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    一種證明引力大小與質(zhì)量乘積成正比的數(shù)學(xué)方法*

    2016-10-25 02:31:32何春生
    物理通報(bào) 2016年7期
    關(guān)鍵詞:成正比開普勒乘積

    何春生

    (北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

    ?

    一種證明引力大小與質(zhì)量乘積成正比的數(shù)學(xué)方法*

    何春生

    (北京市第八十中學(xué)北京100102)

    若z=k1x,z=k2y,兩式相乘可得z2=k1k2xy.貌似可以得到z2與xy的乘積成正比.可在高中物理教材上,在行星與太陽間引力大小的推導(dǎo)中,由圓周運(yùn)動知識、開普勒定律和牛頓第三定律得出:引力大小與行星質(zhì)量成正比,與太陽的質(zhì)量成正比,可結(jié)論卻是引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比,這是為什么呢?

    萬有引力大小成正比牛頓第三定律

    1 問題的提出

    關(guān)于萬有引力大小,現(xiàn)行人教版教材《物理·必修2》和教科版教材《物理·必修2》的處理方式幾乎相同.將行星的運(yùn)動軌跡簡化為圓,將行星繞太陽的運(yùn)動簡化為勻速圓周運(yùn)動.認(rèn)為太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運(yùn)動的向心力.結(jié)合圓周運(yùn)動和開普勒第三定律,推導(dǎo)出太陽對行星的引力與行星的質(zhì)量成正比,與它們之間的距離的平方成反比.即

    (1)

    然后指出:從相互作用的角度來看,行星與太陽的地位相同,所以太陽所受的引力也應(yīng)與太陽的質(zhì)量成正比,與它們距離的平方成反比.即

    (2)

    根據(jù)牛頓第三定律有

    F=F′

    (3)

    所以

    (4)

    由式(1)、式(2)和式(3)真的能導(dǎo)出式(4)嗎?引力大小與太陽的質(zhì)量成正比,與行星的質(zhì)量也成正比,就一定能證明引力大小與二者質(zhì)量的乘積成正比嗎?

    關(guān)于引力和兩天體的質(zhì)量關(guān)系,有學(xué)生做過這樣的推導(dǎo).設(shè)在r不變的情況下,若將式(1)和式(2)變?yōu)榈仁?,分別表述為

    F=k1m

    (5)

    F′=k2M

    (6)

    將(5)、(6)兩式相乘可得

    F2=k1k2Mm

    (7)

    從式(7)中不難看出F不是與M,m的乘積成正比,而是F與M,m的乘積的平方根成正比.問題出在哪兒?是萬有引力定律出問題了嗎?

    2 錯因分析

    該同學(xué)的推導(dǎo)過程貌似合理.但實(shí)際上只有當(dāng)k1,k2與M,m無關(guān),相對M,m獨(dú)立時(shí),他的推導(dǎo)過程才能成立.而k1,k2真的與M,m無關(guān)嗎?

    我們回顧一下式(1)推導(dǎo)過程:

    若認(rèn)為行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)向心力公式有

    (8)

    由根據(jù)開普勒第三定律有

    (9)

    聯(lián)立(8)、(9)兩式可得

    (10)

    所以

    因?yàn)槭?9)中k與太陽的質(zhì)量有關(guān),可見在r不變的情況下,式(5)中k1與M有關(guān),是M的函數(shù).同樣的道理,可見在r不變的情況式(6)中k2也與m有關(guān),是一個(gè)關(guān)于m的函數(shù).所以上述學(xué)生的推導(dǎo)是有問題的.

    3 一種解決問題的辦法

    在r不變時(shí),可將中心天體對行星的引力大小表述為

    F=f1(M)m

    (11)

    同理也可將行星對中心天體的引力表述為

    F′=f2(m)M

    (12)

    因?yàn)镕與F′為相互作用力,所以

    F=F′

    (13)

    聯(lián)立式(11)、(12)和(13)可得

    又因?yàn)楫?dāng)m為某一定值時(shí),f2(m)也為定值,所以

    f1(M)∝M

    代入式(11),可得F∝Mm

    所以在兩物體間距離不變時(shí),萬有引力的大小與兩物體的質(zhì)量乘積成正比,而不是與兩物體質(zhì)量乘積的平方根成正比.

    同樣可以看出在兩天體間距離不變時(shí),萬有引力大小與兩天體的質(zhì)量乘積成正比.

    2016-02-29)

    *北京市中小學(xué)名師發(fā)展工程首都師范大學(xué)基地成果.

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    讀者(2014年9期)2014-05-14 11:40:52
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