基于微分方程的高校實(shí)驗(yàn)樓溫控系統(tǒng)模型分析

武慶彬 張旭升

【摘要】眾所周知，HVAC系統(tǒng)在大型樓宇建筑內(nèi)智能調(diào)節(jié)室內(nèi)溫度方面有著重要應(yīng)用.由于實(shí)驗(yàn)室和辦公室內(nèi)環(huán)境相差較大，整個(gè)系統(tǒng)溫度調(diào)節(jié)能力有所下降.我們通過(guò)建立微分方程的方法，逐步改變環(huán)境增加變量完善溫控模型，從數(shù)學(xué)角度分析HVAC系統(tǒng)存在的缺陷并給出解釋和解決方案.

【關(guān)鍵詞】HVAC系統(tǒng);高校實(shí)驗(yàn)樓;溫控模型;微分方程

【中文分類號(hào)】O29

大學(xué)教學(xué)樓和實(shí)驗(yàn)樓里面的溫度調(diào)節(jié)與空調(diào)不同.尤其是在實(shí)驗(yàn)樓里，各房間溫度調(diào)節(jié)能力各不相同.我們打算采取與以往不同的方式，基于微分方程建立溫度模型對(duì)實(shí)驗(yàn)樓里的溫度調(diào)節(jié)系統(tǒng)進(jìn)行研究，通過(guò)建立不同的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)的視角來(lái)分析溫控系統(tǒng)調(diào)節(jié)整個(gè)實(shí)驗(yàn)樓各個(gè)房間溫度的不同階段，并分析其中的優(yōu)缺點(diǎn)，從數(shù)學(xué)角度給出解決方法.

以第一實(shí)驗(yàn)樓為例，實(shí)驗(yàn)室教學(xué)樓由四個(gè)學(xué)院辦公室和一個(gè)計(jì)算機(jī)機(jī)房組成，所有房間的溫度由單獨(dú)一個(gè)恒溫器（HVAC系統(tǒng)）控制，它被安裝在其中的一個(gè)辦公室內(nèi).假定影響室內(nèi)溫度的主要因素有：室外溫度、HVAC的輸出量、HVAC的輸出的空氣的溫度、室內(nèi)面積、室內(nèi)人數(shù)和正在工作的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù).

為建立的模型易于理解，首先對(duì)應(yīng)用最為廣泛的HVAC系統(tǒng)的工作原理進(jìn)行淺顯易懂的簡(jiǎn)介：當(dāng)室溫等于或高于Ts+w華氏度時(shí)，HVAC系統(tǒng)開(kāi)始工作，直到室內(nèi)溫度達(dá)到Ts-w華氏度.同樣當(dāng)室溫達(dá)到或低于T_s-w時(shí)，HVAC系統(tǒng)停止工作，直到室內(nèi)溫度達(dá)到Ts+w華氏度.冬季剛好相反，室溫會(huì)一直保持在T_s-w華氏度到T_s+wT_s+w華氏度之間，為保持室內(nèi)常溫，HVAC系統(tǒng)不會(huì)進(jìn)行連續(xù)轉(zhuǎn)換.

一、基礎(chǔ)模型

考慮第一個(gè)影響因素即室外溫度時(shí)，我們建立最簡(jiǎn)單的溫度模型：牛頓冷熱原理.原理為，物體溫度的變化率與物體溫度和其周圍物體的溫度之差成比例.即室內(nèi)溫度的變化率與室內(nèi)溫度和室外溫度的溫度之差成比例.微分方程為：

dTdt=k（Ta-T）.

其中T_a表示室外溫度，T表示室內(nèi)溫度，k為房間周圍的隔熱層，是房間的固有屬性.求解得：

T（t）=T_a+T₀-Tae-kt.

其中 T0表示室內(nèi)的初始溫度.

二、引入HVAC系統(tǒng)

當(dāng)把 HVAC系統(tǒng)的因素考慮進(jìn)去時(shí)，新的微分方程為

dTdt=k（Ta-T）+rV（THVAC-T）.

其中THVAC 表示的是系統(tǒng)產(chǎn)生的冷空氣的溫度，r是冷空氣吹出的速率，V是實(shí)驗(yàn)室的體積.求解微分方程，當(dāng)dTdt=0時(shí)平衡溫度為 T平衡=VkTa+rThaveVk+r.

給點(diǎn)任意初始溫度，空調(diào)系統(tǒng)都會(huì)使得室內(nèi)溫度接近T平衡.

三、模型整合

將兩個(gè)模型進(jìn)行結(jié)合，構(gòu)成單個(gè)微分方程描述安裝了HVAC系統(tǒng)的單個(gè)房間的室內(nèi)溫度.通過(guò)利用取值為0和1的分段函數(shù)使得微分方程描述的溫度在這兩個(gè)值之間轉(zhuǎn)換，即 dTdt=k（Ta-T）+step（T）rV（THVAC-T）.

其中step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w.

0，otherwise.

如果室溫上升，達(dá)到Ts+w華氏度時(shí)，分段函數(shù)轉(zhuǎn)換成某個(gè)值（step（t）=1），但是如果室溫下降，達(dá)到Ts-w華氏度時(shí)，分段函數(shù)也會(huì)轉(zhuǎn)換（step（t）=0）.

四、模型推廣

當(dāng)房間數(shù)由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)時(shí)，模型變得復(fù)雜.首先忽略人和計(jì)算機(jī)對(duì)于溫度的影響，則辦公室和實(shí)驗(yàn)室的溫度由下面的方程組表示：

dFdt=k1（Ta-F）+k2（THVAC-F）step（x），

dLdt=k3（Ta-L）+k4（THVAC-L）step（x）.

其中，F(xiàn)是辦公室內(nèi)的溫度，L是實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度，k1 和 k3 分別為辦公室和實(shí)驗(yàn)室的隔熱層，是房間的固有屬性.K2是HVAC系統(tǒng)從室外向辦公室內(nèi)充入的空氣的體積和辦公室的體積之商，即rFVF.K4是HVAC系統(tǒng)從室外向?qū)嶒?yàn)室內(nèi)充入的空氣的體積和實(shí)驗(yàn)室的體積之商，即rLVL.如果恒溫器在辦公室則x等于F，如果恒溫器在實(shí)驗(yàn)室則x等于L.

五、空調(diào)開(kāi)關(guān)

上述模型中還留有空調(diào)的開(kāi)關(guān)問(wèn)題，即step（x）.因?yàn)榭照{(diào)的開(kāi)關(guān)僅僅依賴于放置有恒溫器的房間的溫度，卻控制著所有房間的溫度.以本文為例，恒溫器放在了辦公室內(nèi).在夏季，辦公室和實(shí)驗(yàn)室的溫度都很高，由于辦公室的面積沒(méi)有實(shí)驗(yàn)室大，工作人員和工作電腦沒(méi)有實(shí)驗(yàn)室多.所以，實(shí)驗(yàn)室的溫度高于辦公室內(nèi)的溫度.即L>F.當(dāng)辦公室內(nèi)的溫度大于Ts+w華氏度時(shí)（這時(shí)顯然F也大于Ts+w華氏度），HVAC系統(tǒng)開(kāi)始工作，辦公室和實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的風(fēng)管都開(kāi)始向室內(nèi)充入溫度相同（為THVAC）的冷氣，兩個(gè)房間溫度都開(kāi)始下降，辦公室內(nèi)溫度下降得快.當(dāng)辦公室內(nèi)的溫度達(dá)到甚至低于Ts-w華氏度時(shí)，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度還很高.但是由于開(kāi)關(guān)是根據(jù)辦公室內(nèi)的溫度進(jìn)行判斷，即

所以盡管實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度還很高，HVAC系統(tǒng)還是停止工作.根據(jù)模型一牛頓冷熱原理，辦公室和實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度都開(kāi)始上升，直到辦公室內(nèi)的溫度達(dá)到或高于Ts+w華氏度（此時(shí)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)溫度已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于T_s+w華氏度），HVAC系統(tǒng)再次開(kāi)始工作，如此反復(fù)循環(huán).這就導(dǎo)致了實(shí)際上HVAC系統(tǒng)設(shè)定的舒適溫度（T_s-w華氏度到T_s+w華氏度）只有辦公室內(nèi)溫度才滿足，而實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度始終都很高.

這反映在溫度-時(shí)間圖上，就可以看到實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度始終比辦公室內(nèi)的溫度要高.而在冬季，這剛好相反.所以，這顯然不合理，是系統(tǒng)的一個(gè)缺陷.

六、加 權(quán)

現(xiàn)在我們來(lái)解決問(wèn)題，首先我們?cè)趯?shí)驗(yàn)室和辦公室都安裝溫度傳感器.我們對(duì)F和L進(jìn)行加權(quán)，即T=w₁F+w₂L（w₁+w₂=1）.我們將用T控制HVAC系統(tǒng)的開(kāi)關(guān).確定合適的權(quán)重w₁和w₂后，最終返回給HVAC系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)的將不再是單純的恒溫器所在房間的溫度（在本文中即辦公室內(nèi)的溫度），而是辦公室和實(shí)驗(yàn)室的溫度的加權(quán)，即T=w₁F+w₂L（w₁+w₂=1）.

使得HVAC系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)stepT將由實(shí)驗(yàn)室和辦公室的溫度共同控制，進(jìn)而使實(shí)驗(yàn)室和辦公室的溫度都舒適.最終建立的微分方程組為

dFdt=k1（Ta-F）+k2（THVAC-F）step（T），

dLdt=k3（Ta-L）+k4（THVAC-L）step（T）.

其中 step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w，

0，otherwise.

而其中T=w1F+w2L（w1+w2=1）.

在原先的模型中.在夏季，當(dāng)室內(nèi)溫度X等于或高于Ts+w華氏度時(shí)，HVAC系統(tǒng)開(kāi)始工作，通過(guò)通風(fēng)管向所有房間內(nèi)沖入冷氣，直到X達(dá)到Ts-w華氏度.同樣的，當(dāng)溫度達(dá)到或是低于Ts-w時(shí)，HVAC系統(tǒng)停止工作.在冬季，正好相反.

所以在新建立的模型中，開(kāi)關(guān)中的溫度T=w1F+w2L

即step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w

0，otherwise 將取代原先的STEP（X）.

七、確定權(quán)值

現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定權(quán)重w₁，w₂從而確定T=w₁F+w₂L.T將是通過(guò)溫度傳感器反饋給HVAC系統(tǒng)的溫度數(shù)值.由于HVAC系統(tǒng)的職能就是保證室內(nèi)溫度（即反饋給它的溫度）最終保持在{Ts-w，Ts+w}范圍內(nèi).所以Ts-w≤T≤Ts+w.

下面來(lái)求：F，L

由dLdt=k3（Ta-L）+k4（Thvac-L）·step（x），

dFdt=k1（Ta-F）+k2（Thvac-F）·step（x）.

當(dāng)hvac系統(tǒng)工作時(shí)step（x）=1，則

dLdt=k3（Ta-L）+k4（Thvac-L），

dFdt=k1（Ta-F）+k2（Thvac-F）.

對(duì)上述兩個(gè)常微分方程進(jìn)行求解，解得：

F=e-（k1+k2）t+1/（k1+k2）（k1Ta+k2Thvac），

L=e-（k3+k4）t+1（k3+k4）（k3Ta+k4Thvac）.

所以T=w1F+w2L=w1F+（1-w1）L =w1e-at-e-bt+1k1+k2（k1Ta+k2Thvac）-1k3+k4（k3Ta+k4Thvac）+ e-bt+1k3+k4（k3Ta+k4Thvac）.

由Ts-w≤T≤Ts+w，知

Ts+w-e-bt-k3Ta+k4Thvack3+k4e-at-e-bt+k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4≤w1≤

Ts-w-e-bt-k3Ta+k4Thvack3+k4e-at-e-bt+k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4.

令左式= f（t）， 右式=g（t），則f（t）max≤w1≤g（t）min.

然后通過(guò)求解 確定f（t）max和g（t）min，

Ts+ω-k3Ta+k4Thvack3+k4-1k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4≤ω1≤Ts-ω-k3Ta+k4Thvack3+k4k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4

由w₂=1-w₁可以求得w₂.

上述求解過(guò)程是建立在T=ω₁F+ω₂L中F與L是當(dāng)step（x）=1時(shí)求得的.若當(dāng)step（x）=0時(shí)，即HVAC系統(tǒng)不工作，那就沒(méi)有必要求解w₁，w₂.因?yàn)閣₁，w₂反映在現(xiàn)實(shí)的HVAC系統(tǒng)中具體表現(xiàn)就應(yīng)該是HVAC系統(tǒng)往辦公室和實(shí)驗(yàn)室內(nèi)充入的冷氣的量.只有當(dāng)HVAC系統(tǒng)工作時(shí)，求出的w₁，w₂才有意義.

對(duì)于具體實(shí)驗(yàn)室，上式中的每個(gè)字母都有具體的含義.需要對(duì)應(yīng)具體的環(huán)境得到具體的數(shù)據(jù)，得到具體的w₁，w₂.

八、模型總結(jié)

我們建立的數(shù)學(xué)微分方程模型發(fā)現(xiàn)了HVAC系統(tǒng)中存在的不足，為HVAC系統(tǒng)的完善提供了理論參考，但是鑒于缺少足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)證實(shí)我們建立的模型的合理性，所以建立的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦€不夠完善.模型限制條件不夠多，環(huán)境較為理想化，沒(méi)有足夠模擬現(xiàn)實(shí)條件中的環(huán)境.因此，進(jìn)一步完善和加強(qiáng)我們的模型條件，使其具有一般性，能夠?qū)Υ蠖鄶?shù)HVAC空調(diào)系統(tǒng)有借鑒和參考意義.

【參考文獻(xiàn)】

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