Van der Pol型自激單擺的張弛振蕩特性*

鄭遠(yuǎn)廣 鮑麗娟

（南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063）

引言

自激振動是典型的非線性現(xiàn)象，廣泛地存在于自然界和工程系統(tǒng)中［1，2］.在自激振動系統(tǒng)中，其自身的阻尼不斷消耗系統(tǒng)的能量，要維持周期性振動，系統(tǒng)需要從外界獲得周期性的能量補充.然而外界提供的只是恒定的能源，系統(tǒng)必須通過自身特有的激發(fā)和反饋機制把這種恒定的能源轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)周期性的能量補充，從而維持其周期性振動.與自由振動和受迫振動相比，自激振動系統(tǒng)有如下顯著特點：自激振動系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)，振動過程中存在能量的消耗和補充；外界提供的能源是恒定的，外界對系統(tǒng)補充的能量是受系統(tǒng)自身特有的激發(fā)和反饋機制控制，因此系統(tǒng)是自治的；自激振動的周期和振幅僅與系統(tǒng)自身的參數(shù)有關(guān)，與初始條件無關(guān).

自激振動常常對工程系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響.在機械加工過程中，由于車刀與切屑之間的滑動摩擦力與其相對速度存在非線性關(guān)系，這導(dǎo)致切削過程中會發(fā)生自激振動，降低加工質(zhì)量和效率［3］.結(jié)冰輸電線的橫截面是非圓形的不規(guī)則形狀，在風(fēng)力的作用下會產(chǎn)生與風(fēng)速成非線性關(guān)系的阻力和升力，在一定條件下會導(dǎo)致輸電線產(chǎn)生自激振動，稱為輸電線舞動，這嚴(yán)重影響輸電線的使用壽命［4］.與此相類似，高層建筑和大型橋梁，在風(fēng)力作用下也會發(fā)生自激振動，這可能會導(dǎo)致災(zāi)難性的后果.在輸水管道中，由于水流與管道之間的非線性耦合作用，也可以導(dǎo)致自激振動的發(fā)生，從而影響流速和發(fā)出噪聲［5］.另一方面，自激振動也存在有利的一面，比如，射流在煤礦開采、石油鉆井、以及巖石切割等方面具有廣泛應(yīng)用，可以利用流體自激振動原理來提高射流的速度，從而提高其工作效率［6］.

在工程實踐中，為了消除有害的自激振動和利用有益的自激振動，就必須研究自激振動現(xiàn)象的產(chǎn)生機制.van der Pol光電系統(tǒng)是自激振動系統(tǒng)的原形，其中的自激振動現(xiàn)象得到了廣泛的研究［7，8］.含van der Pol型自激項的單擺系統(tǒng)是典型的含自激勵的機械系統(tǒng)，對其自激振動現(xiàn)象進(jìn)行研究有助于了解實際機械系統(tǒng)中自激振動的產(chǎn)生機制.該van der Pol型自激單擺系統(tǒng)的平衡點是不穩(wěn)定的，當(dāng)擺幅較小時，系統(tǒng)從外界吸收能量增加擺幅，而當(dāng)擺幅較大時，系統(tǒng)消耗能量抑制擺幅，從而系統(tǒng)發(fā)生穩(wěn)定的周期運動.文獻(xiàn)［9］的研究表明自激單擺系統(tǒng)存在豐富的動力學(xué)現(xiàn)象，受到外界激勵時，可以發(fā)生混沌運動.文獻(xiàn)［10］考察了高頻橫向和縱向激勵對自激單擺系統(tǒng)振動的影響，發(fā)現(xiàn)橫向的高頻激勵能有效抑制系統(tǒng)的自激振動，然而在縱向激勵下，自激振動一直存在.文獻(xiàn)［11，12］討論了時滯與高頻激勵聯(lián)合作用對自激單擺系統(tǒng)振動的影響，發(fā)現(xiàn)加入時滯后有利于抑制系統(tǒng)的自激振動.當(dāng)阻尼值較大時，該自激單擺系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩（relaxation oscillation），其中快速運動過程和慢速運動過程交替出現(xiàn).張弛振蕩現(xiàn)象首先是在van der Pol電路系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的［7］，其后，人們發(fā)現(xiàn)張弛振蕩現(xiàn)象廣泛地存在于生態(tài)系統(tǒng)［13］、生理系統(tǒng)［14］、化學(xué)系統(tǒng)［15］等現(xiàn)實系統(tǒng)中.文獻(xiàn)［13］運用幾何方法研究了捕食與被捕食系統(tǒng)中的張弛振蕩現(xiàn)象，得到系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩的充分條件.文獻(xiàn)［14］利用張弛振蕩特性解釋了心臟的電活動規(guī)律.文獻(xiàn)［15］基于數(shù)值方法分析了化學(xué)系統(tǒng)中的振動現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)由周期振動變?yōu)閺埑谡袷?

張弛振蕩的存在性及其特性通常與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，然而至今為止，對van der Pol型自激單擺的張弛振蕩特性的研究工作還很少.基于這一事實，本文將考察含大阻尼的van der Pol型自激單擺的張弛振蕩的存在性及其特性.在下一節(jié)首先介紹van der Pol型自激單擺的系統(tǒng)模型.接著在第三節(jié)討論張弛振蕩的存在性及其特性.在第四節(jié)進(jìn)行數(shù)值算例分析.最后在第五節(jié)對全文進(jìn)行總結(jié).

1 系統(tǒng)模型

van der Pol型自激單擺系統(tǒng)模型為

其中y∈（-π，π）變量表示單擺離開垂直位置的擺角，k和h是取值O（1）的系統(tǒng)參數(shù)，為較大的阻尼系數(shù)，且0＜ε?1為小參數(shù).引入新的時間變量s和變量-h sin y（t），方程（1）變?yōu)?/p>

這里一點表示對時間t的導(dǎo)數(shù).由于0＜ε?1為小參數(shù)，y（t）變化速度比較快，稱為快變量，而 x（t）稱為慢變量，方程（2）為典型的快-慢系統(tǒng).若再引入時間變量t，則方程（2）變?yōu)?/p>

這里一點表示對時間的導(dǎo)數(shù).在方程（3）令ε→0，則得到僅關(guān)于快變量的快子系統(tǒng)

其中變量x看成系統(tǒng)中的參數(shù).

幾何奇異攝動理論是分析快-慢系統(tǒng)動力學(xué)行為的有效工具［16，17］.該理論體系主要包括 Tikhonov和Fenichel關(guān)于慢變流形和不變流形的存在性及其性質(zhì)的系列定理［18-20］.Tikhonov定理指出穩(wěn)定的慢變流形對解軌線具有吸引性，而不穩(wěn)定的慢變流形對解軌線具有排斥性.Fenichel系列定理主要討論了不變流形的存在性及其性質(zhì)，指出慢變流形是不變流形的近似，并進(jìn)一步描繪了在慢變流形附近的解軌線結(jié)構(gòu).幾何奇異攝動理論表明快-慢系統(tǒng)的動力學(xué)行為與系統(tǒng)的慢變流形的結(jié)構(gòu)緊密相關(guān).因此，為求得系統(tǒng)的動力學(xué)行為，關(guān)鍵的步驟是要確定慢變流形的結(jié)構(gòu)，包括其形狀、穩(wěn)定性、分岔點的類型和分布.

2 系統(tǒng)的張弛振蕩特性

根據(jù)幾何奇異攝動理論，系統(tǒng)（2）的慢變流形為

可見慢變流形M就是快子系統(tǒng)（4）的奇點集合.對于0＜k＝O（1），慢變流形為S-形的曲線，見圖1.為確定慢變流形M的結(jié)構(gòu)，求得快子系統(tǒng)（4）在平衡點 y＝y(tǒng)（x）（其中 y（x）滿足 x+y（x）＝0）的唯一特征根為λ＝1-ky2.因此，根據(jù)快子系統(tǒng)（4）的平衡點的穩(wěn)定性，慢變流形M可分成如下三部分

見圖1，上下粗線為穩(wěn)定的慢變流形部分M1和M3，中間的虛線為不穩(wěn)定的慢變流形部分M2，點

和

是慢變流形上的兩個Saddle-node分岔點.

圖1 慢變流形M＝M1∪M2∪M3的結(jié)構(gòu)，其中M1∪M3和M2分別為穩(wěn)定和不穩(wěn)定的慢變流形部分，S1和S2是Saddle-node分岔點Fig.1 The structure of slow manifold M＝M1∪M2∪M3，where M1∪M3 and M2 are the stable and unstable slow manifold，S1 and S2 are Saddle-node bifurcation points

得到了系統(tǒng)慢變流形的結(jié)構(gòu)后，就可以運用幾何奇異攝動理論分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為.根據(jù)幾何奇異攝動理論，穩(wěn)定的慢變流型M1∪M2對解軌線具有吸引性，當(dāng)解軌線被吸引到穩(wěn)定的慢變流形上時，由于 ˙y（t）≈0，因此解軌線將沿著慢變流形緩慢地運動.當(dāng)解軌線被吸引到上半部分的慢變流形M1上時，由于 y（t）∈M1時有 ˙x＝-h sin y（t）＜0，所以解軌線自右向左運動.當(dāng)解軌線到達(dá)鞍結(jié)分岔點S1時，解軌線離開不穩(wěn)定的慢變流形M2，而被吸引到下半部分穩(wěn)定的慢變流形M3上，這時有˙x（t）＞0，所以軌線自左向右運動.當(dāng)解軌線到達(dá)鞍結(jié)分岔點S2時，又被吸引到上半部分的慢變流形M1上，見圖2（a）.由此系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩，見圖2（b）.

對于大阻尼系數(shù)α，有.從系統(tǒng)（2）的第一個方程可以看到，當(dāng)解軌線不在慢變流形上時，有，因此，張弛振蕩的快速運動過程將在瞬間完成.張弛振蕩的慢速運動過程經(jīng)過的慢變流形部分為

圖2 系統(tǒng)（3）的張弛振蕩，（a）解軌線，（b）時間歷程圖Fig.2 Relaxation oscillation of system（3），（a）Solution trajectory，（b）Time series

和

這里Y*＞0滿足方程

從而可以求得張弛振蕩解軌線的近似表達(dá)式為

從解軌線的近似表達(dá)式可以看到，解軌線的形狀與慢變流形的形狀相關(guān)，僅由參數(shù)k的值決定.

由于張弛振蕩的快速運動過程在瞬間完成，所以張弛振蕩的周期主要由慢速運動過程所需要的時間決定.把代入系統(tǒng)（2）的第二個方程得

因此，張弛振蕩的周期為

由周期的近似表達(dá)式可見，其周期T與參數(shù)k和h相關(guān)，且是h的遞減函數(shù).

總結(jié)以上分析，可以得到如下結(jié)論

結(jié)論1： 對于大阻尼α和參數(shù)0＜k＝O⑴，系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩運動；張弛振蕩軌線的近似表達(dá)式為（6）式，其形狀僅與參數(shù)k相關(guān)；張弛振蕩周期的近似表達(dá)式為（7）式，其與參數(shù)k和h相關(guān)，且是h的遞減函數(shù).

依據(jù)以上理論分析結(jié)果，可以得到van der Pol型自激單擺的運動特性如圖3所示.

圖3 van der Pol型自激單擺的運動特性，y表示擺角Fig.3 Dynamics of the pendulum with van der Pol type self-excitation，where y represents the angle of the pendulum

從圖3可見，當(dāng)擺角y在區(qū)域和時，擺球緩慢運動；而擺球快速通過區(qū)域；點為快速運動和慢速運動的分界點.

3 算例分析

為進(jìn)一步了解張弛振蕩解的特性和驗證理論分析的正確性，本節(jié)進(jìn)行算例分析.取大阻尼值α＝30和常用的參數(shù)值 k＝0.75、h＝1，則方程（2）為

系統(tǒng)的慢變流形為

由于k＝0.75＞0，慢變流形 M為 S-形曲線，根據(jù)結(jié)論1可知系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩，這與數(shù)值結(jié)果相符，見圖4，這里數(shù)值結(jié)果是在MATLAB中用剛性方程積分器ODE23S算得的，其中RelTol＝1e-10和 AbsTol＝1e-8.

通過方程求得 Y*＝2.3094＞0，由式（6）求得張弛振蕩的近似表達(dá)式為

此近似表達(dá)式與數(shù)值結(jié)果相吻合，見圖4（a）.

由式（7）求得張弛振蕩的周期為

理論值與數(shù)值結(jié)果相吻合，見圖4（b）.

圖4 系統(tǒng)（8）的張弛振蕩，（a）解軌線，（b）時間歷程圖Fig.4 Relaxation oscillation of system（8），（a）Solution trajectory，（b）Time series

4 結(jié)論

自激振動對機械系統(tǒng)的性能具有重要影響，研究機械系統(tǒng)中的自激振動機制有助于消除有害的自激振動而利用有益的自激振動.van der Pol型自激單擺系統(tǒng)是典型的含自激勵的機械系統(tǒng)，本文闡述了其中張弛振蕩的產(chǎn)生機制，并給出了張弛振蕩解的近似表達(dá)式.研究表明當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩時，單擺快速通過平衡位置，而在遠(yuǎn)離平衡位置的一段區(qū)域上停留較長時間.本文的研究結(jié)果可以在一定程度上說明一般的自激機械系統(tǒng)中張弛振蕩的產(chǎn)生機制，可以為工程實踐提供一定的理論指導(dǎo).

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