使用此錯誤方法證明的原因是學(xué)生在理解矩陣的行列式這個概念時(shí)，很容易將矩陣與行列式兩個概念相混淆，經(jīng)常使用一些啼笑皆非的結(jié)果，例如因?yàn)锳≠O，所以|A|≠0.

錯解2由A2=A得AA-E=O，因?yàn)锳≠E，所以A-E≠O，由此得A=O，所以|A|=0.證畢

此種證明方式的錯誤之處在于忽視了矩陣乘法不滿足消去率，設(shè)A，B，C均為矩陣，若AC=BC推不出A=B.

例如A=1203，B=1004，C=1100，AC=1100=BC，但是A≠B.

正是因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足消去率，矩陣乘法就不滿足以下我們在數(shù)字乘法中常用的一條性質(zhì)AB=0A=0或B=0，這條性質(zhì)在矩陣乘法中也是不成立的.例如

A=11-1-1，B=1-1-11，AB=0000，

但是A≠O，B≠O.在上述證明中正是錯誤地使用了這條性質(zhì)，導(dǎo)致證明錯誤.

正解：反證假設(shè)|A|≠0，則A可逆，等式A2=A兩邊同時(shí)左乘A-1，得A=E，與已知矛盾，說明假設(shè)不成立，因此|A|=0.

例2判斷說明題：若矩陣A與B等價(jià)，則A的行向量與B的行向量等價(jià).

這道題涉及矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)兩個概念.矩陣與向量組的關(guān)系一直都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在講授這部分內(nèi)容時(shí)老師總是會強(qiáng)調(diào)m×n矩陣A，既可以看成是m個n維行向量組成的向量組又可以看成是n個m維列向量組成的向量組，即矩陣可以看成向量組，向量組也可以看成矩陣.學(xué)生會認(rèn)為既然矩陣就是向量組，向量組就是矩陣，那么若矩陣A與B等價(jià)，則顯然A的行向量與B的行向量等價(jià)，而且A與B的列向量也是等價(jià)的，從而認(rèn)為這個論斷正確，在學(xué)生中99%的人會持有這種想法.

其實(shí)這個論斷是錯誤的，一個簡單的例子就能說明問題.

設(shè)A=100010，B=101010，觀察可以看出將A第一列加到第三列上就是矩陣B，所以矩陣A與B等價(jià)，但是A的行向量組是1，0，0，0，1，0，B的行向量組是1，0，1，（0，1，0），他們不等價(jià).

產(chǎn)生這種錯誤的原因是學(xué)生混淆了矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)兩個概念，仔細(xì)研究概念會發(fā)現(xiàn)矩陣等價(jià)是指若矩陣A能通過初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，而向量組等價(jià)指的是若向量組I與向量組II能互相線性表示，則稱向量組I與向量組II等價(jià).這兩種等價(jià)的定義是完全不同的，以下幾個定理也能說明這個問題：

（1）矩陣A與B等價(jià)的充要條件是rA=rB；

（2）若向量組I與向量組II等價(jià)，則rI=rII.

矩陣等價(jià)中的充要條件在向量組等價(jià)中成為了充分條件，而從上面的反例中也可以看出（2）的逆命題是不成立的.r1，0，0，0，1，0=r1，0，1，（0，1，0）=2，但是向量組1，0，0，0，1，0與向量組1，0，1，（0，1，0）不能相互線性表示，所以他們不等價(jià).若希望（2）的逆命題成立必須加上條件

（3）若rI=rII，并且向量組I能由向量組II線性表示，則向量組I與向量組II等價(jià).

從上述分析可以看出，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)是不同的兩個概念，兩個向量組等價(jià)則它們所對應(yīng)的矩陣等價(jià)，反之則不真.數(shù)學(xué)概念是日常生活中的客觀事物在數(shù)量關(guān)系上的抽象反映，這也就決定了線性代數(shù)概念的抽象性，例如：行列式、線性相關(guān)、特征值等概念.因此教師在講授完這兩個概念后一定要將這兩個概念進(jìn)行比較，通過簡單的例子讓學(xué)生了解兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系.教師通過對比概念之間的關(guān)系既能恰如其分地引進(jìn)新概念，也有助于加深學(xué)生對已學(xué)概念的理解，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)才會達(dá)到事半功倍的效果.

以上是筆者總結(jié)授課過程中經(jīng)常遇到的錯解，其主要原因在于學(xué)生對抽象概念的理解有誤.正因?yàn)榫€性代數(shù)的基本概念很多，許多概念之間形成了連環(huán)扣，一環(huán)扣一環(huán)，如若某一環(huán)出現(xiàn)問題，就會致使環(huán)節(jié)亂套.所以筆者在日常教學(xué)中總結(jié)出了一套授課技巧，首先力求將某些概念轉(zhuǎn)化為直觀形象的說法加以說明，其次正確使用符號和運(yùn)算法則，使學(xué)生一目了然，將公式爛熟于心，最后通過實(shí)際中的應(yīng)用或引入相關(guān)的例子對概念多做說明.

只有通過教師的一步步引導(dǎo)，學(xué)生自主思考的學(xué)習(xí)能力，加上對概念進(jìn)行直觀形象的講授，才能促使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中步步為營，環(huán)環(huán)相扣.

二、線性代數(shù)的教學(xué)策略探討

1.講授概念需直觀形象

數(shù)學(xué)概念一般較為抽象，若不注重引入方法直接介紹，若不對概念引入方法、分析比較、舉一反三，對學(xué)生而言，一般難以掌握概念間的區(qū)別，以致張冠李戴，解題出錯.在教學(xué)中，為了讓學(xué)生弄清某些定義敘述較為抽象的概念，教師應(yīng)用大量的實(shí)例將概念具體化.

例如線性代數(shù)的一個重要概念——向量組的極大無關(guān)組，它是向量組這章的重難點(diǎn)，只有講清楚了此概念的定義和性質(zhì)，學(xué)生才能理解向量組的秩，這是課程中承上啟下的一個重要概念.此概念較為抽象，直接按定義講述學(xué)生很難理解，因此在處理這個概念時(shí)，筆者首先會給學(xué)生講一個實(shí)例.某大學(xué)校長要向全校學(xué)生傳達(dá)一個文件，他會怎么做呢？如果把全校學(xué)生集合起來開大會是很不明智的做法，因?yàn)檫@需要很大的場地而且很難保證每個學(xué)生都到場.此時(shí)校長會請每班派班長來參加會議，再由班長將文件傳達(dá)給每一個學(xué)生.教師將這個生活中常常遇到的問題引入到極大無關(guān)組的概念講解中.如果把全校學(xué)生看成一個向量組，這個由每班班長組成的代表組就是向量組的極大無關(guān)組.接下來教師馬上反問學(xué)生，這個代表組有什么特點(diǎn)？

（1）這個代表組是唯一的嗎？

（2）這個代表組的人數(shù)恒定嗎？

（3）這些代表之間是什么關(guān)系？

（4）代表組與全校學(xué)生是什么關(guān)系？

此時(shí)學(xué)生會馬上回答，這個代表組可以由每班的班長組成，也可以由每班的支部書記組成，它不是唯一的；但是代表組成員的人數(shù)是恒定的，因?yàn)槊堪嘀恍枧梢幻韰⒓訒h；同時(shí)這些代表必須來自不同的班級；代表組能夠代表全校學(xué)生；四個簡單的問題就讓學(xué)生理解了極大無關(guān)組不唯一，極大無關(guān)組中向量個數(shù)是不變的，極大無關(guān)組是由線性無關(guān)的向量構(gòu)成的，極大無關(guān)組與向量組等價(jià)這些性質(zhì).

通過這個實(shí)例來學(xué)習(xí)極大無關(guān)組的概念，課堂氣氛活躍，如此講解一方面使學(xué)生覺得親切易懂，另一方面引起了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)生學(xué)習(xí)輕松自如，概念理解透徹，性質(zhì)定理記憶深刻，可以達(dá)到事半功倍的效果.

2.符號和運(yùn)算法則需正確使用

線性代數(shù)的符號多，運(yùn)算法則多，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會與以前的符號和運(yùn)算法則混淆.比如說矩陣A的逆矩陣符號A-1，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)習(xí)慣上將它與數(shù)的倒數(shù)聯(lián)系在一起，就會引入錯誤記號1A，已知矩陣A可逆，則AB=CB=CA，這是在學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會出現(xiàn)的錯誤.學(xué)生混淆了矩陣的逆矩陣與數(shù)的倒數(shù)符號，產(chǎn)生了上述錯誤，在習(xí)題課上教師必須指出這種符號錯誤，通過錯誤事例讓學(xué)生加強(qiáng)記憶.

線性代數(shù)課程中的運(yùn)算法則有很多與以前的運(yùn)算法則完全不同，例如矩陣乘法不滿足交換律，消去率，上文的錯解2就是學(xué)生錯誤使用消去率造成的.學(xué)生往往會忽視這些法則，錯誤的使用以前的數(shù)學(xué)公式，例如：

A+B2=A2+2AB+B2A+BA-B=A2-B2

這是學(xué)生經(jīng)常使用的公式，但是在矩陣乘法中這些公式卻不一定成立.因此要求教師必須在講授過程中加強(qiáng)學(xué)生對法則的認(rèn)識，用生動的語言和適宜的比喻，加強(qiáng)學(xué)生的記憶.再例如，講授ABT=BTAT這個法則時(shí)，筆者會稱之為“穿衣服，脫衣服”法則，穿和脫的順序正好是相反的，因此等式左右兩邊的順序相反.利用這個形象生動的比喻，幫助學(xué)生記住了這個法則.當(dāng)再次遇到與之類似的性質(zhì)AB=BA時(shí)，學(xué)生馬上會想到“穿衣服，脫衣服”法則.

3.概念混淆需比較講授

所謂比較法，即把某些有一定相關(guān)性的知識點(diǎn)或練習(xí)題放在一起對照講授或練習(xí)，找出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的教學(xué)方法.它包括：相反概念的比較；易混概念的比較；新舊知識的比較；同類事物的比較.對于線性代數(shù)中有許多相似的概念，非常容易發(fā)生混淆，教室在授課的過程中將其進(jìn)行比較分析，以加強(qiáng)對概念的理解.比如上文中的例2，對比講授矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)，可以使學(xué)生加深對知識的理解，準(zhǔn)確把握題意，提高分析理解的能力.通過比較可以辨別真?zhèn)巍⒄`，提高認(rèn)識水平；可以舉一反三，拓寬視野，更好地把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征.

4.知識點(diǎn)需環(huán)環(huán)相扣

線性代數(shù)課程的知識點(diǎn)縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透.行列式、矩陣、向量、線性方程組，方陣的特征值各章之間由一個概念——秩，貫穿始終，教師在講授時(shí)應(yīng)抓住這個重點(diǎn)，時(shí)刻提醒學(xué)生注意前后知識點(diǎn)的聯(lián)系.例如n階方陣A，

rA=n|A|≠0A可逆A的行（列）向量組線性無關(guān)Ax=0僅有零解Ax=b有唯一解A的特征值全部非零rA=n.

通過秩的概念，可以將整個線性代數(shù)的知識貫穿成一個圓環(huán)，圓環(huán)上任意兩個節(jié)點(diǎn)之間都是等價(jià)關(guān)系.只有抓住了這些等價(jià)關(guān)系，才真正掌握了線性代數(shù)的靈魂，學(xué)生才能自如地運(yùn)用這些知識點(diǎn)進(jìn)行解題.因此，在授課過程中，應(yīng)緊抓核心知識點(diǎn)，由局部到整體，由分散到總結(jié)，指導(dǎo)學(xué)生掌握重點(diǎn)學(xué)習(xí)方法（3）.

5.錯題講解需舉一反三

一定量的典型習(xí)題訓(xùn)練有利于學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解.精心組織好習(xí)題，是提高教學(xué)質(zhì)量的一個重要環(huán)節(jié).教育部委托復(fù)旦大學(xué)草擬《線性代數(shù)教學(xué)大綱》中指出：“習(xí)題課的作用是使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握課程內(nèi)容，以及培養(yǎng)嚴(yán)格的推理能力”，此處明確了習(xí)題課的重要性.因此，在習(xí)題課上，教師需要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，善于歸納總結(jié)，通過做題吸收知識內(nèi)容.

此外，筆者認(rèn)為不僅僅要求一定的習(xí)題量，還要培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)錯誤做法（2）舉一反三，觸類旁通，以免學(xué)生對抽象概念一知半解，這樣可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，繼而達(dá)到好的學(xué)習(xí)效果.

以上是筆者在《線性代數(shù)》課程教學(xué)的一些觀點(diǎn)，通過總結(jié)幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為概括來說就是要更為注重學(xué)生的接收能力，才能合理地進(jìn)行教學(xué).教師作為整個課堂的操縱者，應(yīng)學(xué)會用生動的語言、合適的比喻來帶動課堂氣氛，抓住學(xué)生的眼球，同時(shí)也要求教師在實(shí)踐中不斷改進(jìn)教學(xué)方法，形成自己的教學(xué)特色，精心安排每一堂課的環(huán)節(jié)，對教學(xué)效果多做總結(jié)和反省，對學(xué)生言傳身教.方能讓深奧枯燥的數(shù)學(xué)知識妙趣橫生，淺顯易懂.正如陶行知先生所言“要想學(xué)生好學(xué)，必須先生好學(xué).唯有學(xué)而不厭的先生才能教出學(xué)而不厭的學(xué)生.”

【參考文獻(xiàn)】

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