對(duì)《對(duì)教科書(shū)上分期付款問(wèn)題算法的質(zhì)疑》一文的商榷

周天明

全日制普通中學(xué)教科書(shū)（必修）《數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）》（2006年人民教育出版社）第144—145頁(yè)的“研究性學(xué)習(xí)課題：數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用”中，提出問(wèn)題：一般地，采用等額本息分期付款方式貸款a元，m個(gè)月將貸款全部付清，月利率為r，那么每月付款額的計(jì)算公式是什么？在配套的《教師教學(xué)用書(shū)》上，給出以上問(wèn)題的解答：

（1）起初的貸款a元到第m個(gè)月末產(chǎn)生的本利和是a（1+r）m；

（2）設(shè)每月末均還款x元，則第1，2，…，m-1，m個(gè)月末的還款x元到第m個(gè)月末所得的本利和分別是x（1+r）m-1，x（1+r）m-2，…，x（1+r），x元，所以所有還款到第m個(gè)月末產(chǎn)生的本利和是x（1+r）m-1+x（1+r）m-2+…+x（1+r）+x=x·（1+r）m-1r元.

（3）由公平原則，得a（1+r）m=x·（1+r）m-1r，x=ar（1+r）m（1+r）m-1，即每月末均應(yīng)還款ar（1+r）m（1+r）m-1元.

文[1]對(duì)上述解法提出質(zhì)疑，認(rèn)為第（1）步?jīng)]有問(wèn)題，但第（2）步中的m次還款到第m個(gè)月末的利息應(yīng)按存款算但以上是按貸款算的（一般來(lái)說(shuō)，期限相同的存款利率比貸款利率低），并且期限增加時(shí)利率不會(huì)降低（存款、貸款都是如此），但以上m次還款的存款利息的利率均是按更長(zhǎng)期限的m個(gè)月的貸款利息的利率算的，所以第（3）步的等式是沒(méi)有理由的，得到的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是a（1+r）m>x·（1+r）m-1r，x>ar（1+r）m（1+r）m-1.即等額還款時(shí)每月末的還款額應(yīng)當(dāng)多于ar（1+r）m（1+r）m-1元，以上算法使得銀行（國(guó)家）吃虧了.

筆者經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考，認(rèn)為文[1]所提的質(zhì)疑是錯(cuò)誤的.實(shí)際上，第1個(gè)月末還款x元后，銀行不應(yīng)該再對(duì)這x元，按月利率為r收m-1個(gè)月的利息，但a（1+r）m中顯然仍然對(duì)這x元，按月利率為r收m-1個(gè)月的利息.為了公平，左邊必須考慮將這已還款的x元看作“客戶(hù)貸款給銀行”m-1個(gè)月，而不能將這x元看作“客戶(hù)存款給銀行”m-1個(gè)月，因此這里用貸款的利率算是合理的，而用存款的利率反而不合理，也不公平.

為了更好地說(shuō)明這樣算的合理性，下面我們采取直接法來(lái)計(jì)算每月付款額的計(jì)算公式.

觀察一下，可以發(fā)現(xiàn)上述等式與《教師教學(xué)用書(shū)》上所給解法，所得的等式是一致的.這樣充分說(shuō)明了兩邊都用貸款利率才是合理的，不存在銀行（國(guó)家）吃虧的問(wèn)題.

文[1]中所給的問(wèn)題1和問(wèn)題2的解答，顯然也都是錯(cuò)誤的.

參考文獻(xiàn)

[1]甘志國(guó).對(duì)教科書(shū)上分期付款問(wèn)題算法的質(zhì)疑[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（7）.