利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

張武黨

摘 要：導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)最值問題的一種有效方法；不等關(guān)系是函數(shù)中常見的關(guān)系。利用導(dǎo)數(shù)來求得函數(shù)的最值，也就使得不等關(guān)系成立。因此利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種證明不等式的有效工具。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；不等式；函數(shù)

題目： 已知a、b是正數(shù)，求證：lna-lnb≥1-— 。

證明：不等式lna-lnb≥1-—等價于ln—+—≥1，

令x=—，則x>0，

不等式可化為lnx+—≥1，對任意的x∈（0，+∞）都成立。

構(gòu)造函數(shù) y=lnx+—， x∈（0，+∞），

兩邊取導(dǎo)數(shù) y'=—-—=—（1-—）=—

令y'=0，即—=0，解之得x=1，

當(dāng)x>1時，y'=—>0，

函數(shù)y=lnx+—在x∈（1，+∞）上為增函數(shù)；

當(dāng)0

函數(shù)y=lnx+—在x∈（0，1）上為減函數(shù)，

所以，當(dāng)x=1時，函數(shù)y=lnx+—取最小值，最小值為1，

因此，lnx+—≥1，對任意的x∈（0，+∞）都成立；

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立，

即ln—+—≥ 1，對任意的a、b∈R+均成立；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。

所以，不等式lna–lnb≥1-ln—，

對任意的a、b∈R+均成立，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。 原不等式得證。

由于，a、b是任意的，對不等式可加強(qiáng)為

命題1：對任意的正數(shù)a、b，都有—-1≥ lna-lnb≥1-—成立。當(dāng)且僅當(dāng)a=b是等號成立。

由不等式證明的過程可知，命題1可變?yōu)?/p>

命題2：對任意的正數(shù)x，都有 x-1≥lnx≥1-—。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立。

在命題1中，令a=k+1，b=k時，得

命題3：對任意的正數(shù)k，有— > ln （1+—） >— 。

在命題2中，令h=x-1，則x=h+1，

可得

命題4：對任意的h>-1，都有h≥ ln（1+h）≥—，當(dāng)且僅當(dāng)h=0時等號成立。

命題4左半部分和2005年高考重慶卷試題（理工農(nóng)醫(yī)類）最后一道題中出現(xiàn)的不等式一樣。命題4與華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《數(shù)學(xué)分析》一書中第161頁的不等式一樣。

利用命題3可以證明下面不等式。

問題：若m是大于1的自然數(shù)，求證：

—+—+—+…+—< lnm<1+—+—+…+— ※。

證明：由數(shù)學(xué)歸納法證明，

①當(dāng)m=2時，有—

②假設(shè)當(dāng)m=k時，不等式

—+—+—+…+—< lnm<1+—+—+…+—

也成立。

那么當(dāng)m=k+1時，ln（k+1）=ln（k·—）=lnk+ln— ⑴

應(yīng)用假設(shè)，得

—+—+—+…+—+ln—

由命題3知 —

—+—+—+…+—+—<—+—+—+…+—+ln— ⑶

1+—+—+…+—+ln—+ln—<1+—+—+…+—+ln—+— ⑷

由⑴、⑵、⑶、⑷四個式子得

—+—+—+…+—+—< ln（k+1）<1+—+—+…+—+ln—+—成立。

即當(dāng)m=k+1時，不等式※也成立。

由①、②可知，對任意大于1的自然數(shù)m，不等式

—+—+—+…+—< lnm<1+—+—+…+—

均成立。

導(dǎo)數(shù)知識從高數(shù)中放到高中數(shù)學(xué)，增加了高中數(shù)學(xué)解決問題的方法和靈活性。對高中數(shù)學(xué)的發(fā)展增添了新的活力。利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)證明不等式就是有效方法。

（作者單位：陜西省興平市南郊高級中學(xué)）