關注曲線中的“切過”

楊先進　曹軒

（2015年湖北八校聯(lián)考第一次考試第10題）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x0時，若h（x）-g（x）x-x0>0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，則f（x）=x2-6x+4lnx的“類對稱點”的橫坐標是（）.

A.1B.2C.eD.3

初讀此題，發(fā)現(xiàn)題目雖給出了一個新的概念：“類對稱點”，但其實此題是根據(jù)2007年湖南高考題改編而來，只不過是換了一個名詞和一個新的函數(shù)，我們先來重溫下這道高考題：

（2007年湖南卷文科壓軸題）已知函數(shù)f（x）=13x3+12ax2+bx在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個極值點.（Ⅰ）略（Ⅱ）當a2-4b=8時，設函數(shù)y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線為l，若l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)f（x）的表達式.

此題的題干中有一段描述性的文字描述了曲線與其切線的關系，而且還在后面專門又作了注釋，這在高考題中是很少見的，其實從圖形語言來看，很容易知道曲線與其切線在切點附近，有如下兩種情況：

圖1圖2

根據(jù)這兩種情況，我們可以從如下2個角度來考慮曲線和切線的關系：

視角1構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），由圖1可以看出新函數(shù)的函數(shù)值在切點的左邊附近減小，而在右邊附近增大，可以知道新函數(shù)應該在x=x0處取得極值，而圖2中的新函數(shù)的函數(shù)值在切點附近呈單調(diào)趨勢，此題正是圖2的文字描述，高考命題組給出的解法也是基于這一想法而給出的解答，解答如下：

事實上，如圖2，曲線在x=x0的情形其實就是高等數(shù)學中拐點的定義，上述三題本質(zhì)上都是考查了函數(shù)拐點的必要條件.

拐點定義（根據(jù)高等數(shù)學同濟6版上冊第151頁）

一般的，設y=f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I的內(nèi)點（除端點外的I內(nèi)的點）.如果曲線y=f（x）在經(jīng)過點x0，f（x0）時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點x0，f（x0）為這曲線的拐點.

拐點的必要條件設f（x）在（a，b）內(nèi)二階可導，x0∈（a，b），若x0，f（x0）是曲線y=f（x）的一個拐點，則f″（x0）=0.

拐點的充分條件：設f（x）在（a，b）內(nèi)二階可導，x0∈（a，b），f″（x0）=0，若在x0兩側(cè)附近f′（x）異號，則點x0，f（x0）為曲線的拐點.否則（即x0兩側(cè)附近f′（x）保持同號），（x0，f（x0））不是拐點.

一般來說函數(shù)的一，二階導數(shù)基本給出了人們通常感興趣的函數(shù)特征，因此，如果對函數(shù)的一二階導數(shù)有較好的理解，對函數(shù)的基本形態(tài)也基本了解了.

數(shù)學考試說明明確指出，數(shù)學科考試要“發(fā)揮數(shù)學作為基礎學科的作用，既考查中學數(shù)學知識和方法，又考查考生進入高校繼續(xù)學習的潛能”.因此高考中會有很多大學知識通過變化巧妙地滲透到試題中，因此在日常教學中，作為中學教師要有意識地向?qū)W生介紹一些高等數(shù)學中的公式和定理，這樣不但可以增加數(shù)學知識，擴大解題途徑，還可以激發(fā)學生的求知欲望，讓他們懂得，站得高才能看得遠.作者簡介楊先進，男，湖北京山人，1981年10月生，中學一級教師.主要研究高考解題研究和教學教法，多篇文章發(fā)表.