函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

任廣吉

所謂函數(shù)思想，即通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，函數(shù)思想的精髓就是構(gòu)建函數(shù)。所謂方程思想，即通過建立方程或方程組，利用解方程或方程組，或者運用力‘程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得解。

就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的。許多有關(guān)方程的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決，反之，許多函數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為方程問題解決。函數(shù)思想和方程思想密切相關(guān)，相輔相成，為解決數(shù)學(xué)綜合問題提供了思路和方法，也是高考的重點。

一、運用函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的觀點解決函數(shù)，方程問題

分析：本題以分段函數(shù)為背景，考查分段函數(shù)零點的求法，考查考生對分類與整合基本數(shù)學(xué)思想的掌握程度及分析問題和解決問題的能力。函數(shù)的零點也就是相應(yīng)方程的解。

二、構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題

用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)、方程，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲解。

分析：函數(shù)的圖像直觀地顯示了函數(shù)的性質(zhì)。在處理解不等式、判斷方程是否有解和解的個數(shù)及二次方程根的分布問題時，我們往往構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像解題。

三、運用函數(shù)與方程思想解決問題

函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題；方程思想是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察、處理問題。

例3 某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20 n mile的A處，并以30 n mile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向勻速行駛，直到與輪船相遇。

（1） 若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（2） 假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30 n mile/h，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。

分析：本題考查考生運用知識解決實際問題的能力、求解一元二次方程最值問題的能力，以及綜合分析問題的能力。

練習(xí)：如圖3，某海濱浴場的岸邊可近似地看成一條直線，救生員在岸邊的A處，發(fā)現(xiàn)海中B處（∠BAD= 45。）有人求救，救生員沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊從A跑到離B最近的D處（BD=300 m），然后游向B處。救牛員在岸邊的行進速度為6 m/s，在海水中的行進速度為2 m/s。

（1） 與題中做法相比，救生員直接從A處游向B處是否可取？

（2） 能否在AD上找到一個適當?shù)狞c，使得能在最短的時間內(nèi)營救B處的人？