“復(fù)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計與反思

單晨

[摘要]對于“復(fù)數(shù)及其應(yīng)用”內(nèi)容，在各類學(xué)校，針對不同的學(xué)生的教學(xué)方法不同.針對中等專業(yè)學(xué)校的教學(xué)設(shè)計，有其獨特性.

[關(guān)鍵詞]整合活動反思

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）110017

一、教材分析

“復(fù)數(shù)及其應(yīng)用”是江蘇省教育出版社鳳凰職教《數(shù)學(xué)》第四冊第17章的內(nèi)容.本章是在整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的基礎(chǔ)上的總結(jié)與擴展，在學(xué)習(xí)過整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的概念和運算，一次方程和一元二次方程、平面直角坐標(biāo)系后，再介紹平面向量、任意角的三角值等知識的基礎(chǔ)上介紹了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算、復(fù)數(shù)的幾何意義、三角形式和三角形式的乘除、乘方運算.對于職業(yè)學(xué)校的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)一些復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識是十分必要的，這不僅使學(xué)生可以對數(shù)的概念有一個較為完整的認(rèn)識，而且也為運用數(shù)學(xué)知識解決問題增添了工具，同時復(fù)數(shù)知識還為某些專業(yè)知識打下了基礎(chǔ).

本章所介紹的復(fù)數(shù)內(nèi)容是學(xué)生以前沒有接觸過的全新的內(nèi)容，但復(fù)數(shù)的概念是實數(shù)概念的擴展.復(fù)數(shù)的運算遵循實數(shù)運算的運算律和運算順序.為了使學(xué)生順利地掌握本章的內(nèi)容，教材突出了復(fù)數(shù)的概念、運算與實數(shù)的概念、運算之間的類比，即類比實數(shù)的概念和性質(zhì)講復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)；類比平面直角坐標(biāo)系講復(fù)平面；類比實數(shù)的運算講復(fù)數(shù)的運算，注意知識的發(fā)生、發(fā)展過程.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是對數(shù)學(xué)知識的一種特殊認(rèn)識過程，這一認(rèn)識過程也必須遵循從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，又從理性認(rèn)識到實踐的過程，這個過程反映到對具體知識的編排上，那就是要從實際事例的分析中或者對已有知識的分析、推理中引入新的概念，通過觀察、比較、分析、抽象、概括得出結(jié)論.

因為我任課的班級是服裝專業(yè)，所以略去了極坐標(biāo)形式的介紹和電學(xué)的相關(guān)內(nèi)容.另外也刪除了太過專業(yè)的指數(shù)形式.所以將原來書中的四節(jié)重新整合成如下三塊：

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的概念和運算，一元一次方程和一元二次方程、平面直角坐標(biāo)系，平面向量、任意角三角值等知識，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)欠扎實，知識遺忘較快，個體差異十分明顯.學(xué)生對數(shù)的概念已經(jīng)擴充到實數(shù)，也已清楚各種數(shù)集之間的包含關(guān)系等內(nèi)容，但知識是零碎、分散的，他們對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認(rèn)識，知識體系還未形成.另一方面，學(xué)生對方程解的問題會默認(rèn)為在實數(shù)集中進(jìn)行.學(xué)生探索分析、解決問題的能力不強，對舊知識的掌握持久時間相對來說比較短，計算能力還有待提高.而文科類女生思維靈活性不是特別好，對知識間的聯(lián)系，在理解和應(yīng)用上有一定難度，反應(yīng)速度相對較慢，學(xué)習(xí)習(xí)慣有待改善.比如完成作業(yè)后學(xué)生對正確答案的求知欲很低.大多數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣需要培養(yǎng)，自信心要增強.有些學(xué)生情緒化特征較明顯，如一得到表揚肯定，易喜形于色.她們有學(xué)好數(shù)學(xué)的想法，喜歡老師指導(dǎo)她們課前復(fù)習(xí)，課堂多提一些關(guān)聯(lián)性的小問題串起學(xué)習(xí)的內(nèi)容.她們在教師的引導(dǎo)下能夠跟著思考，能夠聽懂基本內(nèi)容.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能.理解復(fù)數(shù)的幾何意義；會用復(fù)平面內(nèi)的點和向量來表示復(fù)數(shù)，了解它們之間一一對應(yīng)的關(guān)系；知道實軸、虛軸上及各象限內(nèi)的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的特征；掌握復(fù)數(shù)的模、輻角的概念及其計算公式，會用計算器求復(fù)數(shù)的模和輻角；理解復(fù)數(shù)的三角形式的定義，會進(jìn)行代數(shù)形式和三角形式之間的轉(zhuǎn)化；掌握復(fù)數(shù)三角形式的乘除和乘方運算.

2.過程與方法.滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題的能力；通過用復(fù)數(shù)的模和輔角來表示復(fù)數(shù)的實部和虛部，使得新舊知識結(jié)合；通過類比知道在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除及乘方運算時采用三角式使計算變得簡便，通過由兩個三角形式的復(fù)數(shù)相乘拓展到多個三角形式的復(fù)數(shù)相乘，再到特殊的多個相同復(fù)數(shù)的三角形式相乘得到棣莫弗定理.

3.情感、態(tài)度與價值觀.引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問題，提出觀點，驗證結(jié)論，促使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)思維品質(zhì)；充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增加學(xué)生的求知欲；注意觀察、發(fā)現(xiàn)、對比、分析和歸納.

四、教學(xué)重點難點

1.重點.復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值，理解復(fù)數(shù)的三角形式的定義，復(fù)數(shù)三角式的乘除.

2.難點.復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式，非標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)數(shù)三角形式化成標(biāo)準(zhǔn)的三角形式.

五、教學(xué)過程設(shè)計

第一環(huán)節(jié)設(shè)置了三個問題：

問題1對于復(fù)數(shù)a+bi和c+di（a，b，c，d∈R），你認(rèn)為滿足什么條件時，這兩個復(fù)數(shù)相等？（a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復(fù)數(shù)相等）

問題2若把a，b看成有序?qū)崝?shù)對（a，b），則（a，b）與復(fù)數(shù)a+bi是怎樣的對應(yīng)關(guān)系？有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點是怎樣的對應(yīng)關(guān)系？（一一對應(yīng)關(guān)系）

問題3類比實數(shù)的性質(zhì)，你能否找到用來表示復(fù)數(shù)的幾何模型？還能得出復(fù)數(shù)其他的一些性質(zhì)嗎？

學(xué)生通過回憶、猜測、回答，小組討論達(dá)成共識：確定一個復(fù)數(shù)的條件是什么，以有序?qū)崝?shù)對為橋梁在復(fù)數(shù)和點之間建立聯(lián)系，教師啟發(fā)學(xué)生類比實數(shù)的性質(zhì)找到復(fù)數(shù)的幾何模型，引出新課，以學(xué)生熟悉的知識為載體，采用類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生對比、思考，調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性和主動性.再小組合作討論，這樣可以活躍課堂氣氛，拓展思維寬度，從而使新課更加順理成章地展開.

教師借助PPT給出復(fù)平面的概念，這里設(shè)計了兩個活動.

活動1學(xué)生前后四人為一個小組討論思考，上黑板標(biāo)點，鞏固復(fù)平面的概念、復(fù)數(shù)與點之間一一對應(yīng)的關(guān)系，由特殊到一般的引導(dǎo)學(xué)生理解實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，理解實軸是一條直線，虛軸是除去原點外的y軸.

活動2請學(xué)生兩人一組為單位，小組合作，一個給出復(fù)數(shù)，另一個畫出向量OZ.在活動中進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合，加深理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點.起點為原點、終點為Z的向量，它們之間一一對應(yīng)的關(guān)系.設(shè)計的活動讓學(xué)生參與性更強，來自學(xué)生的例子“更鮮活有生命力”.

學(xué)生通過歸納得到復(fù)數(shù)的幾何意義，這里我又設(shè)計了一個比學(xué)趕幫的活動.

活動3（1）在復(fù)平面內(nèi)，分別用點和向量表示下列復(fù)數(shù)：4；2+i；-1+3i；3-2i；-i.

（2）“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi（a、b∈R）所對應(yīng)的點在虛軸上”的（ ）.

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

（3）復(fù)平面內(nèi)，表示一對共軛復(fù)數(shù)的兩個點具有怎樣的位置關(guān)系？第二象限的點表示的復(fù)數(shù)有何特征？第三、第四象限呢？

學(xué)生由活動1、2歸納復(fù)數(shù)的幾何意義，過渡自然不唐突.活動3中的（1）是強調(diào)三者之間的關(guān)系；（2）是強調(diào)虛軸上點對應(yīng)的復(fù)數(shù)實部有什么特征；（3）是從共軛復(fù)數(shù)以及象限內(nèi)點的角度強調(diào)他們所對應(yīng)的點和復(fù)數(shù)有什么特征，這樣多個角度的練習(xí)可以有效地解決學(xué)生理解復(fù)數(shù)幾何意義時所遇到的困難.

在復(fù)數(shù)幾何意義的基礎(chǔ)上提出問題1，請學(xué)生思考從向量模的角度解釋，教師引導(dǎo)學(xué)生注意復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系，自然引出復(fù)數(shù)的模的概念.

此處設(shè)計一個比學(xué)趕幫的活動.

活動4

（1）已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=-1+5i，試比較它們模的大小.

（2）P71思考交流：說出1、i、-1、-i的模.

（3）若復(fù)數(shù)z=3a-4ai（a<0），則其模長為.

（4）P72問題解決1：模相等的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)形成一個什么樣的圖形？|z|=2呢？

問題1：這里提出來是為了從向量的角度來理解虛數(shù)為什么不能比大小，自然引出復(fù)數(shù)的模的概念.（1）（2）是為了理解復(fù)數(shù)模的概念設(shè)計的（學(xué)生口答）（3）包含了含字母的負(fù)數(shù)開方的問題，這是前面我們學(xué)生掌握不扎實的難點，這里結(jié)合模的概念進(jìn)一步鞏固，（4）是為了加深學(xué)生對復(fù)數(shù)模的理解，強調(diào)模相等的復(fù)數(shù)不一定是相等復(fù)數(shù)，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想.由活動4拋出問題2，引出復(fù)數(shù)輻角的概念.通過如何在直角坐標(biāo)系里表示角強調(diào)輻角不唯一.和學(xué)生一起完成如何在直角坐標(biāo)系里畫角，這是大家熟悉的知識，可以營造大家齊聲回答問題的氛圍，活躍課堂氣氛.

由輻角都是終邊相同的角不唯一給出輻角主值的范圍，進(jìn)行相關(guān)的約定規(guī)定.這里我設(shè)計了活動5.

活動5畫出1、i、-1、-i的輻角，學(xué)生以小組為單位協(xié)作討論正實數(shù)、負(fù)實數(shù)、純虛數(shù)的輻角是多少？思考P72問題解決2輔角相等的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)形成一個什么樣的圖形？推薦代表回答.

活動5引導(dǎo)學(xué)生主動由特殊到一般的歸納正實數(shù)、負(fù)實數(shù)、純虛數(shù)的輻角，再來思考問題解決2，銜接自然流暢.這樣可以有效地鞏固輻角主值的概念，強調(diào)一個復(fù)數(shù)的輻角主值是唯一的，但是沒有一一對應(yīng)的關(guān)系.

由活動5的歸納設(shè)計活動6.

活動6引出實虛部都不為0的復(fù)數(shù)的輻角該如何得到是很自然的.將實虛部都不為0的復(fù)數(shù)分成兩類來求輻角條理上顯得十分清楚.對于第一類如按計算器有些情況只能得到近似值，而且通過數(shù)形結(jié)合解決第一種情況是很有必要掌握的.對于方法2，教材是一句話帶過，而且教材中出現(xiàn)的位置個人認(rèn)為十分不合適，新的計算器完全可以更有效率地解決這種情況下輻角的問題，沒必要這樣計算了，可以略過不講.

六、教學(xué)反思

這節(jié)課是從學(xué)生熟悉的實數(shù)與實軸上的點一一對應(yīng)入手，分組讓學(xué)生來回憶、小結(jié)本課的內(nèi)容，再請代表小結(jié)本組成員的發(fā)言.一是體現(xiàn)了以學(xué)生為主的思想；二是讓學(xué)生主動回憶，能起到非常好的效果，比教師單一的小結(jié)來得更好.課堂教學(xué)中，要注意對學(xué)生的課堂回答、練習(xí)進(jìn)行及時的評價；小組討論點評；通過對學(xué)生投入學(xué)習(xí)程度的觀察，判斷學(xué)生掌握的情況，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度.設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問題，激發(fā)學(xué)生連續(xù)的思考；緊扣概念設(shè)計改題，層層遞進(jìn)，開拓思維；引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，使其通過數(shù)形結(jié)合理解復(fù)數(shù)的幾何意義；對復(fù)數(shù)分成兩類求輻角主值，這是亮點.學(xué)生對于復(fù)數(shù)幾何意義的理解設(shè)計前我估計到了這個困難，通過課堂練習(xí)、課后作業(yè)的反饋，大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)效果能達(dá)到要求，比我預(yù)想的要好.

（責(zé)任編輯黃桂堅）