淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)

陳慶竹

[摘要]邏輯思維能力，是正確、合理地進(jìn)行思考的能力。它在能力培養(yǎng)中起到核心的作用。對中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，邏輯思維的培養(yǎng)，主要采取三個步驟：一是在形成、理解和深化數(shù)學(xué)概念過程中培養(yǎng)邏輯思維能力，二是通過數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展培養(yǎng)邏輯思維能力，三是通過數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練培養(yǎng)邏輯思維能力。

[關(guān)鍵詞]中學(xué)生；數(shù)學(xué)；邏輯思維；培養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6

數(shù)學(xué)教學(xué)，是不斷幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中建立各類數(shù)學(xué)概念體系的過程。而數(shù)學(xué)概念體系的形成和發(fā)展的過程，則是分析、綜合、抽象、概括、比較、分類等各種邏輯方法的形成和發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)知識又大都通過數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系而表達(dá)數(shù)學(xué)命題的，這些命題的結(jié)構(gòu)形式和論證方法以及相互的研究都屬于邏輯學(xué)的范疇。

邏輯思維能力，是正確、合理地進(jìn)行思考的能力。它在能力培養(yǎng)中起到核心的作用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論，運用數(shù)學(xué)知識所不可缺少的基本能力。

在中小學(xué)階段，學(xué)生的思維是從具體的形象思維向邏輯思維發(fā)展的階段。小學(xué)階段，算術(shù)學(xué)習(xí)以具體形象為主要的思維形式。進(jìn)入初中，就要為從具體形象向邏輯思維形式過渡奠定基礎(chǔ)。從初二到高一，則是邏輯思維的培養(yǎng)階段，但此時還是以學(xué)生的實踐經(jīng)驗為基礎(chǔ)，傾向于經(jīng)驗型邏輯思維。高二到高三的邏輯思維能力的培養(yǎng)，則以已有的理論知識為基礎(chǔ)，屬于理論型邏輯思維。在高中階段，辨證邏輯思維成分在逐漸增加。在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力時，應(yīng)該很好地考慮這些階段的特點。特別要抓住初中一、二年級這個思維發(fā)展的重要時期，對于打好發(fā)展邏輯思維能力的基礎(chǔ)有著重要的意義。

邏輯思維能力的強(qiáng)弱表現(xiàn)在概念、判斷、推理這些思維形式運用能力的強(qiáng)弱上，表現(xiàn)在語言的表達(dá)運用和思維開展時每步的依據(jù)是否充足上。教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，對學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)在這方面下功夫、花氣力，以求邏輯思維能力得到提高。

一、在形成、理解和深化數(shù)學(xué)概念過程中培養(yǎng)邏輯思維能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，沒有正確的數(shù)學(xué)概念，就不可能有正確的數(shù)學(xué)思維，不深化數(shù)學(xué)概念，就不能發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

1.數(shù)學(xué)概念的形成過程

數(shù)學(xué)概念隸屬于一般概念，它是人腦反映數(shù)學(xué)對象（客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式和結(jié)構(gòu)關(guān)系）的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念作為概念，它的形式遵循一般概念形成的規(guī)律，然而又將體現(xiàn)出其本身的特殊性，其形成過程可概述為：⑴對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行感知辨認(rèn)，在頭腦中建立數(shù)學(xué)映象；⑵通過觀察、分析，從各個數(shù)學(xué)映象中分化出各種屬性，通過比較概括成共同屬性，使學(xué)生形成鮮明的數(shù)學(xué)表象；⑶通過分析、綜合、抽象、概括的思維活動，抽象出數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)屬性；⑷用數(shù)學(xué)詞語表達(dá)數(shù)學(xué)對象。其過程是：

上述數(shù)學(xué)概念的形成過程，包含了四個階段，其中，第一、二階段為形象思維階段，第三、四階段為邏輯思維階段。從概念形成的過程可以看出，形象思維是邏輯思維的先導(dǎo)，它滲透合在邏輯思維之中，如果沒有形象思維的滲入，邏輯思維就不可能很好地展開。

2.數(shù)學(xué)概念的掌握——理解和深化過程

形成數(shù)學(xué)概念以后，還須進(jìn)一步理解和深化概念。使學(xué)生形成對概念的掌握，即進(jìn)入認(rèn)知過程的發(fā)展階段，其標(biāo)志是概念之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系的揭露，建立概念體系。這也意味著對概念有了進(jìn)一步的理解：⑴感性認(rèn)識于理性認(rèn)識已經(jīng)結(jié)合起來；⑵新概念與原有知識已有機(jī)地聯(lián)系起來；⑶能用自己的語言表述出來。

對于數(shù)學(xué)概念的掌握，還要求將數(shù)學(xué)概念加以深化，深化的關(guān)鍵則是運用，數(shù)學(xué)概念的運用，即看在實踐中能否將一般與個別密切聯(lián)系起來，是一般化與特殊化的思維方法在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用。只有從一般到特殊、特殊上升到一般的過程中。能將數(shù)學(xué)概念運用自如，才意味著概念得到了深化。

二、通過數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展培養(yǎng)邏輯思維能力

從某種意義上講，邏輯思維能力就是解決問題的能力。思維活動是對所研究的材料進(jìn)行加工的過程，通過邏輯推理，得到符合客觀規(guī)律的本質(zhì)性認(rèn)識。因此要發(fā)展邏輯思維能力，應(yīng)該著重于邏輯思維能力的培養(yǎng)。

要培養(yǎng)邏輯推理能力，就要重視數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)。由于每一個數(shù)學(xué)命題，都是按照一定的邏輯關(guān)系構(gòu)成的，深入掌握命題的過程，就是邏輯推理能力增長的過程。

邏輯思維對推理的基本要求是：推理要合乎邏輯，也即在進(jìn)行推理時要合乎推理的形式，遵守推理的規(guī)律。因此，必須通過推理思維的訓(xùn)練和推理形式的訓(xùn)練這兩個方面來培養(yǎng)邏輯思維能力。

1.推理的每一步都要求有邏輯依據(jù)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于命題的推論都要有正確的根據(jù)。要指導(dǎo)學(xué)生，能指出推理的每一步所作依據(jù)的定義、公理、定理。在運算時，要自覺意識到運算的每一步都是根據(jù)相應(yīng)公式法則（包括運算律）來進(jìn)行。如果是作圖，則要讓學(xué)生清楚地認(rèn)清是根據(jù)哪一項基本作圖法來實施。

2.作關(guān)于聯(lián)想思維方法的訓(xùn)練

推理過程的思維活動，要進(jìn)行頻繁的聯(lián)想，通過聯(lián)想“穿針引線”接通思路。應(yīng)做一些便于作縱向和橫向聯(lián)想的練習(xí)，以便在聯(lián)想的實踐中學(xué)會聯(lián)想。

3.作關(guān)于分類思維方法的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)對象一般都包含多個側(cè)面，如果只從對象本身所直接顯露的一面來進(jìn)行推證，則易出現(xiàn)以偏概全的形象，以致產(chǎn)生遺漏等情況。因此，在推理進(jìn)行前，必須對推理的對象進(jìn)行全面、周密的觀察和思考，進(jìn)一步把一個復(fù)雜的問題分成若干種情況去考查，然后逐一進(jìn)行論證，這就需要使用分類這種思維方法加以操作。注重于進(jìn)行分類思維方法的訓(xùn)練，有助于周密的思考和合理的推理，以提高邏輯思維能力。

4.通過反例剖析，糾正邏輯性錯誤

在中學(xué)教材和一些參考資料中，都有一些反例剖析的例子，教師在教學(xué)過程中應(yīng)給予重視，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，以加深自己對邏輯性錯誤的印象，提高邏輯推理時的警覺。

最有效是推理形式的訓(xùn)練是加強(qiáng)三段論法的運用。這種訓(xùn)練以在幾何學(xué)習(xí)中進(jìn)行為主，但在代數(shù)、三角學(xué)習(xí)中應(yīng)該加以必要的注意。

三、通過數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練培養(yǎng)邏輯思維能力

1.數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)邏輯思維的關(guān)系

⑴數(shù)學(xué)邏輯思維是借助數(shù)學(xué)語言來實現(xiàn)的。如在研究有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)或解決有關(guān)問題時，可以畫一個草圖，也可以不作出圖形，而憑借數(shù)學(xué)語言來思考。只有通過數(shù)學(xué)語言這種物質(zhì)形式（說出的、聽到的、或看見的詞的信號），才能把所研究的數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)屬性和它們之間規(guī)律性的聯(lián)系固定下來，從而有可能進(jìn)行抽象、概括等邏輯思維活動。⑵數(shù)學(xué)語言不能脫離數(shù)學(xué)思維而存在。由于數(shù)學(xué)語言本身的意義就是通過數(shù)學(xué)思維——邏輯思維是其中核心而獲得的，數(shù)學(xué)語言必須要和數(shù)學(xué)思維聯(lián)系起來，才能有其數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，才能表達(dá)出數(shù)學(xué)思維所進(jìn)行的活動。如果失去了數(shù)學(xué)思維所概括出來的數(shù)學(xué)特征，那它就不成為其數(shù)學(xué)語言了。因此，提高數(shù)學(xué)語言的運用能力是培養(yǎng)邏輯思維能力的重要途徑。

2.注意提高運用數(shù)學(xué)語言的能力

在教學(xué)實踐中，“語病”是由于對數(shù)學(xué)語言的理解和運用的能力薄弱所導(dǎo)致的思維的混亂。如：

①x2、︱a-2︱、√x-1都是正數(shù)（實際應(yīng)為非負(fù)數(shù)）；②三角形兩邊之和大于第三邊（應(yīng)為“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，不能漏去“任意”兩字）；③同位角、內(nèi)錯角相等（缺少了前提，漏了“兩條平行直線被第三條直線所截”這一狀語成分）；④大角對大邊，小角對小邊（缺少“同一三角形”這一狀語成分）。再如，關(guān)于“同類項”的定義：“所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項”。有的同學(xué)對條件中的“字母相同”不明確，以為只要有一個字母相同即可，以致出現(xiàn)3ax+5bx=8abx這類錯誤。

以上種種，都說明了由于對數(shù)學(xué)語言理解和運用上的薄弱導(dǎo)致了思維上的混亂。因此，在學(xué)習(xí)過程中必須重視對數(shù)學(xué)語言運用能力的提高。

1.要指導(dǎo)學(xué)生搞清楚數(shù)學(xué)語言的字義詞意

在數(shù)學(xué)語言中，每一個字、詞都有著確切的意義，要準(zhǔn)確地理解這些字、詞，就需要“咬文嚼字”（尤其是初中），如“x比y大a”，這是表示兩數(shù)之差，這個“比”是個連接詞，而“x與y的比是a”，則表示兩數(shù)之商，這里的“比”是個名詞，同一個“比”字就有不同的含義；“增加了”，后面的數(shù)是凈增數(shù)，不包括原數(shù)，而“增加到”，后面的數(shù)是凈增數(shù)與原數(shù)的和，要能準(zhǔn)確地把握“了”和“到”的不同意義。

數(shù)學(xué)語言中的詞比較隱蔽，但起的都是關(guān)鍵作用，決不是可有可無的。如“a與b的絕對值的和”與“a與b兩數(shù)的絕對值的和”，兩者雖只有“兩數(shù)”二字之差別，但意義是不同的，前者表示的是“a+︱b︱”，后者則是表示“︱a︱+︱b︱”。但不少同學(xué)卻誤以為“兩數(shù)”這二字是可有可無的，因而兩者列出的卻是同一個式子。有的同學(xué)對于字在語言中的順序毫不在意，如“不都”與“都不”他們以為是同一個詞意。其實“不都”是對“都”的否定，一般有多種情況。而“都不”僅有一種情況。

2.要指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言精確地表述命題

正確理解和運用數(shù)學(xué)語言能力的強(qiáng)弱表現(xiàn)之一，是用數(shù)學(xué)語言精確地敘述數(shù)學(xué)命題，為此，要指導(dǎo)學(xué)生從自己的實際出發(fā)，做針對性的練習(xí)。

在理解數(shù)學(xué)命題時，要對命題的字、詞逐詞逐字細(xì)細(xì)推敲。例如，在學(xué)習(xí)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”這一定理時，注意不能把“兩組”當(dāng)作“兩條”；不要以為“對”字可有可無；也要注意“分別”這一關(guān)鍵詞的重要作用。根據(jù)這種實際情況，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，可以通過變換教學(xué)語言中的字、詞，展開比較、分析、思維操作，找出哪些字、詞作了變動，對于表達(dá)命題的意義有何影響。通過比較。分析，并要求學(xué)生舉出例子加以說明，就能加深對關(guān)鍵詞、字所起作用意義的理解。

對于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言，可以采用“分解”的方法來學(xué)習(xí)。如對方程的同解原理2：“方程兩邊都乘以（或除以）不等于零的同一數(shù)，所得的方程是同解方程”。有的同學(xué)很難全面加以理解和掌握，為此，可把同解原理2“分解”為“方程兩邊都乘以（或除以）”、“不等于零的同一個數(shù)”、“所得的方程與原方程是同解方程”。抓住“都”、“同”這兩個關(guān)鍵詞來學(xué)習(xí)。

3.采用簡易的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行“變式”，逐步提高對數(shù)學(xué)語言的理解、運用能力

數(shù)學(xué)語言本身抽象程度上也存在著層次之分，首先可用淺層次、簡明易懂的數(shù)學(xué)語言，由淺入深地逐步提高數(shù)學(xué)語言的理解和運用能力。例如，關(guān)于異面直線所采用的定義，下面的三種表述就是由淺入深的：

A既不平行又不相交的兩條直線，稱為異面直線。

B不同在任何平面的直線稱為異面直線。

C不在同一平面的兩條直線稱為異面直線。

再做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，如找出正方體、四面體等中與某一條棱所在直線異面的那些棱所在直線，以加深對異面直線定義的理解和運用。