摭談數(shù)學(xué)選修課“九連環(huán)”教學(xué)

俞昕

近年浙江省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比別出心裁，全部課題選自于教材中的“閱讀與思考”欄目，執(zhí)教教師向我們展示了一堂堂精彩的選修課程教學(xué).下面筆者以“九連環(huán)中的數(shù)學(xué)”為例談?wù)剶?shù)學(xué)選修課程的教學(xué).1教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介

1.1教學(xué)目標(biāo)

基本目標(biāo)

知識(shí)技能方面：（1）理解用化歸、遞歸、類(lèi)比、函數(shù)等思想解決九連環(huán)計(jì)數(shù)問(wèn)題的方法；（2）能在具體問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的遞推關(guān)系.

過(guò)程方法方面：（1）經(jīng)歷動(dòng)手操作、探索規(guī)則、提出問(wèn)題、建立模型、解決問(wèn)題、方法應(yīng)用的學(xué)習(xí)過(guò)程；（2）體會(huì)求解過(guò)程中的化歸、遞歸、類(lèi)比、函數(shù)、歸納等思想方法.

情感態(tài)度價(jià)值觀：（1）通過(guò)了解九連環(huán)的歷史，讓學(xué)生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感；（2）通過(guò)學(xué)生課前、課內(nèi)、課后自主、合作探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神；（3）通過(guò)九連環(huán)計(jì)數(shù)數(shù)列使學(xué)生感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)踐并應(yīng)用于實(shí)踐.

發(fā)展目標(biāo)

（1）掌握通過(guò)遞推公式求解通項(xiàng)公式的基本方法；（2）了解九連環(huán)與格雷碼的關(guān)系.

1.2教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介

整個(gè)教學(xué)過(guò)程包括：介紹歷史，引入新課；認(rèn)識(shí)連環(huán)，提出問(wèn)題；探究規(guī)律，解決問(wèn)題；應(yīng)用新知，解新問(wèn)題；反思解法，提新問(wèn)題；妙用連環(huán)，變化無(wú)窮；交流收獲，分享無(wú)限.其中主要環(huán)節(jié)是：認(rèn)識(shí)連環(huán)，提出問(wèn)題；探究規(guī)律，解決問(wèn)題；應(yīng)用新知，解新問(wèn)題.

認(rèn)識(shí)連環(huán)，提出問(wèn)題（1）介紹九連環(huán)的結(jié)構(gòu).（2）歸納解環(huán)規(guī)則.課前進(jìn)行學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)班級(jí)里只有少數(shù)學(xué)生精通九連環(huán)，大部分學(xué)生對(duì)其知之甚少，因此讓學(xué)生在課前進(jìn)行小組合作，探究解環(huán)規(guī)則，在課內(nèi)進(jìn)行交流：要想下/上第n個(gè)環(huán)（n>2），必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①第n-1個(gè)環(huán)在環(huán)柄上；②前n-2個(gè)環(huán)全不在環(huán)柄上.（3）描述連環(huán)狀態(tài).教師提示學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)中的“二進(jìn)制”表示連環(huán)狀態(tài)：在柄上記為1，在柄下記為0.（4）明確任務(wù)，提出問(wèn)題.教師向?qū)W生明確任務(wù)：解九連環(huán)就是將九連環(huán)從滿(mǎn)貫狀態(tài)111111111變到零狀態(tài)000000000.教師提問(wèn)：在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中有什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？解九連環(huán)（從滿(mǎn)貫狀態(tài)到零狀態(tài)）最少需要多少步？

探究規(guī)律，解決問(wèn)題（1）討論解決方案.（2）解三連環(huán)、四連環(huán).（3）解五連環(huán)比賽，分享經(jīng)驗(yàn).讓學(xué)生以小組為單位解五連環(huán)，操作：將五連環(huán)從“滿(mǎn)貫狀態(tài)”變成“零狀態(tài)”.記錄：五連環(huán)經(jīng)過(guò)哪些變化狀態(tài)？探究：上述變化過(guò)程中有什么規(guī)律？并請(qǐng)每個(gè)小組派代表上臺(tái)比賽解五連環(huán).（4）類(lèi)比得解九連環(huán)過(guò)程.建立模型，解決問(wèn)題.自主探究：如何將九連環(huán)從“滿(mǎn)貫狀態(tài)”變成“零狀態(tài)”？an=an-1+2an-2+1n>2，a1=1，a2=2，a3=5，a4=10，a5=21，a6=a5+2a4+1=42，a7=a6+2a5+1=85，a8=a7+2a6+1=170，a9=a8+2a7+1=341，因此解九連環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)341步.（5）回顧反思.回顧解決問(wèn)題運(yùn)用的思想方法：化歸、遞歸、類(lèi)比、函數(shù)、歸納.

應(yīng)用新知，解新問(wèn)題（1）華生問(wèn)題.上個(gè)世紀(jì)70年代早期，美國(guó)一家生產(chǎn)玩具的公司老板杰西華生提出這樣一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)九連環(huán)的初始狀態(tài)是只有最靠近柄把的一個(gè)環(huán)在柄上，其他所有的環(huán)都在柄下，問(wèn)解開(kāi)這個(gè)九連環(huán)最少需要多少步？請(qǐng)同桌討論解決，并請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)展示他解決的成果.2課例分析

2.1穿越古今的數(shù)學(xué)玩具

曾在北京召開(kāi)的第24屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的主席吳文俊院士興致勃勃地參觀北京中國(guó)科技館古典數(shù)學(xué)玩具展時(shí)，詳細(xì)詢(xún)問(wèn)各種玩具體現(xiàn)的玩法和數(shù)學(xué)原理.對(duì)九連環(huán)等玩具表示極大興趣.他連聲說(shuō)：“太有意思了，高深的數(shù)學(xué)在這里變得如此簡(jiǎn)單有趣，太奇妙了！”他還說(shuō)：“有人說(shuō)，數(shù)學(xué)枯燥，其實(shí)數(shù)學(xué)并不枯燥，它是生動(dòng)的、形象的、豐富多彩的.我們的祖先把玩具和數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造出數(shù)學(xué)玩具.使玩具有了數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)，使數(shù)學(xué)有了玩具的形象載體：珠聯(lián)璧合，相得益彰，真是太好了！”本節(jié)課正是抓住了九連環(huán)是一種穿越古今、流行中外的數(shù)學(xué)玩具，讓學(xué)生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.

但筆者認(rèn)為通過(guò)九連環(huán)這一載體還可以繼續(xù)讓學(xué)生反思.比如執(zhí)教教師將解九連環(huán)與二進(jìn)制聯(lián)系起來(lái)，又與格雷碼聯(lián)系起來(lái)，由此可以再做一些文章.令人驚奇的是，如果我們把九連環(huán)的解環(huán)過(guò)程調(diào)整為每次只改變一個(gè)環(huán)，即1、2號(hào)環(huán)不同時(shí)上、下，則九連環(huán)的解環(huán)過(guò)程用二進(jìn)制數(shù)表達(dá)出來(lái)就是格雷碼.把九連環(huán)從狀態(tài)000000000變到狀態(tài)111111111，再變到狀態(tài)100000000，就恰好得出整個(gè)九位格雷碼.因此人們自然作出這樣的猜測(cè)：格雷碼是受九連環(huán)解法的啟發(fā)而得出的.九連環(huán)傳到西方已有幾百年，作為數(shù)學(xué)家，格雷很可能讀過(guò)有關(guān)九連環(huán)的著作，因此這一猜測(cè)是很合理的.包括國(guó)外的很多數(shù)學(xué)家將九連環(huán)中的數(shù)學(xué)上升為數(shù)學(xué)理論.由此看到，我們的祖先不乏天才的創(chuàng)見(jiàn)，卻不能將其上升到理論，后一工作往往由西方學(xué)者來(lái)實(shí)現(xiàn).更令人感到嘆息的是，像九連環(huán)這類(lèi)具有卓越教育功能的寶貴遺產(chǎn)，在當(dāng)代中國(guó)已經(jīng)難覓蹤跡了.希望我們的學(xué)生也能由此反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

2.2讀書(shū)百遍其義自見(jiàn)

課前閱讀往往被數(shù)學(xué)教學(xué)冷落，而在知識(shí)拓展類(lèi)的數(shù)學(xué)選修課中課前閱讀顯得尤為重要.因?yàn)椤毒胚B環(huán)》閱讀材料內(nèi)容豐富，在一節(jié)課內(nèi)想面面俱到是不可能完成的任務(wù)，所以課前閱讀成了順利完成本節(jié)課教學(xué)任務(wù)的焦點(diǎn).執(zhí)教教師讓學(xué)生在課前進(jìn)行小組合作，探究解環(huán)規(guī)則，在課內(nèi)進(jìn)行交流.其次解三連環(huán)與四連環(huán)在課前已經(jīng)可以解決，并且學(xué)生已經(jīng)在課前思考如何解五連環(huán)甚至更多的連環(huán).這樣教師就可以在課堂上順利引導(dǎo)學(xué)生思考解環(huán)過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，將其提升為數(shù)列問(wèn)題加以解決.

課前閱讀可以看做是翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的一種最簡(jiǎn)單的探索與嘗試.翻轉(zhuǎn)課堂（Flipped Classroom或Inverted Classroom）是首先由教師創(chuàng)建教學(xué)視頻，學(xué)生在家或課外觀看視頻講解，然后再回到課堂中進(jìn)行師生、生生間面對(duì)面的分享、交流學(xué)習(xí)成果與心得的教學(xué)形態(tài).教學(xué)視頻的制作是需要教師具有一定的信息技術(shù)基礎(chǔ)的，這需要經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的培訓(xùn)，但在正式實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂模式之前我們可以滲透這種理念與模式，課前閱讀就是一種可行的嘗試.

2.3體驗(yàn)“玩好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)好玩”的真諦

“數(shù)學(xué)好玩”曾經(jīng)是數(shù)學(xué)家陳省身先生對(duì)數(shù)學(xué)的贊美.九連環(huán)是我國(guó)的一種傳統(tǒng)智力玩具，與七巧板、華容道并稱(chēng)為我國(guó)古代三大智力玩具.在本節(jié)課上，執(zhí)教教師讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)表演解五連環(huán)，并且進(jìn)行比賽，引起學(xué)生很大的興趣.對(duì)于最后的獲勝者大家都給予熱烈的掌聲.這說(shuō)明學(xué)生對(duì)九連環(huán)這樣的智力玩具非常感興趣，這種興趣隨著教師揭開(kāi)覆蓋在九連環(huán)身上的數(shù)學(xué)面紗的同時(shí)自然的上升為對(duì)數(shù)學(xué)探究的好奇心與興趣心.在課堂尾聲，執(zhí)教教師給學(xué)生們推薦了幾本書(shū)《九連環(huán)圖譜》、《巧解九連環(huán)》等，以供有興趣的學(xué)生繼續(xù)探究.

這種“在玩中學(xué)數(shù)學(xué)”的教學(xué)模式正是目前數(shù)學(xué)教學(xué)所缺少的，因此，筆者覺(jué)得不妨以“九連環(huán)中的數(shù)學(xué)”為藍(lán)本開(kāi)發(fā)知識(shí)拓展類(lèi)的數(shù)學(xué)選修課程是頗有價(jià)值的.九連環(huán)在其上千年的發(fā)展中，產(chǎn)生了許許多多的變種，形成了“連環(huán)類(lèi)玩具”.我國(guó)研究和收藏連環(huán)類(lèi)玩具的專(zhuān)家周偉中先生指出：連環(huán)類(lèi)玩具的種類(lèi)至少在1000種以上.他本人收藏的就達(dá)600余種.連環(huán)類(lèi)玩具有三大特點(diǎn)：一是挑戰(zhàn)性，任何一種連環(huán)的解法都具有較高的難度，有的難度極高，甚至令人覺(jué)得根本不可能解開(kāi).二是趣味性，人們對(duì)智力玩具具有天生的愛(ài)好，都想探索它、研究它、發(fā)現(xiàn)其中的奧妙.三是規(guī)律性，智力玩具都有其內(nèi)在的規(guī)律，連環(huán)類(lèi)玩具的規(guī)律性則特別強(qiáng)，必須按照特定的程序，有條不紊地操作，才能最終解開(kāi).而數(shù)學(xué)知識(shí)就往往蘊(yùn)涵于其中，需要我們?cè)凇巴嬷腥グl(fā)現(xiàn)規(guī)律”.

2.4體現(xiàn)選修課程發(fā)展學(xué)生個(gè)性的特點(diǎn)

在本節(jié)課上，執(zhí)教教師還設(shè)置了兩個(gè)環(huán)節(jié)“反思解法，提新問(wèn)題；妙用連環(huán)，變化無(wú)窮”，以體現(xiàn)讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.在“反思解法，提新問(wèn)題”環(huán)節(jié)，教師提出“九連環(huán)與格雷碼的關(guān)系”，學(xué)生自主提出“求通項(xiàng)公式”，反映了不同學(xué)生對(duì)探究問(wèn)題的渴求，完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在“妙用連環(huán)，變化無(wú)窮”環(huán)節(jié)，教師向?qū)W生介紹了九連環(huán)能運(yùn)用到鎖具中，還能運(yùn)用到魔術(shù)的逃生術(shù)中等等，以激發(fā)學(xué)生課后對(duì)九連環(huán)的繼續(xù)探索.

選修課程的一個(gè)重要特點(diǎn)就是發(fā)展學(xué)生的個(gè)性，發(fā)掘?qū)W生的優(yōu)勢(shì)智能.加德納論證了人類(lèi)智能的多元存在性，除語(yǔ)言智能、邏輯—數(shù)學(xué)智能外，至少還存在其他六種以上的智能.關(guān)注個(gè)體差異，讓不同學(xué)習(xí)水平和不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生得到有差異的發(fā)展.對(duì)邏輯-數(shù)學(xué)智能弱的學(xué)生，要發(fā)現(xiàn)他們其他的優(yōu)勢(shì)智能，鼓勵(lì)他們主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，嘗試著用自己的方式去解決問(wèn)題、發(fā)表自己的看法，并及時(shí)肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心；對(duì)學(xué)有余力并對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生，教師應(yīng)為他們提供足夠的學(xué)習(xí)材料，滿(mǎn)足他們學(xué)習(xí)的需求，促進(jìn)數(shù)學(xué)智能與其他智能的全面發(fā)展.本節(jié)課在這方面確實(shí)向我們作了一個(gè)很好的示范，從簡(jiǎn)單的三連環(huán)、四連環(huán)到五連環(huán)，再到九連環(huán)得到遞推關(guān)系，層層遞進(jìn)，滿(mǎn)足了不同智能的學(xué)生的數(shù)學(xué)需求.

2.5小組合作與自主探究的合理分配

小組合作與自主探究是數(shù)學(xué)教學(xué)中兩種重要的教學(xué)模式，如何有效地在課堂教學(xué)中把握好兩者的關(guān)系以及合理的運(yùn)用，使之發(fā)揮應(yīng)有的作用是值得我們研究的.本節(jié)課在課前就進(jìn)行分組合作，讓熟悉九連環(huán)的學(xué)生帶領(lǐng)、幫助不熟悉九連環(huán)的學(xué)生認(rèn)識(shí)九連環(huán).在課內(nèi)，執(zhí)教教師讓學(xué)生以小組合作的方式解五連環(huán)，這樣便于不同熟練程度的學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行相互幫助.而探究九連環(huán)中數(shù)列的遞推關(guān)系和華生問(wèn)題，教師讓學(xué)生自主探究（或僅同桌之間討論）給出探究結(jié)果，留給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)與時(shí)間.

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的特點(diǎn)，不同內(nèi)容適合不同的學(xué)習(xí)方式.在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的內(nèi)容盡量讓學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.若難度較大，需要集體合力才能完成的探究任務(wù)則可以進(jìn)行小組合作活動(dòng)，要注意組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì).小組合作學(xué)習(xí)中也要滲透自主探究，每個(gè)學(xué)生都要參與其中，學(xué)生個(gè)體不能完全依賴(lài)他人，不能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中因?yàn)槔щy、思維惰性而甘愿當(dāng)聽(tīng)眾.要敢于提出各自的想法，相互交流，在批判、爭(zhēng)論、修正、達(dá)成一致的過(guò)程中做出判斷、推理并得出結(jié)論.

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