名題恒久遠 經(jīng)典永流傳*
——2021年全國乙卷(理)第21題的源與流

陳熙春 (廣西省寧夏六盤山高級中學 750002)

近年來的高考試題中,涌現(xiàn)了許多數(shù)學經(jīng)典名題,其背景新穎、立意高遠、設問巧妙，猶如一顆顆閃耀的明珠,璀璨奪目,形成了一道亮麗的風景線.2021年高考全國乙卷理科數(shù)學第21題的命題背景正是阿基米德三角形及其性質(zhì).

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形通常稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形以其深刻的背景、豐厚的內(nèi)涵產(chǎn)生了無窮的魅力.歷經(jīng)千年，阿基米德三角形仍然受到高考命題者的青睞．熟練掌握阿基米德三角形的基本性質(zhì),可以快速地解決相關問題,有利于幫助學生總結(jié)規(guī)律、拓展思維、提高能力.

1 真題呈現(xiàn)

例(2021年全國乙卷理科第21題)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上的點的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點P在圓M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求△PAB面積的最大值.

分析 (1)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關于p的等式，即可解出p的值.

(2)設點A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)．利用導數(shù)求出直線PA與PB的方程，進一步可求得直線AB的方程,將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,求出|AB|以及點P到直線AB的距離,利用三角形的面積公式,結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得△PAB面積的最大值.

(2)思維角度1：利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

思維角度2：割補法.利用化歸思想,利用中線對面積進行轉(zhuǎn)化,把△PAB的面積轉(zhuǎn)化為兩個小三角形的面積之和．

思維角度3：“算兩次”思想.

解法3 從不同角度分別計算點P的坐標．

2 阿基米德三角形探究

阿基米德三角形的性質(zhì),以拋物線x2=2py(p>0)為例．如圖1，拋物線上兩個不同的點A，B的坐標分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，以A，B為切點的切線PA，PB相交于點P,我們稱弦AB為阿基米德三角形PAB的底邊．

圖1

(2)底邊AB所在的直線方程為(x1+x2)x-2py-x1x2=0．

(3)設點P的坐標為(x0,y0),則底邊AB所在的直線方程為x0x-p(y-y0)=0．

從而可得：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸．

證法2 (同構(gòu)法)易得直線PA的方程為x1x-py1-py=0，直線PB的方程為x2x-py2-py=0，又直線PA,PB經(jīng)過點P(x0,y0),故x1x0-py1-py0=0，x2x0-py2-py0=0,則AB所在直線的方程為x0x-p(y-y0)=0.

圖2

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊(即弦AB)過拋物線內(nèi)定點C(xC,yC)，則另一頂點P的軌跡為一條直線,其方程為xCx-p(y+yC)=0.

特殊地,當定點C在y軸上時，由性質(zhì)2可得如下推論.

推論若阿基米德三角形的底邊(即弦AB)過拋物線內(nèi)定點C(0,m)(m>0)，那么

(1)另一頂點P的軌跡方程為y=-m；

(4)AP⊥BP；(5)PF⊥AB；

(6)△PAB面積的最小值為p2.

下面只證明結(jié)論(6)．

性質(zhì)3在阿基米德三角形中，∠PFA=∠PFB.

圖3

同理可證|PB′|= |PF|,∠PB′B=∠PFB.所以|PA′|=|PB′|= |PF|.即∠PA′B′=∠PB′A′.

所以∠PA′A=∠PA′B′+90°=∠PB′A′+90°=∠PB′B,即∠PFA=∠PFB.

3 往年高考試題鏈接

(1)證明：直線AB過定點；

例2(2005·江西卷理第22題)設拋物線C:y=x2的焦點為F，動點P在直線l:x-y- 2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點.

(1)求△APB的重心G的軌跡方程；

(2)證明:∠PFA=∠PFB.

分析 第一問是典型的利用“相關點法”求動點軌跡方程的問題,先利用性質(zhì)1求出點P的坐標，再利用點P與點G坐標之間的關系就可得出重心G的軌跡方程.第二問本質(zhì)為阿基米德三角形性質(zhì)3，可參考性質(zhì)3的幾何證法,具體解法略.

(2)設△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值.

例4(2008·山東卷理第22題)如圖4，設拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點,過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．

圖4

(1)求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列．

分析 第一問考查了阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸這一性質(zhì).第二問考查了性質(zhì)1中的底邊AB所在的直線方程.第三問考查了阿基米德三角形中的坐標之間的關系.

例5(2007·江蘇卷理第19題)在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A，B兩點，一條垂直于x軸的直線分別與線段AB和直線l:y=-c交于P,Q．

(2)若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線．

(3)試問(2)的逆命題是否成立？說明理由．

分析 第二、三問考查了拋物線的切線問題及阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸這一性質(zhì)．

(1)求曲線C的方程．

(2)動點Q(x0,y0)(-2

分析 第二問考查了阿基米德三角形的面積問題,也可以用性質(zhì)1的推論2來解決.

高考試題凝聚了眾多命題專家的集體智慧,對中學教學起著“引導教學一面旗”的作用.對于如何高效地進行高考備考,高考試題具有極高的研究價值,可以達到博觀而約取、厚積而薄發(fā)的目的.由阿基米德三角形改編生成的高考題還出現(xiàn)在2013年廣東卷、江蘇卷、遼寧卷,2006年重慶卷、湖北卷等.由此可見,歷經(jīng)千年的經(jīng)典名題——阿基米德三角形,蘊涵著博大精深的數(shù)學思想方法,依舊煥發(fā)出勃勃生機,猶如星光璀璨的明珠,點綴著美麗的數(shù)學天空,閃耀著數(shù)學家智慧的光芒.真可謂“名題恒久遠,經(jīng)典永流傳”.