牛頓第二定律中a與F/m成正比的推理

王琴平

一、引言

牛頓第二定律是高一物理最重要的規(guī)律之一，它是聯(lián)系力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要橋梁。對(duì)于牛頓第二定律規(guī)律的教學(xué)，大部分老師都是把只它看做實(shí)驗(yàn)規(guī)律，并要求同學(xué)們記住該結(jié)論，或默認(rèn)它的正確性再采用控制變量法去驗(yàn)證它。然而，這并不符合我們認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的一般過(guò)程。對(duì)于陌生的未知規(guī)律，它的呈現(xiàn)形式有多種可能性。對(duì)于未知的規(guī)律，我們往往是從經(jīng)驗(yàn)和已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上先對(duì)其進(jìn)行合理的猜想，再通過(guò)數(shù)學(xué)邏輯推理或?qū)嶒?yàn)的方法去驗(yàn)證我們的猜想是否正確。

二、猜想與探究實(shí)驗(yàn)

在闡述牛頓第二定律之前有兩個(gè)重要的探究實(shí)驗(yàn)，第一個(gè)是探究加速度與質(zhì)量的關(guān)系，第二個(gè)探究加速度與合外力的關(guān)系。從生活經(jīng)驗(yàn)的角度出發(fā)，我們很容易看出如果用相同的合外力分別啟動(dòng)火車、汽車、摩托車，他們獲得的加速度不同，質(zhì)量最小的摩托車獲得加速度最大，質(zhì)量較大的火車獲得的加速度最小，因此我們猜想在合外力相同的情況下，加速度和質(zhì)量成反比。對(duì)于同一種車，用不同大小的合力去啟動(dòng)，合力越大，獲得的加速度越大，由此我們猜想，在質(zhì)量不變的情況下，加速度和合力成正比。通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了我們猜想的正確性。

三、數(shù)學(xué)推理

然而，我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證加速度a與質(zhì)量m成反比，與合力F成正比后，我們并不是很輕易的可以得出a與F/m成正比的結(jié)論。從學(xué)生初中的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備出發(fā)，加速度a與質(zhì)量m成反比，可寫成數(shù)學(xué)表達(dá)ma=k1 ①（其中k1和m無(wú)關(guān)）

加速度與合外力成正比，可寫成數(shù)學(xué)表達(dá)a=k2 F ②

（其中k2和F無(wú)關(guān)）

聯(lián)立 ① ② 我們可以得到ma2=k1k2 F，a2=k1k2 F/m

似乎得到a2與F/m 成正比的結(jié)論，而與粵教版教材91頁(yè)中的a與F/m 成正比的結(jié)論相違背。難道是牛頓第二定律的結(jié)論錯(cuò)了么？

牛頓第二定律沒(méi)錯(cuò)，而是我們推導(dǎo)時(shí)容易忽視隱含信息，其中k1是和m無(wú)關(guān)，但卻是合力F的函數(shù)，在F一定的情況下，k1 才是確定的。而k2和F無(wú)關(guān)，但卻是m的函數(shù)，只有在m一定的情況下，k2才是確定的。因此，當(dāng)m或F在變化的時(shí)候，k1k2 不再是與F/m無(wú)關(guān)的常數(shù)。因此不能得出a2與F/m 成正比的結(jié)論。那要怎樣就能得出a與F/m 成正比的結(jié)論呢？

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們加速度a是合外力F和質(zhì)量m的二元函數(shù)，由此a=f（F，m），由實(shí)驗(yàn)規(guī)律：在質(zhì)量一定的情況下，加速度與合力成正比，我們可以得到a=g（m）F （g（m）是關(guān)于質(zhì)量的函數(shù)，與F無(wú)關(guān)）;

由實(shí)驗(yàn)規(guī)律：在合力一定的情況下，加速度與質(zhì)量成反比，我們可以得到：a=h（F）/m （h（F）是合外力的函數(shù)，與m無(wú)關(guān)）;

由此我們得到 g（m）m=h（F）/F

方程左邊與F無(wú)關(guān)，式子右邊與m無(wú)關(guān)。

那么我們可以得出結(jié)論g（m）m=h（F）/F=k

（其中k是和m、F均無(wú)關(guān)的常數(shù)）

由此我們可以求出g（m）= k/m，h（F）=kF，因此a=kF/m

即加速度a與F/m 成正比，教材結(jié)論正確。